文档内容
专题 14 立体几何常见压轴小题全归纳
目 录
01 球与截面面积问题...........................................................................................................................1
02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题.....................................................................................6
03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题...................................................................................15
04 立体几何中的交线问题.................................................................................................................23
05 空间线段以及线段之和最值问题..................................................................................................27
06 空间角问题....................................................................................................................................31
07 轨迹问题........................................................................................................................................40
08 以立体几何为载体的情境题..........................................................................................................46
09 翻折问题........................................................................................................................................49
01 球与截面面积问题
1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二面角 的大小为 ，球 与直线 相切，且平面 、平面 截球 的两个截面圆的半径分别为 、 ，则球 半径的最大可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 在平面 、平面 内的射影点分别为 、 ，
设球 切 于点 ，连接 、 、 ，如下图所示：
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
由球的几何性质可知， ，
因为 ， 、 平面 ，则 平面 ，
同理可知， 平面 ，
因为过点 作直线 的垂面，有且只有一个，所以，平面 、平面 重合，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，同理可知， ，
所以， 、 、 、 四点共圆，
由已知条件可知， ， ，
因为 平面 ， 、 平面 ，则 ， ，
所以，二面角 的平面角为 或其补角.
①当 时，
由余弦定理可得
，故 ，
易知， 为 外接圆的一条弦，
所以，球 半径 的最大值即为 外接圆的直径，即为 ；②当 时，
由余弦定理可得
故 ，
易知， 为 外接圆的一条弦，
所以，球 半径 的最大值即为 外接圆的直径，即为 .
综上所述，球 的半径的最大可能值为 .
故选：D.
2．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一
个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球， 为圆柱上下底面
的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则平面DEF截球所得的截面面积最
小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由球的半径为 ，可知圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，过 作 于 ，如图所示：
则由题可得 ，
设平面 截得球的截面圆的半径为 ，
当EF在底面圆周上运动时，
到平面 的距离
所以
所以平面 截得球的截面面积最小值为 ，
故D正确；
故选：D.
3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥 （底面是正三角
形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点E是线段BC的中点，过点E作
球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：是 在底面的射影，由正弦定理得， 的外接圆半径 .
由勾股定理得棱锥的高 设球 的半径为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，即 与 重合，
所以当过点E作球O的截面垂直于 时，截面面积最小，
此时截面半径为 ，截面面积为 .
故选：A.
4．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在正方体 中， 分别为 的中点，
该正方体的外接球为球 ，则平面 截球 得到的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接 ，由题意易知 ，
，故四边形 为平行四边形.
设 ，取 的中点 ，连接 ，在Rt 中， ，
故点 到 的距离为 ，故点 到 的距离为 ，
因此圆心 到平面 的距离为 .由题易知球 的半径 ，
故平面 截球 得到的截面圆的半径 ，故截面圆的面积 .
故选：D
02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题
5．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，
其中 ， ， ， ，则
A．当 时，△ 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【答案】
【解析】对于 ，当 时， ，即 ，所以 ，故点 在线段 上，此时△ 的周长为 ，
当点 为 的中点时，△ 的周长为 ，
当点 在点 处时，△ 的周长为 ，
故周长不为定值，故选项 错误；
对于 ，当 时， ，即 ，所以 ，
故点 在线段 上，
因为 平面 ，
所以直线 上的点到平面 的距离相等，
又△ 的面积为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，故选项 正确；对于 ，当 时，取线段 ， 的中点分别为 ， ，连结 ，
因为 ，即 ，所以 ，
则点 在线段 上，
当点 在 处时， ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ，
同理，当点 在 处， ，故选项 错误；
对于 ，当 时，取 的中点 ， 的中点 ，
因为 ，即 ，所以 ，
则点 在线的 上，
当点 在点 处时，取 的中点 ，连结 ， ，
因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在正方形 中， ，
又 ， ， 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在正方体形 中， ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为过定点 与定直线 垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点 ，使得 平面 ，故选项 正确．
故选： ．
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱 的各条棱的长度均相等， 为 的中点， ，
分别是线段 和线段 上的动点 含端点 ，且满足 ，当 ， 运动时，下列结论正确的是
（ ）
A．在 内总存在与平面 平行的线段B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D． 可能为直角三角形
【答案】ABC
【解析】取 、 的中点 、 ，连接 、 、 .
