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专题 03 概率统计
数列一般作为全国卷第18题或第19题或者是20题.重点题型主要是
1 统计案例分析
2 概率分布列
3 概率赛制问题
4概率决策问题
5 概率与其他知识点交叉
新课标对于概率统计中的情景要求比较高，一般是比较接近生活，接近热点的一些素材作为导入依据，更
能提体现核心素养的要求。
题型一：1统计案例分析
一、解答题
1．我国 技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商
家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的
情况如下表示．
月份 1 2 3 4 5
售价x（元/件） 60 56 58 57 54
月销售量y（千件） 5 9 7 10 9
(1)求相关系数 ，并说明是否可以用线性回归模型拟合 与 的关系（当 时，可以认为两个变
量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；
(2)建立 关于 的线性回归方程，并估计当售价为 元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？
(3)若每件商品的购进价格为 元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少
时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）参考公式：对于一组数据 ，相关系数 ，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ．参考数据： ．
【答案】(1) ，可以用线性回归模型拟合(2) ，当55元/件估计可销售 千件
(3)当商品售价为 元/件时，可使得该商品的月利润最大．
【详解】（1）由已知数据可得 ，
，
，
，
所以相关系数 ，
因为 ，所以 与 有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合．
（2）由于 ，
，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
当 时， ，故当售价为 元/件时，该商品的线上月销售量估计为 千件．
（3）设每月的利润为 元，则 ，
当 时，Z取得最大值．
即当商品售价为 元/件时，可使得该商品的月利润最大．
∴ ，
∴模型①的相关指数小于模型②的相关指数，
∴回归模型②的拟合效果更好
（2）当x＝17亿时，科技升级直接收益的预测值为：
．
1．某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营
销费用 和年销售量 ，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量
的值如下表所示．表中 ， ， ， ．已知 可以作为年销售量y关于年营销费用x的
回归方程．
(1)求y关于x的回归方程；
(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入
多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益 销售利润 营销费用 固定成本）
参考数据： ， ．
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， ．
【答案】(1) (2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大
【详解】（1）由 得， ，令 ， ， ，则 ．
由表中数据可得， ，
则 ，所以 ．
即 ，因为 ，所以 ，
故所求的回归方程为 ．
（2）设年收益为W万元，则 ，
对 求导，得 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
因此，当 时W有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．
题型二：概率分布列
1．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是
继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首
次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两
位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道
题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学
每道题答对的概率均为 ，小陈同学每道题答对的概率均为 ，每道题是否答对互不影响.
(1)求小陈同学有机会答题的概率；
(2)记 为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求 的分布列和数学期望.
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件 ，
所以 ，所以小陈同学有机会答题的概率是 .
（2） 的所有可能取值为0，5，10，15，20，
所以 ， ，
，， ，
所以 的分布列为：
X 0 5 10 15 20
P
所以 .
1．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展．某城市推出了两套方案，并
分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等
方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期
召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾
回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一
系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分
类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了
100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：
并整理得到如下频率分布直方图：
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居
民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞
成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数
学期望．
【答案】(1)方案一，二的满意度平均得分分别为72.6，76.5，且方案二的措施更受居民欢迎；
(2)第80百分位数为85分；(3)分布列见解析，4.
【详解】（1）设A小区方案一的满意度平均分为 ，
则 ，
设B小区方案二的满意度平均分为 ，
则 ，
因为 ，
所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；
（2）因为前4组的频率之和为 ，
前5组的频率之和为 ，
所以第80百分位数在第5组，
设第80百分位数为x，则 ，解得 ，
所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分；
（3）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为 ，低于70分的频
率为 ，
现从B小区内随机抽取5个人，则 ，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
， ，
， ，， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
由二项分布知数学期望 ．
题型三： 概率赛制问题
1．某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A，B，C三个部门
分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决
赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一
场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是 ）.
(1)求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率；
(2)记进入决赛第二轮的选手中来自B部门的人数为X，求X的数学期望.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件 ，
则 .
故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为 .
