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专题 24.8 点和圆的位置关系（5 大考点 14 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】点和圆的位置关系
点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种位置关系与点到圆心的距
离（d）圆的半径（r）之间有着紧密的联系．具体关系如下：
点在圆外 ； 点在圆上 ； 点在圆内 ；
【知识点2】圆的确定
经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【知识点3】外心
1.三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离
相等.
2.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。
3.三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.
【知识点3】反证法的一般步骤
1.假设命题反面成立；
2.从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；
3.得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。
【题型目录】【知识点一】点和圆的位置关系
【题型1】判断点和圆的位置关系............................................1；
【题型2】利用点和圆的位置关系求半径......................................4；
【知识点二】圆的确定
【题型3】判断确定圆的条件................................................7；
【题型4】确定圆心.......................................................10；
【题型5】画圆（尺规作图）...............................................12；
【知识点三】三角形的外接圆
【题型6】求三角形外心坐标...............................................14；
【题型7】求特殊三角形外接圆的半径.......................................17；
【题型8】由外心位置判定三角形的形状.....................................20；
【题型9】判断三角形外接圆圆心位置.......................................22；
【知识点四】反证法
【题型10】举反例........................................................24；
【题型11】反证法证明中的假设............................................25；
【题型12】用反证法证明命题..............................................25；
【知识点五】中考前沿与拓展延伸
【题型13】直通中考......................................................28;
【题型14】拓展延伸......................................................29.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判断点和圆的位置关系
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 是 上的三个点，
、 、 ．（1）圆心 的坐标为 ；
（2）判断点 与 的位置关系．
【答案】(1) ；(2)点 在 内.
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据
垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出 的半径， 的长即可判断；
解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是
故答案为： ．
（2）圆的半径 ，
线段 ，
所以点 在 内．
【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， ，
， 分别是AB上的高线和中线．如果 是以点 为圆心， 为半径的圆，那么下列判断中，正确
的是（ ）A．点 ， 均在 内 B．点 ， 均在 外
C．点 在 内，点 在 外 D．以上选项都不正确
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的
半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得 的长，再根据面积公式求出 的长，
根据勾股定理求出 的长，根据中线的定义求出 的长，然后由点 、 到 点的距离判断点 、
与圆 的位置关系即可．
解：在 中， ， ， ，
，
、 分别是 上的高和中线，
， ，
即 ，
，
，
， ，
点 在 内、点 在 外，
故选： ．
【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）直角坐标平面内，点A(3，0)，点B的坐标为 ，
的半径为4．若点B在 内，则a的范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关
键．
由题意知， ，由点B在 内，可得 ，计算求解即可．
解：由题意知， ，∵点B在 内，
∴ ，即 ，
解得， ，
故答案为： ．
【题型2】利用点和圆的位置关系求半径
【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形 中， ， ， ，
是高线， 是中线．
（1）以点A为圆心，3为半径作圆A，则点 ， ， 与圆A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作圆A，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的
半径 的取值范围？
【答案】(1)点 在圆A上，点 在圆A内， 在圆A外；(2)
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点
与圆的位置关系是解题的关键；
（1）先利用勾股定理计算出 ，再利用等面积法求出 ，然后根据点与圆的位置关系进行判
断即可；
（2）使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据 ， ， 可
知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可．
解：（1） ， ， ，
，
，
，
半径 ，， ， ，
点 在圆A上，点 在圆A内， 在圆A外；
（2）解： 使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ， ， ，
，即 ，
圆A的半径 的取值范围为 ．
【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于A、B两点，P是
