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专题检测练
一、单项选择题
1.(2024届浙江绍兴诊断性考试,4)已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外
接球的表面积为 ( )
A.6π B.8π C.16π D.20π
答案 D
2.(2024届黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中,6)正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且
与底面成30°角,则此三棱柱的体积为 ( )
√6 1 √3 3√3
A. B. C. D.
2 4 2 4
答案 D
3.(2023广东佛山二模,5)科技是一个国家强盛之根,创新是一个民族进步之魂,科技创新铸
就国之重器,极目一号(如图1)是中国科学院空天信息创新研究院自主研发的系留浮空器.
2022年5月,“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测,海拔高度达到9
032米,超过珠穆朗玛峰,创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录,彰显了中国的
实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米,高19米,若将它近似看作一个半球、一个圆柱和
一个圆台的组合体,正视图如图2所示,则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为 (
)
(参考数据:9.52≈90,9.53≈857,315×1 005≈316 600,π≈3.14)
A.9 064 m3 B.9 004 m3
C.8 944 m3 D.8 884 m3
答案 A
4.(2024届河南部分学校测试(二),7)在正四棱柱ABCD-A B C D 中,AA =2AB=4,点E,F,G
1 1 1 1 1
分别是AA ,A B ,B C 的中点,则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A B C D 所得截面
1 1 1 1 1 1 1 1 1
多边形的周长为 ( )
A.2√2+3√3B.2√2+3√5
C.2√2+4√3D.2√2+4√5
答案 D
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5.(2024届河北沧州联考,7)在三棱柱ABC-A B C 中,AA ⊥平面
1 1 1 1
ABC,BB =BC=AC=6,A B =4,点D是AB的中点,点E是侧面AA C C的中心,则点E到平面
1 1 1 1 1
B CD的距离为( )
1
√10 2√10 3√10 4√10
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 C
6.(2023浙江杭州二模,7)如图,点A、B、C、M、N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下
列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是 ( )
答案 D
二、多项选择题
7.(2024届江苏连云港质量调研(一),9)若m,n为空间中两条不同的直线,α,β,γ为空间中三
个不同的平面,则下列结论正确的是 ( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
B.若m⊥α,m∥β,则α⊥β
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n
D.若α∥β,m∥α,n β,则m∥n
答案 BC ⊂
8.(2024届辽宁省实验中学期中,11)《九章算术》是我国古代数学中的经典,书中将底面
为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面
体称为鳖臑.在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=a,点E是PC的中点,连
接DE,BD,BE.则以下结论正确的是 ( )
A.DE∥平面PAB
B.四面体EBCD是鳖臑
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C.若阳马P-ABCD的体积为V ,四面体EBCD的体积为V ,则V =4V
1 2 1 2
√3
D.若四面体EBCD的外接球的体积为 πa3,则CD=√2AD
2
答案 BC
三、解答题
9.(2023湖北十堰四调,20,中)中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲
池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部
分).在如图所示的“曲池”中,AA ⊥平面A B C D ,记弧AB、弧DC的长度分别为l ,l ,已
1 1 1 1 1 1 2
4π
知AD=1,l =2l = ,E为弧A B 的中点.
1 2 3 1 1
(1)证明:A D ⊥DE;
1 1
(2)若AA =4AD,求直线CE与平面DEB 所成角的正弦值.
1 1
4π
解析 (1)证明:延长A D ,B C 相交于点O ,因为l =2l = ,则
1 1 1 1 1 1 2 3
2π
D O =A D =AD=1,∠A O B = .
1 1 1 1 1 1 1 3
π
连接A E,D E,O E,因为E为弧A B 的中点,则∠A O E= ,则△A O E为正三角形,于是
1 1 1 1 1 1 1 3 1 1
A D ⊥D E. (2分)
1 1 1
因为AA ⊥平面A B C D ,DD ∥AA ,
1 1 1 1 1 1 1
所以DD ⊥平面A B C D , (4分)
1 1 1 1 1
又A D 平面A B C D ,所以A D ⊥DD ,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又D
1
E∩⊂DD
1
=D
1
,D
1
E,DD
1
平面DD
1
E,因此A
1
D
1
⊥平面DD
1
E,又DE 平面DD
1
E,所以
A D ⊥DE. (6分)
1 1 ⊂ ⊂
(2)以D 为坐标原点,D O ,D E,DD 所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐
1 1 1 1 1
标系D xyz,
1
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(3 √3 )
则E(0,√3,0),C , ,-4 ,D(0,0,-4),B (2,√3,0),
1
2 2
( 3 √3 )
则⃗CE= - , ,4 ,⃗DE=(0,√3,4), ⃗DB =(2,√3,4).(8分)
2 2 1
设平面DEB 的法向量为m=(x,y,z),
1
{ ⃗DE·m=√3 y+4z=0,
则
令z=√3
,得m=(0,-4,√3), (10分)
⃗DB ·m=2x+√3 y+4z=0,
1
设直线CE与平面DEB 所成角为θ,则sin θ=|cos<⃗CE,m>|=
1
| √3 |
-4× +√3×4
|⃗CE·m| 2 2√3
= =
,
|⃗CE||m| √19× √ ( - 3) 2 + (√3) 2 +42 19
2 2
2√3
所以直线CE与平面DEB 所成角的正弦值为 . (12分)
1 19
10.(2024届天津第一中学第一次月考,18)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,
AB⊥BE,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
(1)求证:GF∥平面ADE;
(2)求直线GF与平面AEF所成角的正弦值;
(3)求平面AEF与平面BEC所成角的余弦值.