（2）X的可能取值为 ，
， ，， ，
则X的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
第二十二届世界杯足球赛——卡塔尔世界杯已经落下帷幕，已知参加本届世界杯决赛的球队有32支，他们
被均分成8个小组进行组内单循环赛，且每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局时两队各得1分．小组
赛结束后，每个小组有且只有两队（积分最高的两队）进入16强．假设本届世界杯A小组的甲、乙、丙、
丁四支球队的实力非常接近，该组的每两队之间的比赛出现胜、负、平的概率都是 ．小组赛结束后，积
分由高到低排序，取积分最高的两队进入16强；若需要从积分相同的球队中产生1个队或2个队进入16
强，则要比较这些球队的净胜球数（净胜球数＝进球数－丢球数），净胜球数多的进入16强，假设积分相
同的队净胜球数都不同，且谁多该少的可能性相等．记A小组的甲、乙、丙、丁四支球队的积分总和为
X．
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)已知A小组的甲球队小组赛的最后积分是6分，求甲球队进入16强的概率？
【答案】(1)分布列见解析，16(2)
【详解】（1）A小组的四支球队共要进行6场比赛，每场比赛参赛的两队得分之和为2分或3分，并且和
为2分的概率为 ，和为3分的概率为 ，
所以X的取值可能为12，13，14，15，16，17，18．
， ，， ，
， ，
，
所以X的分布列为：
X 12 13 14 15 16 17 18
P
数学期望 ．
（2）甲球队最后积分是6分，说明甲队小组赛2胜1负，不妨设甲队胜了乙、丙队，负了丁队．
下面以丁队积分Y的值进行讨论：
① 时：乙、丙两队积分之和不超过3分，甲以小组第二进16强， ；
② 时：乙、丙两队积分之和不超过5分，甲以小组第二进16强， ；
③ 时：丁队与乙，丙比赛一胜一负的概率为 ，不妨设丁胜乙负丙，分两种情况：
情况（一）：乙丙平局或乙胜丙的概率和为 ，则甲和丁同积6分进16强， ；
情况（二）：乙负丙的概率为 ，此时甲、丁、丙同积6分，甲净胜球数进前两名的概率为 ，
则这种情况甲进16强的概率 ，
综合上面两种情况： ；
④ 时：丁队平乙丙的概率 ，乙、丙最多积4分，甲队以小组第一进16强， ；⑤ 时：丁队对乙、丙一平一负的概率 ，甲一定能进16强， ；
⑥ 时：丁队负乙负丙的概率 ，甲一定能进16强， ；
综上所述：甲球队进16强的概率为 ．
另解（间接法）：甲积6分，乙、丙、丁三队积分总和小于等于12分，
只有甲和另外两队共3队同积6分，且甲在三队中净胜球数最少这种情况下，甲才不能进16强，
设甲队胜了乙、丙队，负了丁队．
则丁对乙、丙一胜一负的概率 ，不妨设丁胜乙负丙，则丙积6分（胜乙）的率为 ，
此时甲丁丙同积6分，甲净胜球数最少的概率为 ，故甲不能进16强的概率 ，
即甲进16强的概率 ．
2 在核酸检测中，“ 合1”混采核酸检测是指：先将 个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这 个
人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这 个人中
有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
(1)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
①如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
②已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 ．设 是检测的总次数，求 的分布和期望 ．
(2)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设 是检测的总次数，
求 的分布和期望 ，并比较 与（1）中 的大小．
【答案】(1)①20次；②分布列见解析， (2)分布列见解析， ，
【详解】（1）①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次．
②由题意得 的可能取值为20，30．
当 时，两名患者在同一组，故 ，
当 时，两名患者不在同一组，故 ，
从而得到分布列如下：
20 30
期望 ．
（2）由题意得：采用“5合1”混采核酸检测，先检测20次，若两名感染患者在同一组，此时 ，若
两名感染患者不在同一组，则 ． ， ．
得分布列为
25 30
故期望 ，法一：因为 ，所以 ．
法二：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为 ，
“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为 ，则 ，
此时有 ；而 ，
所以 ．
题型四： 概率决策问题
1．在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．
这种起搏器体积只有传统起搏器的 ，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检
测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项
指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均
达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为 ， ， ，设人
工抽检的综合指标不达标率为 （ ）．
(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为 ，求 的极大值点 ；
(3)若芯片的合格率不超过 ，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的 作为p的值，判断该企业
是否需对生产工序进行改良．
【答案】(1) (2) (3)该企业需对生产工序进行改良，理由见解析
【详解】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为 ， ，
，并记芯片智能检测不达标为事件 .
