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第 3 讲 统计与统计案例
[考情分析] 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总
体、线性回归方程的求解与运用、独立性检验等问题，常与概率综合考查，中等难度．
考点一 用样本估计总体
核心提炼
1．用样本的频率分布估计总体的分布
(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.
(2)在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本数据：x，x，…，x.
1 2 n
(1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，
s＝.
(2)方差：s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2](x 是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
1 2 n n
(3)若a>0，数据ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的标准差为as，方差为a2s2.
1 2 n
例1 (1)某学校为了解男生身体发育情况，从2 000名男生中抽查了100名男生的体重情况，
根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是( )
A．样本的众数约为67
B．样本的中位数约为66
C．样本的平均值约为66
D．体重超过75 kg的学生频数约为200人
(2)(2022·张家口模拟)2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间
发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》(以下简称《宣言》)．
承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20
年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某
地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，
如图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，预计该地区( )
A．2030年煤的消费量相对2020年减少了
B．2030年天然气的消费量比2020年的消费量增长了5倍
C．2030年石油的消费量相对2020年不变
D．2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
规律方法 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数．
在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以
小长方形底边中点的横坐标之和．
跟踪演练1 (1)(2022·兰州模拟)2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进
一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．各地积极推进“双减”工作，
义务教育阶段学生负担得到有效减轻．下表是某校七年级10名学生“双减”前后课外自主
活动时间的随机调查情况(单位：小时).
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
“双减”前 1.3 1.2 1.5 1.6 1.2 1.3 1.5 1.1 1.1 1
“双减”后 1.5 2.5 2 3 1.5 2 2.4 0.9 1.4 1.2
设“双减”前、后这两组数据的平均数分别是 ， ，标准差分别是s ，s ，则下列关系正确
1 2 1 2
的是( )
A. ＝＋0.56，ss
2 1 1 2
C.＝＋0.65，ss
2 1 1 2
(2)(2022·赤峰模拟)如图所示的是国家统计局官网发布的2021年3月到2022年3月全国居民
消费价格的涨跌幅情况．关于这个时间段的折线图，有下列说法：
①所有月份的同比增长率都是正数；
②环比增长率为正数的月份比为负数的月份多；
③2021年9月到10月的同比增长率的增幅等于10月到11月的同比增长率的增幅；
④同比增长率的极差为0.9.
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二 回归分析
核心提炼
求线性回归方程的步骤
(1)依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略)．
(2)计算出，，a，b.
(3)写出线性回归方程．
例2 (2022·长沙模拟)为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定
为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为 7月10日至9月
10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2022年7月10日至7月14
日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)的数
据如下表：
7月12 7月14
日期 7月10日 7月11日 7月13日
日 日
第x天 1 2 3 4 5
人数y (单位：万人) 75 84 93 98 100
(1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y(单
位：万人)是否具有较高的线性相关程度？(参考：若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|
r|>0.75，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01)
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(2)求购买人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从 2022年7月
10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位：万人)．
参考数据：(y－)2＝434，(x－)(y－)＝64，≈65.879.
i i i
附：相关系数r＝，
线性回归方程的斜率b＝，截距a＝－b.
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易错提醒 (1)样本点不一定在回归直线上，但点(，)一定在回归直线上．
(2)求b时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆．
(3)利用相关系数判断相关性强弱，看|r|的大小，而不是r的大小．
(4)区分相关系数r与相关指数R2.
(5)通过线性回归方程求的都是估计值，而不是真实值．
跟踪演练2 (1)(2022·汕头模拟)如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法正确
的是( )
A．相关系数r变小
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变小
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
(2)(2022·重庆市育才中学模拟)某种产品的价格x(单位：元/kg)与需求量y(单位：kg)之间的
对应数据如表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得线性回归方程y＝bx＋14.4，则以下正确的是________．(填序号)
①相关系数r>0；
②b＝－0.32；③若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg；
④第四个样本点对应的残差为－0.4.
考点三 独立性检验
核心提炼
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列2×2列联表；
(2)根据公式K2＝，计算K2的值；
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断．K2越大，对应假设事件H 成立(两类变
0
量相互独立)的概率越小，H 不成立的概率越大．
0
例3 (2022·济宁模拟)为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理
模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男
生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活
的人数占总人数的32%.学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了
2×2列联表.
不适应寄宿生活 适应寄宿生活 总计
男生
女生
总计
(1)请将2×2列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别
有关；
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(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10
人中随机抽取2人，若所选2名学生中“不适应寄宿生活”的人数为X，求随机变量X的分
布列及均值．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.025 0.01 0.001
0
k 5.024 6.635 10.828
0
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________________________________________________________________________易错提醒 (1)K2越大，两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格
查得无关的可能性．
(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能
性为0.01.
跟踪演练3 (2022·内江模拟)国内某大学有男生6 000人，女生4 000人，该校想了解本校学
生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天
运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，若规定平均
每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．
根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表：
运动时间
运动达人 非运动达人 总计
性别
男生 36
女生 26
总计 100
(1)请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误的概
率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
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(2)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人
的人数为随机变量X，求X的分布列和均值E(X)及方差D(X)．
附表及公式：
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
0
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
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