对于A选项， 且 ， ，
，且 ，
易知四边形 为梯形或平行四边形，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， ，则 ，
且 ，
为 的中点， ，
所以，四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，A选项正确；
对于B选项， 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， ， 平面 ，
平面 ，因此，平面 平面 ，B选项正确；
对于C选项，因为 的面积为定值，， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ，所以，点 到平面 的距离为定值，进而可知，三棱锥 的体积为定值，C选
项正确；
对于D选项， 平面 ， 平面 ， ，
为 的中点，则 ，
若 为直角三角形，则 为等腰直角三角形，则 ，
设正三棱柱 的棱长为 ，则 ，则 ，
因为 ，故 ，所以， 不可能为直角三角形，D选项错误.
故选：ABC.
7．（2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 为线段
上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥 外接球表面积为
B．三棱锥 的体积为定值
C．过点 平行于平面 的平面被正方体 截得的多边形的面积为D．直线 与平面 所成角的正弦值的范围为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，三棱锥 外接球即为正方体 的外接球，
正方体 的外接球直径为 ，
故三棱锥 外接球的表面积为 ，A对；
对于B选项，因为 且 ，故四边形 为平行四边形，
所以， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
， ，B对；
对于C选项， 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以， ，
平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
又因为 平面 ， ，所以，平面 平面 ，
所以，过点 平行于平面 的平面被正方体 截得的多边形为 ，
易知 是边长为 的等边三角形，该三角形的面积为 ，C错；
设点 到平面 的距离为 ，由 知，
点 到平面 的距离为 ，当点 在线段 上运动时，因为 ，若 为 的中点时， ， ，
当点 为线段 的端点时， ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ，D正确.
故选：ABD．
8．（2023·广东实验中学高一期中）已知正四面体 的棱长为 ，其外接球的球心为 ．点 满足
，过点 作平面 平行于 和 ，设 分别与该正四面体的棱 、 、 相
交于点 、 、 ，则（ ）
A．四边形 的周长为定值
B．当 时，四边形 为正方形
C．当 时， 截球 所得截面的周长为
D． ，使得四边形 为等腰梯形
【答案】ABC
【解析】对于A选项，因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
，同理可得 ，所以， ，同理 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ， ，
因为 ，则 ，同理 ，所以， ，因此，四边形 的周长为定值 ，A对；
对于B选项，取线段 的中点 ，连接 、 ，
因为 ， 为 的中点，所以， ，同理 ，
因为 ，所以， 平面 ， 平面 ， ，
当 时，则 ，
因为 ， ， ， ，
所以，四边形 为正方形，B对；
对于C选项，将正四面体 补成正方体 ，
则正方体 的棱长为 ，
该正方体的体对角线为 ，
所以，线段 的中点 为正四面体 的外接球球心，则球 的半径为 ，
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，因为 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
因为 ，所以，平面 平面 ，
设平面 分别交棱 、 、 、 于点 、 、 、 ，连接 、 、 、 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， ，
同理 ，因为 ， ，同理 ，
所以四边形 为平行四边形，
， ，则 ，则 ， ，
因为点 到平面 的距离为 ，
易知平面 与平面 之间的距离为 ，
所以，球心 到平面 的距离为 ，
所以，球 被平面 所截的圆的半径为 ，
因此，当 时， 截球 所得截面的周长为 ，C对；
对于D选项，由A选项可知，四边形 必为平行四边形，D错.
故选：ABC.
9．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，点P满足 ，
， ，则（ ）
A．当 时，
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的最小值为
D．当 时，存在唯一的点P，使得点P到 的距离等于到 的距离
【答案】ABD
【解析】当 时， 的轨迹为线段 ，连接 ，则 ，又 平面 ， ，
∴ 平面 ， ，
同理可得 ，
故 平面 ， 平面 ，所以 ，故A正确；
当 时，点 的轨迹为线段 （ 为 的中点），直线 平面 ，故三棱锥
的体积 为定值，故B正确；
当 时， 点轨迹为线段 ，将三角形 旋转至平面 内，可知 ，由余弦
定理可得 ，故C错误；当 时， 点轨迹为以 为为圆心，1为半径的四分之一圆弧 ，
由点P到 的距离等于到 的距离，即点P到点 的距离等于到 的距离，
则 点轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线上，
故存在唯一的点P，使得点P到 的距离等于到 的距离，故D正确.