以点 为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段 的中点，连结 ，则线段 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线，点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关
系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．连接 ，如图，先解方程
得 ，再判断 为 的中位线得到 ，利用点与圆的位置关系，
连接 交圆于P时， 最小，然后计算出 的最小值即可得到线段 的最小值．
解：连接 ，如图，
当 时， ，解得 ，则 ，
∵Q是线段 的中点，
为 的中位线，
，
当 最小时， 最小，
连接 交圆于P时， 最小，
，
的最小值 ，
∴线段 的最小值为 ．
故选：C．
【变式2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在 中，点 在弦 上， 于点
，则圆心距 的长为 ；若点 在圆 上动，则 的最小值=
．
【答案】 4
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，根据题意做出辅助线，构造出直角三角形
是解题的关键．连接 ，延长 交O于点P，则PC最短，由垂径定理得 ，再求出
，最后由勾股定理求出 ， 的长，继而可得出 的长．
解：连接 ，延长 交 于点 ，则PC最短，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【题型3】判断确定圆的条件
【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 ， ， 三点可以确定一个圆，
则以下 点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点
确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线 的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不
在同一直线上的三点能确定一个圆，由于 在直线 上，可知答案．
解：设直线 的解析式为 ，，
解得 ，
，
A、当 ， ，故 不在直线 上，根据不在同一直线三点确定一个圆得
与 ， 可以确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、当 ， ，同理，故本选项不符合题意；
C、当 ， ，故(−1,7)在直线 上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意；
D、 ， ，同理，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对
称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查三角形的外心，圆的性质，确定圆的条件；①根据确定一个圆的条件即可判断．②根
据对称轴为直线即可判断；③根据等弧的定义即可判断；④根据三角形外心的性质即可判断
解：①不共线三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；
②圆的直径所在直线是圆的对称轴，故该选项不正确，不符合题意；
③同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故该选项正确，符合题意；
正确的有④，共1个，
故选：A．
【变式2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在矩形 中， 为 的中点， 为 边上的任
意一点，把 沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，当 取最小值时，的值等于 ．
【答案】
【分析】点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，当 、 、 共线时时，此时 的值最小，根据折
叠的性质，得出 ，再根据全等三角形的性质，得出 ， ，再根据勾股定理求
出 ，根据折叠的性质，可知 ，再根据线段之间的数量关系，得出 ，再利用勾股定
理，列出方程，解出即可得出答案．
解：如图所示，点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当 、 、 共线时时，此时 的值最小，
根据折叠的性质， ，
， ，
是 边的中点， ，
，
，
，
．
由折叠可知： ，
，
在 中，根据勾股定理得：
，
，解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运用，
熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【题型4】确定圆心
【例4】（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的
弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三
角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识，
根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行
判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断．
解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确；
（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误；
（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确；
故选：B．
【变式1】（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块
碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．
【答案】①
【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①．故答案为：①．
【点拨】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键．
【变式2】（20-21九年级下·全国·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，
∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；
【答案】证明见解析
【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明 ACD是直角三角形，得出
∠ACD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证△明．
解：图，连接CO
∵AB=6，BC=8，∠B=90°，
∴
∵CD=24，AD=26
∴
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°
∵AD为⊙O的直径
∴AO=OD
∴OC为Rt△ACD斜边上的中线
∴
∴点C在圆O上．
【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
【题型5】画圆（尺规作图）