视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，
则有 ， ， ，
由对立事件的性质及事件独立性的定义得： ，
所以每个芯片智能检测不达标的概率为 .
（2）人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为 （ ），
因此
令 ，得 .
当 时， ；当 时， .则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有唯一的极大值点 .
（3）设芯片人工抽检达标为事件 ，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件 ，
由（2）得： ，
由（1）得： ，
所以 ，
因此，该企业需对生产工序进行改良.
1．核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不
超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，
且他们各自完成工作的概率分别为 ， ， .假设 ， ， 互不相等，且假定三人能否完成工作是
相互独立.
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；
(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为 ， ， ，其中 ， ， 是 的
一个排列.
①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望 ；
②假定 ，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？
【答案】(1)无关；理由见解析
(2)① 分布列见解析；期望为 ；②完成任务概率大的人先派出
【详解】（1）无关，理由如下：由于任务不能被完成的概率为 为定值，
故任务能被完成的概率为 也为定值．所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关．
（2）① X的取值为1，2，3，
， ， ，
分布列如图：
X 1 2 3
P
．
② ，若交换前两个人的派出顺序，则变为 ，
由此可见，当 时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后两
个人的派出顺序， 可写为 ，交换后两个人的派出顺序则变为 ；
当 时，交换后两个人的派出顺序可增大均值，故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员
数目的均值（数学期望）达到最小．
题型五：概率与其他知识点交叉
1．某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位
选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回
答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论
答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回
答的是甲的概率为 ，若 ．①求P，P；
2 3
②证明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12
(2)① ， ；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为 ，该选手在第一轮的得分为 ，则 ，
易知 的所有可能取值为0，1，2，
则 ， ， ，
故 的分布列为
0 1 2
P
则 ，所以 ．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴ ，则 ．
②由第n次回答的是甲的概率为 ，得当n≥2时，第 次回答的是甲的概率为 ，第 次回答的不
是甲的概率为 ，则 ，
即 ，
又 ，∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，∴ ，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．1．为弘扬中华优秀传统文化，迎接即将到来的癸卯兔年，某校组织各年级同学参加了“金虎辞旧岁，玉
兔迎新春”主题系列趣味比赛活动．活动包含两个环节，分别是“知识竞答”和“陀螺角逐赛”．每个环
节中，同学们都以个人身份参赛．
I—知识竞答环节：已知答题系统会从甲和乙两个题库中为选手抽取题目．答题时，系统每次随机选择甲与
乙之一，并从中抽取一道题目发放给选手．选手提交答案后，系统自动抽取、发放下一题．只要甲与乙之
中有一个题库发放满4题，此时即停止继续抽题，待选手提交完最后一题，答题结束，系统自动统计该选
手的正确率与平均作答时长．
II—陀螺角逐赛环节：每位选手在赛中进行一系列角逐，最后根据表现，依据比赛规则获得一个对应的分数．
已知高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140．
(1)小明参与知识竞答环节时，已知他已经作答4题，且答题还将继续．记 为小明答题结束时总共作答的
题目数，求 的分布列；
(2)为了解各年级的同学在陀螺角逐赛中的比赛情况，现将总体成绩（单位：分）分为第1层（高一）、第
2层（高二）和第3层（高三）并进行分层抽样．设总样本量为 ，总样本均值为 ，总样本方差为 ，各
层样本量分别为 ，各层样本均值分别为 ，各层样本方差分别为 ．已知 ，
，， ， ， ， ， ．
（i）求 和 的值；
（ii）试推导高三年级成绩样本方差 的表达式，并求出其值．
【答案】(1)详见解析(2)（ⅰ） ， ， ， ；
（ⅱ） ；
【详解】（1）由条件可知， ，
当 时，表示第5次时停止答题，则 ,
当 时，表示第6次时停止答题， ，
当 时，表示第7次时停止答题， ，
则 的分布列
5 6 7
（2）（ⅰ）因为高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140，高三年级抽取7人，则高一抽
取 人，高二年级抽取 人，所以高一、高二、高三年级分别抽取23，10，7人，
即 ， ， ，则样本平均数（ⅱ）设样本分为三层，第一层为 ，第二层为 ，第三层为 ，记样本
为 ，
因为
，
所以 ，同理 ， ，
所以
，
即
所以
其中 ， ， ，且 ， ， ， ， ， ，
代入公式
解得： .