故选：ABD．
03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题
10．（2022•乙卷）已知球 的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于圆内接四边形，如图所示，，
当且仅当 ， 为圆的直径，且 时，等号成立，此时四边形 为正方形，
当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，
则 ，
该四棱锥的高 ，
该四棱锥的体积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
该四棱锥的体积最大时，其高 ，
故选： ．
11．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】【解析】如图所示，正四棱锥 各顶点都在同一球面上，连接 与 交于点 ，连接 ，则
球心 在直线 上，连接 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
在 中， ，即 ，
球 的体积为 ， 球 的半径 ，
在 中， ，即 ，
， ，
，又 ， ，
该正四棱锥体积 ，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
（4） ，
又 ， ，且 ，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是 ， ，
故选： ．
12．（2023·四川省内江市第六中学高二期中）已知四面体 的所有棱长均为 ， 分别为棱的中点， 为棱 上异于 的动点．有下列结论：
①线段 的长度为 ； ②点 到面 的距离范围为 ；
③ 周长的最小值为 ； ④ 的余弦值的取值范围为 ．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 四面体 所有棱长均为 ， 四面体 为正四面体；
对于①，作 平面 ，垂足为 ，
四面体 为正四面体， 为 的中心， 且 ；
取 中点 ，连接 ，则 ， 且 平面 ；
， ， ；
平面 ， 平面 ， ， ，①正确；
对于②，在 上取点 ，使得 ，则 ， ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
， ，
设 ， ，
， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ，
，
点 到平面 的距离 ，令 ，则 ， ，
， ，即点 到平面 的距离的取值范围为 ，②正确；
对于③，将等边三角形 与 沿 展开，可得展开图如下图所示，
则 （当且仅当 为 中点时取等号），
四边形 为菱形， 分别为 中点， ，
，
则在四面体 中， 周长的最小值为 ，③正确；
对于④，设 为 中点，若点 在线段 上，设 ，则 ，其中 ，
在 中， ；在 中，同理可得： ，
；
当 时， ；
当 时， ， ，
， ；
的取值范围为 ；
同理可得：当 在线段 上时， 的取值范围为 ；
综上所述： 的余弦值的取值范围为 ，④正确.
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为 的正方体 ，棱 中点为 ，动点 、 、
分别满足：点 到异面直线 、 的距离相等，点 使得异面直线 、 所成角正弦值为定值
，点 使得 ．当动点 、 两点恰好在正方体侧面 内时，则多面体 体积最
小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意 都在平面 内，其中 为定点.
点 到异面直线 、 的距离相等，
在正方体中， 平面 , 故连接 ,有 ,所以 为点 到直线 的距离.
所以在平面 上，点 满足到点 的距离等于到直线 的距离.
所以动点 的轨迹是为以 为焦点，以 为准线的抛物线在正方体侧面 内的部分．
由 ，所以异面直线 、 所成角为 （或其补角）
在正方体中， 平面 ,又 平面 ，所以
所以 ,又
所以 ，则
所以 ，即动点 的轨迹是为以 为圆心， 为半径的 圆．
在四边形 中， ,又
在平面 内，取 的中点 ，连接 ,以 为 轴， 为 轴则直线 的方程为： ，即 ，
则点 到直线 的距离的最值为：
所以 的最小值为 .
动点 的轨迹方程为： ，设
所以点 到直线 的距离 （当 时取得等号）
所以 面积最小值
所以四边形 面积
点 满足 ，又 .
所以点 在以 为弦的劣弧上，由 ，则圆心角为 . 其半径为2，圆心到 的距离为 .所以圆弧上的点到 的距离的最大值为 .