【例5】（2020·四川成都·一模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆
心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半
径作弧，交 于点 M，N；（3）连接 OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝
20°，则∠OMN= ．
【答案】60°
【分析】根据等弧或等弦所对的圆心角相等即可得到∠COM=COD=∠DON=20°，从而判断△OMN是等边三
角形即可解答．
解：由作图可知：CM=CD=DN，
∴∠COM=COD=∠DON=20°，
∴∠MON=60°，
又∵OM=ON，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠OMN=60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到
△OMN是等边三角形．
【变式1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；
（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明： 即可．
解：作直线 （两点确定一条直线），
连接 ，
∵由作图， ，
∴ 且 （与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵ ，
∴ （直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ，∴A，B，C三点在以O为圆心， 为直径的圆上．
∴ 为 的外接圆．
故选：D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题
的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】（2024·吉林长春·三模）如图，在 中， °， ，要求用无刻度的直尺
和圆规在 内部作一个45°的 ．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作 的平分线；
②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图 、图 、图 分别对应其中的一种，根据尺规
作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键．
按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图 ，图 ，图 分别对应即可．
解：①作 的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，
以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的
一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线．
故对应图 所示．
②构造等腰直角三角形：以点 为圆心，以 为半径画圆，交 于点 ，故 为等腰直角三
角形，故对应图 所示．
③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图 所示．
故选： ．
【题型6】求三角形外心坐标
【例6】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列 （每个小正方形的边长为1）的网格中，已
知 的三个顶点 在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标．（1）经过 三点有一条抛物线，图中存在点 ，点 落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点
的坐标为______．
（2）经过 三点有一个圆，圆心为点 ，则点 的坐标为______．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）本题考查抛物线的对称性，根据题意，可知，抛物线的对称轴为 的中垂线，即 ，
点 关于对称轴对称，即可；利用对称性求出对称轴，是解题的关键
（2）本题考查圆的确定，根据圆心为线段 的中垂线的交点，即可得出结果．掌握不在同一条直
线上的三个点确定一个圆，是解题的关键．
解：（1）∵经过 三点有一条抛物线， ，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴当 关于对称轴对称时，满足题意，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵经过 三点有一个圆，圆心为点 ，则点 为线段 的中垂线的交点，如图： 的中垂线的解析式为： ， 的中垂线的解析式为： ，
∴当 时， ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级上·北京·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，
A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点
的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根
据垂径定理得出外接圆的圆心位置．
连接 ，作 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 的坐标即可．
解：连接 ，作 的垂直平分线，如图所示：在 的垂直平分线上找到一点 ，
，
点 是过 、 、 三点的圆的圆心，
即 的坐标为 ，
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为
和 ，则 外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由于
是直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，可得 外接圆的圆心是斜边 的中点，再
利用中点坐标公式即可得解．
解：∵ 是直角三角形， ,
∴ 外接圆的圆心是斜边 的中点，
∵点A、B的坐标分别为 和 ，
∴ 外接圆的圆心坐标是 ，故答案为： ．
【题型7】求特殊三角形外接圆的半径
【例7】（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）如图，已知 ，用尺规作图画出 的外接
圆 （不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若 是直角三角形，且 ， ，则 的外接圆的半径为______．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形
的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
（1）作 和 的垂直平分线，它们相交于点 ，然后以 点为圆心， 为半径作圆即可；
（2）根据圆周角定理得到 为直角 的直径，从而得到 的外接圆的半径．
解：（1）如图， 为所作；
（2） ，
为 的外接圆的直径，
的外接圆的半径 ．
故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中 ， ， ，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段 ，则点D与 的位置关系为（ ）
A．点D在 上 B．点D在 外 C．点D在 内 D．无法确定