一、解答题1．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发
布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/亿元 692 962 1334 2091 3229
经计算得： =36.33， =112.85.
(1)根据以上数据，建立y关于x的回归方程 （ 为自然对数的底数）.
(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与
标准品尺寸的误差 ，其中m为单件产品的成本（单位：元），且 =0.6827；引入云
计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 .若保持单件产品的成本不变，则 将会
变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =
， .
若 ，则 ， ，
【答案】(1) (2) ，成本下降3元.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
（2）未引入云算力辅助前， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
引入云算力辅助后， ，所以 ，
若保持产品成本不变，则 ，
所以 若产品质量不变，则 ，所以 ，
所以单件产品成本可以下降 元.
2．通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同．若
BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种是传统通信传输技术，采用多个信
道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图1）．
另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术（以两个信
道为例，如图2）．传输规则如下，信号 直接从信道2传输；信号 在传输前先与 “异或”运算得
到信号 ，再从信道1传输．若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传
至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输
出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端．（注：定义“异或”运算： ）．假设每个信道传输成
功的概率均为 ．
(1)对于传统传输技术，求信号 和 中至少有一个传输成功的概率；
(2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术；
①求接收端成功接收信号 的概率；
②若接收端接收到信号 才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率．
【答案】(1) (2)① ；②
【详解】（1）设“信号 和 中至少有一个传输成功”为事件 ，“信号 传输成功”为事件 “信
号 传输成功”为事件
则
（2）若信道1和信道2都传输成功，
由 可得 被成功接收，概率为 ；
若信道1传输成功，信道2传输失败，
由 可得 被成功接收， 接收失败，概率为 ；
若信道2传输成功，信道1传输失败，
可得 被成功接收， 接收失败，概率为 ；
若信道1，2都传输失败，可得 接收失败，概率为 ；
①接收端成功接收信号 的概率为 ；
②接收端接收到信号 的概率为
3．党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进
军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一
个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格
者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知
甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为 ，且甲、乙两人各题是
否答对相互独立.
(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为 ，求 的分布列及 .
【答案】(1)甲、乙两人进入正赛的概率分别为
(2)分布列见详解，
【详解】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为 ，则 ，
可得甲进入正赛的概率 ，
乙进入正赛的概率 ，
故甲、乙两人进入正赛的概率分别为 .
（2）由题意可得： 的可能取值为 ，则有：
，，
，
则 的分布列为：
0 1 2
则 ，
故 .
4．某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否
满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸
两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问
卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业
员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度 ．
(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意
度．
【答案】(1)4(2)40%．
【详解】（1）每次摸到白球的概率 ，摸到黑球的概率为 ，每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 ，
由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数 ，
所以X的数学期望 ．
（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．
由（1）知 ， ， ．
∵ ，
由全概率公式 ，则 ，解得 ，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．
5．2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组
合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对
赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，
则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的
概率为 ，黄政/孙艺赢的概率为 ，且每场比赛相互独立．
(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组
合赢得全部奖金的概率 ；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多
少不同的情况？
(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设 ，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈
宇组合获得奖金数X的分布列．
【答案】(1) (2)28(3)分布列见详解
【详解】（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”，
故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率 .
