文档内容
专题 7.5 空间向量与立体几何
目录
题型一： 空间向量的线性运算.......................................................................................................3
题型二： 共线、共面向量定理....................................................................................................10
题型三： 数量积运算.....................................................................................................................15
题型四： 求夹角取值范围.............................................................................................................17
知识点总结
知识点一、空间向量及其有关概念
名称 定义
共线(平行)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
么这些向量叫做共线向量或平行向量
向量
共面向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向
对于任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数
λ，使 a ＝ λ b
量定理
共面向
如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件
是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ x a ＋ y b
量定理
空间向量
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在
唯一的有序实数组 ( x ， y ， z ) ，使得p＝xa＋yb＋zc
基本定理
知识点二、空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则
1 2 3 1 2 3a＋b＝ ( a ＋ b ， a ＋ b ， a ＋ b)，
1 1 2 2 3 3
a－b＝ ( a － b ， a － b ， a － b)，
1 1 2 2 3 3
λa＝ ( λa ， λ a ， λ a)，λ∈R，
1 2 3
a·b＝ab ＋ ab ＋ ab.
1 1 2 2 3 3
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a ，a ，a)，b＝(b ，b ，
1 2 3 1 2
b)，则
3
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b(λ∈R)；
1 1 2 2 3 3
a⊥b⇔a·b＝0⇔ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0；
1 1 2 2 3 3
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝
.
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P(x ，y ，z)，P(x ，y ，z)，则P1P2＝ ( x －
1 1 1 1 2 2 2 2 2
x ， y － y ， z － z)，|PP|＝.
1 2 1 2 1 1 2
知识点三、用空间向量研究直线、平面的位置关系
位置关系 向量表示
直线l，l 的方向 l∥l n∥n⇒n＝λn
1 2 1 2 1 2 1 2
向量分别为n，n l⊥l n⊥n⇔n·n＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
l∥α n⊥m⇔m·n＝0
直线 l的方向向量为 n，平面 α
的法向量为m
l⊥α n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β
n∥m⇔n＝λmα⊥β n⊥m⇔n·m＝0
例题精讲
题型一：空间向量的线性运算
【要点讲解】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将
已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则
把所求向量用已知基向量表示出来.
【例1】已知点 ，3， ， ，3， ， ，则点 的坐标为
A． ，3， B． ， ， C． ，6， D． ，3，
【解答】解：设 ， ， ，
因为 ，3， ， ，3， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ， ， ，0， ，
所以 ，解得 ，即 ，3， ．
故选： ．
【变式训练1】在正四面体 中，过点 作平面 的垂线，垂足为 点，点 满
足 ，则
A． B．
C． D．
【解答】解： 在正四面体 中， 平面 ，为 的中心，连接 ，
则 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，在空间四边形 中， ， ， ，点 满足
，点 为 的中点，则
A． B． C． D．
【解答】解：在空间四边形 中， ， ， ， ，点 为
的中点，
则
．
故选： ．