当劣弧所在的平面垂直于平面 时，圆弧上的点到平面 的距离最小值为
所以动点 到面 距离最小值为 ，
所以多面体 体积最小值为
故选：A
04 立体几何中的交线问题
14．（2023·四川成都·高三校联考期末）在正方体 中， 为线段 的中点，设平面
与平面 的交线为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体 的棱长为2，
以点A为坐标原点，AB、AD、 所在直线分别为x、y、z轴建系，如图所示：
则 、 、 、 、 ．
设平面 的法向量为 ，， ，
由 ，
取 可得 ；
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 ，
取 可得 ，
设直线 的方向向量为 ，
∵直线 平面 ，直线 平面 ，
， ，
∴ ，
取 可得 ，
已知 ，设直线 与 所成角为 ，
，
即直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：B．
15．（2023·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥 的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取BD的中点为 ，所以 为球心，过 作 平面 于点 ，
即 为 的中心，延长 交所以 交 于点 ，则 为 的中点，
所以 ， ，
取 的中点 ，连接 ， ，则 平面 ，
因为 平面 ，即 ，且 ，
，
所以 为以BD为直径的球面上一点，
分别取 的中点 ，连接 ，
且 ，所以 也为以BD为直径的球面上一点，
则 为等边三角形， 的外接圆即为四边形 的外接圆，
为外接圆的半径，所以 ，
所以以BD为直径的球面与 的交线L长为 外接圆周长的 ，
所以 .
故选：A.16．（2023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大
古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体 .已知该正方体中，点
分别是棱 的中点，过 三点的平面与平面 的交线为 ，则直线 与直线 所成角
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示，在平面 中，连接 与 交于 ，则 ，在平面 中，连接 与 交于 ，则 ，
则 为平面 与平面 的交线 ，且 ，
而在等边 中 与 所成的角为 ，
故 与直线 所成角 .
故选：
05 空间线段以及线段之和最值问题
17．（2023·河北·高一校联考期末）已知四棱锥 的底面 是边长为2的正方形， 底面
， ，则四棱锥 外接球表面积为 ；若点 是线段 上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，
设 中点为O，
由 底面 ， 底面 ，所以 ,
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，同理可得 ，
因为 ， ，所以 ，所以在 中，
，
所以O为四棱锥 外接球的球心， 为该球半径，
所以其表面积为 ；
将 绕AC翻折到与 所在面重合，此时 运动到 处，连接 ，交AC于点Q，如图，
此时 最小，因为 ， ，
所以 ，又 ， ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为： ；
18．（2023·浙江绍兴·高一统考期末）直三棱柱 中， ， ， 、 分
别为线段 、 的动点，则 周长的最小值是 .
【答案】 /
【解析】如下图所示：将面 、面 沿着 延展为一个平面，
将面 、面 沿着 延展为一个平面，连接 ,
此时，线段 的长即为 周长的最小值，
则 ， ，
由于 ， ， ，则 ，
延展后，则四边形 为矩形，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，所以， ，
延展后，则 ，
由余弦定理可得 .
故答案为： .
19．（2023·广西玉林·统考二模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在
鳖臑PABC中， 平面ABC， ，AB＝3， ，PA＝4，D，E分别为棱PC，PB上一点，
则AE＋DE的最小值为 ．【答案】
【解析】因为 平面ABC， 平面 ，所以 ，又 ， ，
平面 ，所以 平面 ， 平面 ，则 ．因为 平面ABC， 平面 ，
所以 ，则PB＝5， ．设 ， ， ， ， ，
．如图，将 沿着PB转动到P，A，B，C四点共面，此时
，
过A作 于H，则AE＋DE的最小值为 ．
故答案为： .
20．（2023·北京门头沟·统考一模）在正方体 中，棱长为 ，已知点 、 分别是线段、 上的动点（不含端点）.
① 与 垂直；
②直线 与直线 不可能平行；
③二面角 不可能为定值；
④则 的最小值是 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①④
【解析】对于①，因为 ，则 、 、 、 四点共面，
因为四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，①对；
对于②，当 、 分别为 、 的中点时， ，
又因为 ，此时 ，②错；
对于③，因为 、 ，平面 即为平面 ，平面 即为平面 ，
所以，二面角 即为二面角 ，而二面角 为定值，
故二面角 为定值，③错；
对于④，因为 平面 ， 平面 ，则 ，同理可得 ，
因为 ，同理可得 ， ，
将 和 延展至同一平面，如下图所示：
在 中， ， ，
因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，故 ，
所以， ，
当 时， 取最小值，且最小值为 ，④对.
故答案为：①④.