（2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢 场、黄政/孙艺组合赢 场，用 表示比赛结果，
若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有： ，
故共有 种不同的情况.
（3）若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；
若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为 ，故
韩菲/陈宇组合获得奖金数为 元；
若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为 ，
故韩菲/陈宇组合获得奖金数为 元；
若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元；
即奖金数X的可能取值有 ，则有
，
故奖金数X的分布列为：
0 2500 7500 10000
6．近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报
考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专
业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
该校最低提档分数线 510 511 520 512 526
数学专业录取平均分 522 527 540 536 554
提档线与数学专业录取
12 16 20 24 28
平均分之差
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布 ，其中 为当年该大学的数
学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？
进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用 表示其中高考成绩在584分以
上的人数，求随机变量 的分布列与数学期望.
参考公式： ， .
参考数据： ， ，
【答案】(1)
(2)① ；580分；②详见解析.
【详解】（1）由题意知 ，
， ，
，所以 ， ，
故所求线性回归方程为 ．（2）①由（1）知，当 时， ，
故该大学2022年的数学专业录取平均分约为 ．即
因为 ，又
，
若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，
则本专业2022年录取学生共 ；
进入本专业高考成绩前46名的学生占录取人数的 ，
设一等奖学金分数线应该设定为 分，
则 ，
，
故一等奖学金分数线应该设定为580分；
②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用 表示其中高考成绩在584分以上的人数，其中
该专业获得一等奖学金的学生为46人，其中高考成绩在584分以上的有3人，则 的可能取值为0，1，
2，3；
； ；
；
0 1 2 3.
7．某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动
攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有 的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发
动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有
的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当
于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再
判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害
称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一
和技能二各触发1次”，求条件概率
(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为 的概率记为 ，求 .
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和
技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；
iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；
所以 .
.所以 .
（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为 ,分为：
i. 记事件D：进行 次，均不触发技能二；前面的 次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：
ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的 次触发技能一，第 次未触发技能一.其概率为：
iii. 记事件 ：前面的 次未触发技能二，然后接着的第 次触发技能二；前面的
触发技能一，第 次未触发技能一. 其概率为：
，
则事件 彼此互斥，记 ，
所以
.
所以8．为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，
并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)可以认为这次竞赛成绩 近似地服从正态分布 （用样本平均数 和标准差 分别作为 ， 的
近似值），已知样本标准差 ，如有 的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的
平均分约为多少（结果取整数）？
(3)从 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测 份试卷
（抽测的份数是随机的），若已知抽测的 份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.
参考数据：若 ，则
.
【答案】(1)80.5(2)72分(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，平均分 ；
（2）由（1）可知， ,
设学校期望的平均分约为 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以学校的平均分约为72分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在 和 的频率分别为 和 ，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在 ，应抽取 人，
分数在 应抽取 人，
记事件 ：抽测 份试卷 ，事件 取出的试卷都不低于90分，
则 , ，
，
则 .
1．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某
种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）和材积量（单
位： ），得到如下数据：样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已
知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．
【答案】(1) ； (2) (3)
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 ，解之得 ．
则该林区这种树木的总材积量估计为
2．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10
分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中
获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1) ；(2)分布列见解析， .
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .3．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习
惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在
未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【详解】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以
4．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得
到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1) 岁；(2) ；(3) ．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以
．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
．
5．（2021·全国·统考高考真题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标
有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1） ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显
著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1） ，
，
，
.
（2）依题意， ， ，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
6．（2021·全国·统考高考真题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比
较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级
二级品 合计
品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）75%；60%；（2）能.
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为 .
（2） ,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
7．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的
同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确
则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题
回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回
答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 类．
【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
； ；
．
所以 的分布列为（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
8．（2020·全国·统考高考真题）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘
汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一
场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终
获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概
率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