【答案】C
【分析】连接 ，作 和 的垂直平分线，交点为 ，则圆心 的坐标为 ，然后求出 的
半径，比较即可解答．
解：如图：
连接 ，作 和 的垂直平分线，交点为(2,0)，
∴圆心M的坐标为(2,0)，
∵ ，
∴ ，
∵线段 ，
∴ 半径 ，
∴点D在 内，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键．
【变式2】（2024·安徽合肥·一模）如图， 内接于 ， 为 的直径， ， ，
则 ．
【答案】15
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解
题的关键．连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据三角形的内角和定理得到
，根据等腰三角形的性质得到 ，于是得到结论．
解：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：15．
【题型8】由外心位置判定三角形的形状
【例8】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知 是 的外心， 分别是 、的中点，连接 、 交 于点 ，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接 ， ，由
题意得出 ， ，可证得 ，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知
识点的应用是解题的关键．
解：连接 ， ，如图，
∵ 是 的外心， 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，故选： ．
【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一
定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】C
【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可．
解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于 ．
故选：C
【变式2】（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片 的中心 刚好是 的外心，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的的性质，根据题意可得 是四点共圆，再
利用圆内接四边形的性质即可求解
解：如图所示，连接 ，
∵正方形纸片 的中心 刚好是 的外心，且 是 的外心，
∴ 是四点共圆，
∴
∴ ，
故选：A．
【题型9】判断三角形外接圆圆心位置
【例9】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一破残的圆片，我们需要把它复制完整，已知
弧上的点A、B、C．（1）通过尺规作图，确定A、B、C所在圆的圆心O；
（2）若 是等腰三角形，且底边 ，腰 ，求圆片的半径．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据．
（1）可根据 ， 的垂直平分线来确定圆心．
（2）通过构建直角三角形来求解．连接 交 于 ．先求出 的值，然后在直角三角形 中，用
半径表示出 ， ，然后根据勾股定理求出半径的值．
解：（1）分别作 、 的垂直平分线，设交点为 ，则 为所求圆的圆心．
（2）连接 交 于 ，连接 ．
，
， ，
在 中， ，
设 的半径为 ，在 中，
，即 ，
，
．
所以所求圆的半径为【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习） 的外接圆 的半径 ，则斜边 的
长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边 是 的
直径，即可得出结果．
解：∵ 是 的外接圆，
∴斜边 是 的直径，
∵ ，
∴ ；
故选C．
【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知O是 的外心， ，则
．
【答案】 或
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
分两种情况：①当点O在 内部时，②当点O在 外部时，根据圆周角定理即可解决问题．
解：如图，
是 的外心，
①当点O在 内部时，
或 ，
，
，
，
②当点O在 外部时，，
，
综上， 的大小是 或 ．
故答案为： 或 ．
【题型10】举反例
【例10】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）对于命题“如果 ，那么 ．”能说明
它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了举反例；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
解：A、 ，能说明它是假命题，故本选项符合题意；
B、若 ， ，则 ，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意；
C、若 ， ，此时 ，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意；
D、若 ， ，此时 ，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意；
故选：A
【变式】（2024·吉林长春·模拟预测）请举反例说明命题“对于任意实数 ， 一定大于 ”是假命题．
你举的反例是 ．（写出一个值即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、
论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
解：当 时， ，
∴“对于任意实数 ， 一定大于 ”是假命题．
故答案为：0（答案不唯一）．
【题型11】反证法证明中的假设
【例11】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）用反证法证明，若 ，则 时，应假设（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要
注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
解：反证法证明命题“若 ，则 ”时，
应假设 ，
故选：C．
【变式】（23-24八年级下·福建·期末）用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于 ”，
应先假设这个直角三角形中的每一个锐角都 ．
【答案】小于
【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出
矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的一般步骤解答即可．
解：用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于 ”，应先假设这个直角三角形中的每一个
锐角都小于 ，
故答案为：小于 ．
【题型12】用反证法证明命题
【例12】（2024·广东东莞·三模）综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添
加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明