06 空间角问题
21．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱 ， ， ， 分别是棱 ， 上的点．
记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则A． B． C． D．
【答案】
【解析】 正三棱柱 中， ，
正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，
如图，过 作 ，垂足点为 ，连接 ，则 ，
与 所成的角为 ，且 ，
又 ， ， ， ，
与平面 所成的角为 ，且 ， ，
， ①，
再过 点作 ，垂足点为 ，连接 ，
又易知 底面 ， 底面 ，
，又 ， 平面 ，
二面角 的平面角为 ，且 ，又 ， ，
， ， ， ②，
又 ， ， ③，
由①②③得 ，又 ， ， ， ， 在 ， 单调递增，，
故选： ．
22．（2022•甲卷）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，
则
A．
B． 与平面 所成的角为
C．
D． 与平面 所成的角为
【答案】
【解析】如图所示，连接 ， ，不妨令 ，
在长方体 中， 面 ， 面 ，所以 和 分别为 与平面 和平面 所成的角，
即 ，
所以在 中， ， ，
在 中， ， ，
所以 ， ， ，
故选项 ， 错误，
由图易知， 在平面 上的射影在 上，
所以 为 与平面 所成的角，
在 中， ，
故选项 错误，
如图，连接 ，
则 在平面 上的射影为 ，
所以 为 与平面 所成的角，
在 △ 中， ，所以 ，
所以选项 正确，故选： ．
23．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分别
是侧棱 上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，平面
与底面 所成的锐二面角为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得
.
过A作 面EFG，垂足为P，过A作 ，垂足为Q，连接 ，易得 即为直线 与
平面 所成的角 ，
则 ，又 面EFG， 面EFG，则 ，又 ， 面 ，
，
所以 面 ， 面 ，则 ，则 即为平面 与底面 所成的锐二面角 ，
则 ，
又 ，则 ，同理可得 ，则
，
又由
，
，
则 ，
故 ，A，C错误；
故 ，由 可知 ，所以 ，
即 ，整理可得，
即 ，即 ，
故 ，又 ，故 ，
B正确，D错误.
故选：B.
24．（2023·浙江·高三专题练习）在三棱锥 中，顶点P在底面的射影为 的垂心O（O在
内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 ，过BM作平行于AC的截面 ，记 ，
与底面ABC所成的锐二面角分别为 ， ，若 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 可能值为
D．当 取值最大时，
【答案】C
【解析】如图所示，连接延长 交 与 ，连接延长 交 与 ，设平面 平面
顶点P在底面的射影为 的垂心 ， 平面 ，平面 平面
则有：直线 与 平行
又 ，则
平面 ，则
又
则 平面
从而
故 为 与平面 的二面角，即
同理可得：
对选项A， ，又 ，则有：
可得： 与 全等，则
又根据 是 的垂心，则，
综上可得：直线 垂直并平分线段
可得： ，故选项A正确；
对选项B，易知有如下角关系：又 ，则有：
可得：
解得：
则 ，故选项B正确；
对选项C，若 ，则有：
则有：
化简后可得：
令 ，则有：
则有： ，此时方程无解，故选项C错误；
对选项D，设 （ ），则有：
可化简为：
令 ，则有：
则有：
解得：故 取得最大值时， ，此时
同理可得：
故 ，且
则有： ，故选项D正确；
故选：C
25．（2023·全国·高二课时练习）已知正方体 的棱长为3， 为棱 上的靠近点 的三
等分点，点 在侧面 上运动，当平面 与平面 和平面 所成的角相等时，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图1， 为棱 上靠近 的三等分点，由正方体的对称性可知平面 与平面 和平
面 所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分点E，取棱DC上的三等分点N,M，容易证明：
，则 共面，即平面 与平面 和平面 所成角相等，于是点P在
线段FN上.
如图2，过点 作 垂直于FN于 ，容易知道当P位于 时， 最小.如图3，由勾股定理可以求得 ，由等面积法，
.
故选：A.
07 轨迹问题
26．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 的棱长为 ， ， 分别为 ， 的中
点，点 在平面 中， ，点 在线段 上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点 的轨迹长度为 ；②线段 的轨迹与平面 的交线为圆弧；
③ 的最小值为 ；
④过 、 、 作正方体的截面，则该截面的周长为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 的中点为 ，则点 的轨迹是平面 上以 为圆心，以2为半径的圆，所以点 的
轨迹长度为 ，故①错误；
连接 ，易知线段 的轨迹是圆锥 的侧面，而平面 与轴 不垂直，所以线段 的轨迹与
平面 的交线不是圆弧，故②错误；
以 的中点 为原点，分别以 水平向右、垂直平分 为 轴、 轴建立平面直角坐标系，则
所在的直线方程为 ，则点 到直线 的距离为 ，所以 的最
小值为 ，故③正确；
如下图，过 作正方体的截面，为五边形 ，其中 为 的靠近 的三等分点， 为
的靠近 的四等分点.