【变式训练3】在平行六面体 中，点 是线段 上的一点，且 ，设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 ，
故选： ．
【变式训练4】如图，在平行六面体 中， 是 的中点，点 在 上，
且 ，设 ， ， ．则
A． B．
C． D．
【解答】解： ， ， ．
因为 是 的中点，
所以 ，
又因为点 在 上，且 ，
所以
，
所以 ．故选： ．
【变式训练5】如图，四棱锥 的底面是矩形，设 ， ， ，
是棱 上一点，且 ，则 ，则
A．1 B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ，
又 ，
则 ， ， ，
则 ．
故选： ．
【变式训练6】平行六面体 的所有棱长都是 1， 为 中点，
， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：依题意
，
又 ，所以 ， ．故选： ．
【变式训练7】如图，平行六面体 的各棱长均为1，
， ，则
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 由 已 知 可 得 ， ，
，
而 ，
，
．
故选： ．
【变式训练8】在 平 行 六 面 体 中 ， ， ， ，
， ，则 的长
A．10 B． C． D．
【解答】解：如下图， ，则 ，
所以 ，
又 ， ， ， ， ，
所以 ．故选： ．
【例2】三棱柱 中， 、 分别是 、 上的点，且 ，
．设 ， ， ．
（Ⅰ）试用 表示向量 ；
（Ⅱ）若 ， ， ，求 的长．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 由 图 形 知
．
（Ⅱ）由题设条件
，
， ．
【变式训练1】如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， 为 空 间 一 点 ， 且 满 足，则下列说法错误的是
A．当 时，点 在棱 上 B．当 时，点 在线段 上
C．当 时，点 在棱 上 D．当 时，点 在线段 上
【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， 为 空 间 一 点 ， 且 满 足
，
对于 ：当 时， ，又 ， ，所以 ，
则点 在棱 上，故 正确；
对于 ：当 时， ， ， ， 点 在线段 上，故
错误；
对于 ：当 时， ，
所以 ，及 ，且 ， ， 点 在棱 上，故 正确；
对于 ；当 时， ， ，
即 ，所以点 在线段 上，故 正确．
故选： ．题型二：共线、共面向量定理
【要点讲解】(1)对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①PA＝
λPB；②对空间任一点O，存在实数t，使OP＝OA＋tAB；③对空间任一点O，OP＝(1－
t)OA＋tOB或OP＝xOA＋yOB，这里x＋y＝1.
(2)对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：①MP＝xMA＋
yMB；②对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；③对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB＋
zOM，其中x＋y＋z＝1；④PM∥AB.
【例3】已知向量 ， ， ，若向量 与向量 ， 共面，
则实数 的值为
A．1 B． C． D．
【解答】解：向量 与向量 ， 共面， 不共线，则 ，
即 ，2， ， ， ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练1】在下列条件中，点 与点 ， ， 一定共面的是A． B．
C． D．
【解答】解：若点 与点 ， ， 共面，则 ， ， 共面，从而存在实数 ，
使得 ，
即 ，
，
，
而 选项都不满足，故 错误；
对 ，由 ，可得 ，
因为 ，所以 错误；
对 ， 可 得 ， 化 简 可 得
，满足 ，故 正确．
故选： ．
【变式训练2】已知 是空间两个不共线的向量， ，那么必有
A． 共线 B． 共线
C． 共面 D． 不共面
【解答】解：若 共线，则 ，
又 ，所以 ， ，则 共线，
与条件矛盾，故 错误；同理若 共线，则 ，
又 ，所以 ， ，则 共线，
与条件矛盾，故 错误；
根据空间向量的共面定理可知 共面，即 正确， 错误．
故选： ．
【变式训练3】在下列条件中，一定能使空间中的四点 ， ， ， 共面的是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据共面向量定理， ，
若 ， ， 不共线，且 ， ， ， 共面，则其充要条件是 ，
由此得到选项 ， ， 均不正确；
对于 ， ， ， ， ， 四点共面．
故选： ．
【变式训练4】已知 ，若 共面，则实数 的值为
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：显然向量 与 不平行，而 ， ， 共面，
则存在实数 ， 使 ，即 ，5， ， ， ，4， ，
于是 ，解得 ，所以实数 的值为5．
故选： ．【变式训练5】已知向量 ， ，若 ，则
A． B． C． D．7
【解答】解：由 ，可得 ，
即 ， ， ，0， ，
即 ，解得 ， ，
则 ．
故选： ．
【例4】在正四面体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
设 ， ， ．
（1）用 ， ， 表示 ， ；
（2）求证： ， ， ， 四点共面．
【解答】解：（1） ， 分别是 ， 的中点，
，
， 分别是 ， 的中点，
；