解析 (1)证明:取AE的中点P,连接DP,PG,
1
因为G是线段BE的中点,所以PG∥AB,且PG= AB,
2
因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,AB=CD,
因为F是线段DC的中点,所以PG∥DF,且PG=DF,
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故四边形DFGP为平行四边形,故DP∥GF,
因为DP 平面ADE,GF 平面ADE,所以GF∥平面ADE.
(2)因为四
⊂
边形ABCD是
⊄
矩形,所以AB⊥BC,
因为AB⊥BE,BC∩BE=B,BC,BE 平面BCE,
所以AB⊥平面BCE,
⊂
因为CE 平面BCE,所以AB⊥CE,
又BE⊥E⊂C,所以AB,BE,CE两两垂直,
以E为坐标原点,EC,EB所在直线分别为x,y轴,平行于AB的直线为z轴,建立空间直角坐
标系,则E(0,0,0).
因为AB=BE=EC=2,所以G(0,1,0),F(2,0,1),A(0,2,2),
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),
{⃗AE·n=(0,-2,-2)·(x,y,z)=-2y-2z=0,
则
⃗EF·n=(2,0,1)·(x,y,z)=2x+z=0,
令x=1,得z=-2,y=2,故n=(1,2,-2),
设直线GF与平面AEF所成角的大小为θ,
|⃗GF·n| 2 √6
则sin θ=|cos<⃗GF,n>|= = = .
|⃗GF|·|n| 3√6 9
(3)易知平面BEC的一个法向量为m=(0,0,1),
由(2)可知,平面AEF的一个法向量为n=(1,2,-2),
设平面AEF与平面BEC所成角的大小为α,
|m·n| 2
则cos α=|cos<m,n>|= = ,
|m|·|n| 3
2
故平面AEF与平面BEC所成角的余弦值为 .
3
11.(2024届江苏常州教育学会期中,21)已知三棱柱ABC-A B C 中,
1 1 1
AB=AC=2,AA =3,∠A AB=∠A AC=∠BAC=60°,M,N分别为线段AC ,BA 上的点,且满足
1 1 1 1 1
AM BN
=
=t(0<t<1).
AC BA
1 1
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(1)求证:MN∥平面ABC;
(2)求证:BB ⊥BC;
1
√3
(3)设平面MNA∩平面ABC=l,已知二面角M-l-C的平面角的正弦值为 ,求t的值.
3
解析 (1)证明:过M,N分别作ME∥CC 交AC于点E,NF∥A A交AB于点F,连接EF,
1 1
ME AM NF BN
∵AA ∥CC ,∴ME∥NF,∴ = 且 = ,
1 1 CC AC A A BA
1 1 1 1
AM BN ME NF
= =
∵ ,∴ ,又CC =AA ,∴ME=NF,
AC BA CC A A 1 1
1 1 1 1
∴四边形MEFN为平行四边形,∴MN∥EF,
∵MN 平面ABC,EF 平面ABC,
∴MN⊄ ∥平面ABC.
⊂
(3分)
(2)证明:连接B C.∵BB =3,BC=2,⃗B C=⃗AC-⃗AB =⃗AC-⃗AB-⃗A A ,
1 1 1 1 1
1 1 1
∴|⃗B C|2=(⃗AC-⃗AB-⃗A A )2=4+4+9-2×2×2× -2×2×3× +2×2×3× =13,∴|B C|=
1 1 2 2 2 1
√13,
∴BB2 +BC2=B C2,∴BB ⊥BC. (6分)
1 1 1
(3)取BC的中点D,连接A D,AD,A C,
1 1
∵△ABC为等边三角形且AB=2,∴AD⊥BC,AD=√3.
√ 1
在△A AB中,A B= 4+9-2×2×3× =√7,
1 1
2
易得△A AB≌△A AC,∴A C=A B=√7,
1 1 1 1
在△A BC中,D为BC中点,∴A D⊥BC,
1 1
∴A D=√7-1=√6,∴A D2+AD2=AA2 ,∴A D⊥AD. (8分)
1 1 1 1
如图,分别以⃗DA,⃗DB,⃗D A 的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
1
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则A(√3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A (0,0,√6),
1
⃗DC =⃗DC+⃗CC =⃗DC+⃗A A =(0,-1,0)+(-√3,0,√6)=(-√3,-1,√6),即C (-√3,-1,√6),
1 1 1 1
设M(x,y,z),∵⃗AM=t⃗AC ,
1
{x=√3-2√3t,
∴(x-√3,y,z)=t(-2√3,-1,√6),即 y=-t,
z=√6t,
故M(√3-2√3t,-t,√6t),同理可得N(0,1-t,√6t),
∴⃗MN=(2√3t-√3,1,0),⃗AM=(-2√3t,-t,√6t),
设平面AMN的法向量为n =(x ,y ,z ),
1 1 1 1
∴ { (2√3t-√3)x 1 + y 1 =0, 可取n = ( 1,√3-2√3t, 3√2 -√2t ) . (10分)
-2√3tx -t y +√6tz =0, 1 2
1 1 1
易知平面ABC的一个法向量为n =(0,0,1),
2
√3
设二面角M-l-C的平面角为θ,则sin θ= ,
3
|n ·n |
则|cos θ|=|cos<n ,n >|= 1 2
1 2 |n ||n |
1 2
| 3√2|
√2t-
2 √6
=
= ,
√ 1+(√3-2√3t) 2+ ( √2t- 3√2) 2 3
2
1 7
化简得44t2-36t+7=0,解得t= 或t= . (12分)
2 22
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