可计算得 ，
，
所以该截面的周长为 ，故④错误.故选：D.
27．（2023·江西·模拟预测）已知正方体 的棱长为3，点P在 的内部及其边界上运
动，且 ，则点P的轨迹长度为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接 、 、 ，
则 ， ， ，
∴ ⊥平面 ，∴ ，
同理 ，∴ 平面 ．
设 ，连接BE交 于O，
由△BOD∽△ 且BD= 可知OD= ，则 ，
连接OP，则 ，∴ ，
可得点P的轨迹为以点O为圆心， 为半径的圆在 内部及其边界上的部分，
OB=2OE，E为 中点，及△ 为等边三角形可知O为△ 中心，OE= ，如图：
， ， ，
则∠OFE=∠ = ，∴OF∥ ，同理易知OG∥ ，
故四边形 是菱形，则
∴ 的长度为 ，故点P的轨迹长度为 ．
故选：A．
28．（2023·重庆·模拟预测）已知棱长为3的正四面体 ， 是空间内的任一动点，且满足
，E为AD中点，过点D的平面 平面BCE，则平面 截动点P的轨迹所形成的图形的面积为
（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【解析】设 的外心为 ，过 点作 的平行线，以 为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
如图所示，因为 ，所以 ， ，
则 ，设 ，
由 ，可得 ，
整理得 ，
所以动点 的轨迹为以 为球心，半径为 的球及球的内部，分别延长 到点 ，使得 ，
可得 ，可证得 平面 ， 平面 ，
又由 ，所以平面 平面 ，即平面 为平面 ，
如图（1）所示，过 点作 ，可得证得 平面 ，
即 为点 到平面 的距离，
连接 ，根据面面平行的性质，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以 ，即截面圆的半径为 ，
所以球与平面 的截面表示半径为 的圆面，其面积为 .
故选：C.
29．（2023·浙江·模拟预测）在棱长为 的正方体 中，P为侧面 内的动点，且直
线 与 的夹角为30°，则点P的轨迹长为___________；若点 与动点P均在球O表面上，球O的表
面积为___________．【答案】
【解析】
① 与 的夹角为30°， ，
∴ 与 的夹角为30°，
即 ，
平面 ，
∴ ，
则 ，
P点轨迹长度 ．
② ， ， P都在球O上， O在 上，
令半径为R， ， ，
，∴
．
故答案为： ； .
30．（2023·江苏无锡·高三期末）正四面体 的棱长为 ，在平面 内有一动点 ，且满足
，则 点的轨迹是__________；设直线 与直线 所成的角为 ，则 的取值范围为
__________.
【答案】 圆
【解析】设底面 的中心为 ，则 平面 ，
， ,
由 ，
则 ，
点轨迹是圆；
又 ，
如图在平面BCD内建立平面直角坐标系，以BC中点为原点，过点O和BC垂直的直线为y轴，
则 ， ，
故 在 上运动，则可设 ， ,
，
故 ，
故答案为：圆；
08 以立体几何为载体的情境题
31．（2023·河北·高三校联考期末）由空间一点 出发不共面的三条射线 ， ， 及相邻两射线所
在平面构成的几何图形叫三面角，记为 ．其中 叫做三面角的顶点，面 ， ， 叫做
三面角的面， ， ， 叫做三面角的三个面角，分别记为 ， ， ，二面角
、 、 叫做三面角的二面角，设二面角 的平面角大小为 ，则一
定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图， ， ，在 上取一点 ，过 在平面 内作 ，交 于 ，
过 在平面 内作 ，交 于 ，连接 ，
则 是二面角 的平面角，即 .
设 ，在直角三角形 中，
，
在直角三角形 中， ，
，
在 中， ，
在 中， ，
即为
，
所以 .
故选：A.
32．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规
定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度
用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八
面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为 ，该正面体共 个顶点，
因此，该正八面体的总曲率为 .