证明：（2） ， ，，
，
，
从而 ， ， ， 四点共面．
【变式训练1】已知空间三点 ， ， ， ，1， ， ，3， ，设 ，
， ．
（1）判断 的形状；
（2）若 ，求 的值．
【解答】解：（1）由于空间三点 ， ， ， ，1， ， ，3， ，
故 ， ， ，
所以 ，故 为等腰直角三角形；
（2）空间三点 ， ， ， ，1， ， ，3， ，设 ， ，
．
故 ， ，
由于 ，故 ，解得 ．
【变式训练2】已知 ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【解答】解：（1）由已知可得 ， ，．
（2） ， ，
， 存在实数 使得 ，
， ， ，联立解得 ．
【变式训练3】如图所示，在平行六面体 中， 、 分别在 和 上，
且 ， ．
（1）证明 、 、 、 四点共面；
（2）若 ，求 的值．
【解答】解：（1）证明： ，
又 ，
又 ，
，
，
故 、 、 、 四点共面；（2） ，
又 ，
， ， ， ．
题型三：数量积运算
【要点讲解】由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a
与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
【例5】向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则
A． B． C．22 D．
【解答】解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】已知点 ，2， ， ，1， ， ，0， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为点 ，2， ， ，1， ， ，0， ，
则 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】设 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：向量 在向量 上的投影向量为 ，
又向量 在向量 上的投影向量为 ，
则 ．
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
故选： ．
【变式训练3】已知空间向量 ，则向量 在坐标平面 上的投影向量是
A． ，2， B． ，2， C． ，2， D． ，2，
【解答】解：空间向量 在坐标平面 上的投影向量为 ，2， ．
故选： ．
【变式训练4】已知四面体 的所有棱长都等于2， 是棱 的中点， 是棱
靠近 的四等分点，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图： 是棱 的中点， 是棱 靠近 的四等分点，，
空间四面体 的每条棱长都等于2，
每个面都是等边三角形，
．
故选： ．
【变式训练5】已知向量 ，若 ， ， ， 共面，
则 在 上的投影向量的模为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， ， 共面，则存在实数 ， ，使得 ，即
，1， ， ， ，
于是 ，
所以 在 上的投影向量的模为 ．故选： ．
【变式训练6】已知空间向量 ， ， ， ，2， ，若 ，则 的
值为
A．1 B． C．2 D．
【解答】解： 空间向量 ， ， ， ，2， ，
，
．
故选： ．
题型四：求夹角取值范围
【例6】已知空间三点 ， ， ， ，0， ， ，3， ，则向量 与 的
夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】已知向量 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：根据 ，
可得 ，2， ， ， ， ，
于是 ，即 ，
所以 与 的夹角为 ．
故选： ．
【变式训练2】若 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范
围是
A． B．
C． D．
【解答】解：因为 ， ，
令 与 共线，则 ，即 ， ， ，0， ，
即 ，解得 ，
此时 ， ，即 ， 与 反向，
又 与 的夹角为钝角，
所以 且 与 不反向共线，
即 且 ，
解得 且 ．
故选： ．
【变式训练3】已知向量 ， ， ， ，2， 的夹角为钝角，则实数 的取值
范围为A． B．
C． D．
【解答】解： 向量 ， ， ， ，2， 的夹角为钝角，
，
解得 ，且 ，
实数 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
【变式训练4】若单位向量 与向量 的夹角等于 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 单位向量 ， ， 与向量 ，1， 的夹角等于 ，
，且 ，
即 ，
，即 ，
故选： ．
【例7】设 ， ，向量 ，1， ， ， ， ， ， ， ，且 ，
，
（1）求 ；
（2）求向量 与 夹角．【解答】解：（1） ， ，向量 ，1， ， ， ， ， ， ， ，
且 ， ，
可得 ， ，解得 ， ，
则 ， ， ，
则 ．
（2）因为 ，4， ，
所以
向量 与 夹角为 ．
【变式训练1】如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 底面 ， 为棱
上一点，且 ， ．以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
（2）求 ， ．
【解答】解：（1）依题意可得 ， ， ， ，3， ， ，3， ， ，0，
．（2）因为 ， ，
所以 ， ．