同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否
成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，
如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图1，在四边形 中， ，请在图1中作出过点 三点的 ，
并直接判断点D与 的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中， ，
求证：点 四点共圆．
证明：过 三点作 ，假设点D不在 上，
则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）．假设点D在 内时，如图2，延长 交 于点E，连结AE，
是 的外角， ，
四边形ABCE是 的内接四边形， ，
又 ， ．
这与 相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在 内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在 外”（如图3）的情形
【答案】(1)对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）；(2)图见解析，
点D在 上；(3)详见解析
【分析】本题考查了反证法，命题与定理及线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键．
（1）根据逆命题与原命题是条件、结论互换解答．
（2）根据作过不共线的三个点的圆作法作图，先确定圆心再确定半径；
（3）根据反证法的步骤进行证明．
解：（1）对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）．
（2）如图1， 为所求．
点D在 上．
（3）证明：假设点D在 外时，如图3，CD交 于点E，连结 ，
是 的外角，
．
四边形 是 的内接四边形，
又 ，
．
这与 相矛盾，所以假设不成立，
所以点D不可能在 外．
【变式】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）证明： 是无理数．
【分析】本题主要考查了反证法，假设 是有理数，设 （m、n互质），则两边同时平方推出
，则n一定是3的倍数，设 ，则 ，可得 ，同理可得m一定是3的倍数，
则m、n一定有公因数3，故m、n不互质，这与假设矛盾，据此可证明题设．
解：证明：假设 是有理数，
设 （m、n互质），
∴ ，
∴ ，
∴ 是3的倍数，
∴n一定是3的倍数，
设 ，则 ，∴ ，
同理可得m一定是3的倍数，
∵m、n同时是3的倍数，
∴m、n一定有公因数3，
∴m、n不互质，这与假设矛盾，
∴假设不成立，
∴ 是无理数．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型13】直通中考
【例1】（2023·内蒙古·中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆，
，垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为
21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是 的中点，再由中位线的性质及三
角形的周长求解即可．
解：∵ 是锐角三角形 的外接圆， ，
∴点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为21，
∴ 即 ，
∴ ，
故选：B．【点拨】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质
是解题关键．
【例2】（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或
等于 ”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的
和大于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角
小于或等于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
解：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点拨】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设
结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
【题型14】拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点A的坐标为 ， 轴于点B，点C为坐
标平面内一点， ，点D为线段 的中点，连接BD，则BD的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定BD为最
小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到BD ，求出CE的最小值即可．
解：如图，作点A关于x轴的对称点 ，
则点B是 的中点，
又∵点D是 的中点，
∴BD是 的中位线，
∴BD ，
∴当 最小时，BD最小，
∵点C为坐标平面内一点，且 ，
∴点C在以O为圆心，5为半径的 上运动，
∴当 减去半径时， 最小．
∵ ，
∴ ，
∴CE的最小值为 ，
∴BD的最小值 ．
故答案为： ．
【例2】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴
交于点 、 ．
（1）若 、 ，求 的坐标；
（2）在 轴上取一点 ，连接BD、 ，若直线 的函数表达式为 ，求直线BD的函
数表达式；（3）当 时，过 、 、 三点的圆交 轴于点 ，连接 、 ，当 最小时，请直接
写出 的值和 的最小值．
【答案】(1) ；(2)直线BD的表达式为 ；(3) ； 的最小值为2❑√6．
【分析】 待定系数法求解即可；
先利用直线解析式和抛物线解析式求出 、 两点的坐标，再求直线BD的解析式即可；
先求出 ， ，设 外接圆圆心 ，根据
求 点坐标，根据轴对称求最短值方法，设 关于直线 的对称点 ，当 、 、
三点共线时， 即 值最小，据此求出直线 解析式，将 点坐标代入可求得 的值，
最后将 的值代入 、 坐标即可求得 即 的最小值．
解：（1）将 、 代入 ，
得 ，
，
，
．（2）解：把 代入 ，
得 ，
，
将其代入 ，
得 ，
解得 ，
，
将 代入 ，
得 ，
，
，
，
设直线BD的解析式为 ，
将 和 代入可得，
，
解得 ，
直线BD的解析式为 ．（3）解：当 时， ，
，
当 时，可得，
，
， ，
设 的外接圆圆心为 ，
根据三角形外接圆性质可得， 一定在 的垂直平分线上，
可设 ，
，
，
解得 ，
，
设 ，
，
，
解得 或 （舍），
，
设 关于直线 的对称点为 ，则 ，
且 ，则当 、 、 三点共线时， 即 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的直线解析式为 ，
将 代入得 ，
，
， ， ，
，
故 的最小值为2❑√6．
【点拨】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数与二次函数综合、二次函数的图像与性
质、三角形外接圆性质、轴对称求最短距离，解题关键是根据三角形外接圆性质确定 的坐标．