故选：B.
33．（2023·山西长治·高三统考阶段练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率
为 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，
且平面 ， ，……， 遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、
正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于正四面体，其离散曲率为 ，
对于正八面体，其离散曲率为 ，对于正十二面体，其离散曲率为 ，
对于正二十面体，其离散曲率为 ，
则 ，
所以 .
故选：B.
09 翻折问题
34．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在菱形 中， ， 为
的中点，将 沿直线 翻折成 ，连接 和 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列
说法中错误的是（ ）
A．
B．不存在某个位置，使得 //平面
C．存在某个位置，使得
D． 与 的夹角为
【答案】C
【解析】设 ，对于A：因为四边形 为菱形， ，
所以 ，则 是等边三角形，
又因为 为 中点，所以 ，即 ，
因为 ，又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，故A正确；
对于B：连接 ， ，设 交 为 ，连接 ，当 //平面 时，
平面 ， 平面 ，所以 // ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，又 // ，所以 ∽ ，
所以 ，矛盾，所以不存在某个位置，使得 //平面 ，故B正确；
对于D：取 的中点 ，连接 ， ，
则 // ，则 （或补角）就是 与 所成的角，
又 // ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 与 所成角为 ，故D正确；
对于C，连接 ，若 ，则 ，又 ，所以 ，在 中， ，所以 ，
又 ，则 ，矛盾，故不存在某个位置，使得 ，故C错误.
故选：C
35．（2023·浙江衢州·高一统考期末）在矩形 中， ， 为 的中点，将 和 沿
， 翻折，使点 与点 重合于点 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知， .
又 平面PAD， 平面PAD，所以MP⊥平面PAD.
设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R，则 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：B
36．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知正方形 的边长为 ，现将 沿对
△
角线 翻折，得到三棱锥 .记 的中点分别为 ，则下列结论错误的是（ ）A． 与平面 所成角的范围是
B．三棱锥 体积的最大值为
C． 与 所成角的范围是
D．三棱锥 的外接球的表面积为定值
【答案】C
【解析】对于A，如图，取 ， 的中点为 ， ，连接 ， ， ， ，
则可得 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证得 平面 ，又 、 平面 ， ，
所以平面 平面 ，
依题意可得 ， ， ，所以 平面 ，
所以 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成的角，
在折叠过程中，设 ，则 ，
由 ， 为 ， 的中点，所以 ，在 中，可得 ，
所以 的取值范围是 ，即 与平面 所成角的范围是 ，
所以A正确；
对于B，当平面 平面 时，点 到平面 的距离最大，
即三棱锥 高的最大值为 ，
此时三棱锥 的最大体积为 ，
所以B正确；
对于C，因为 ，所以 为异面直线 与 所成的角，
所以 ，
所以 的取值范围是 ，所以C错误；
对于D，由 ，所以三棱锥 的外接球的球心为 ，
即外接球半径 ，所以三棱锥 的外接球的表面积为 为定值，
所以D正确.
故选：C
37．（2023·全国·高三对口高考）如图，已知矩形 ， ．将 沿矩形的对角线
所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）A．对任意位置，三组直线“ 与 ”，“ 与 ”，“ 与 ”均不垂直
B．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
C．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
D．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
【答案】D
【解析】在平面 内，作 于E，作 于F，连接 .
对于选项B，假设存在某个位置，使得直线 与直线 垂直.
连接 ，由 ，
平面 ，可得 平面 ，又 平面 ，
则 ，这与平面 内 矛盾，
故假设不成立，则不存在某个位置，使得直线 与直线 垂直.判断错误；
对于选项C，假设存在某个位置，使得直线 与直线 垂直.
由 ， ，
平面 ，可得 平面 ，又 平面 ，
则 ，则 为 的斜边，则 ，
这与 矛盾.
故假设不成立，则不存在某个位置，使得直线 与直线 垂直.判断错误；
对于选项D，假设存在某个位置，使得直线 与直线 垂直.
由 ， ，
平面 ，可得 平面 ，又 平面 ，
则 ，又 ，则 ，
又 中， ，则 ，
中，
则 中， ， ， ，三边长可以构成三角形.
故假设成立，即存在某个位置，使得直线 与直线 垂直.
则选项D判断正确；选项A判断错误.
故选：D
