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培优点 7 概率与统计的创新问题
1．(2022·湖北八市联考)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3∶2逆转击败
韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战 6∶5惊险战
胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三
个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即
使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前
三次扑出点球的个数X的分布列和均值；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训
练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地
随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第 n次传球之
前球在甲脚下的概率为p，易知p＝1，p＝0.
n 1 2
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前，球在乙脚下的概率为q，比较p 与q 的大小．
n 10 10
2．某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广
大消费者喜爱．
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
成交额
9 12 17 21 27
(百亿元)
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2018年为x＝1,2019年为x＝2，…依此类推)的线性回归
方程，并预测2023年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；
(2)在2023年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加
A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”
成功的概率分别为p，q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.
①求X的分布列及E(X)；
②已知每个订单由k(k≥2，k∈N*)件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W
总数量为Y，假设p＝－，q＝，求E(Y)取最大值时正整数k的值．
附：线性回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝－b.
