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2024版《5年高考3年模拟》A版
专题一 集合与常用逻辑用语
一、单项选择题
1.(2023届江西“红色十校”联考,2)已知集合A={-2,-1,0,2,3},B={y|y=x+1,x∈A},
则A∩B = (
)
A.{-1,1,3} B.{-1,0,2}
C.{-1,1,2} D.{-1,0,3}
答案 D 由A={-2,-1,0,2,3}可得B={y|y=x+1,x∈A}={-1,0,1,3,4},所以A∩B={-1,0,3}.故选D.
2.(2017课标Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B= ( )
A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
答案 C ∵A∩B={1},∴1∈B,∴1-4+m=0,∴m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∴B={1,3}.
经检验符合题意.故选C.
3.(2023届江苏常熟中学月考一,2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的
个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
答案 C 当x=0,y=0时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-
y=1;当x=1,y=1时,x-y=0;当x=1,y=2时,x-y=-1;当x=2,y=0时,x-y=2;当x=2,y=1时,x-y=1;当
x=2,y=2时,x-y=0.由集合中元素的互异性知B={-2,-1,0,1,2},共5个元素.故选C.
4.(2023届山西临汾期中,2)设集合A={4,5,6},B={4,7},则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个
数是 ( )
⊆ ⌀
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 满足S A且S∩B≠ 的集合S有{4}、{4,5}、{4,6}、{4,5,6},共4个.故选B.
5.(2023届西南“三 ⊆ 省三校”联 ⌀ 考一,1)已知集合A={x|-1≤x<2},集合B= { y|y=x2+ 1} ,则
2
A∩B= ( )
A.[-1,2] B.[-1,+∞)
[1 ] [1 )
C. ,2 D. ,2
2 2
{ 1} { 1} { 1 }
答案 D 因为B= y|y=x2+ = y|y≥ ,所以A∩B= x| ≤x<2 ,故选D.
2 2 2
6.(2023届贵州黔西南州义龙蓝天学校月考,1)已知集合A={√2 021,π},B=Z,则下列结论
正确的是 ( )
A.A∩( B)= B.A B
R
∁ ⌀ ⊆
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C.B A D.A∪B=R
R
答案 ⊆ ∁ C 因为B=Z,√2 021,π是无理数,所以 ∁R B中含有√2 021,π,故A∩( R B)≠ ,A选
项错误;√2 021 B,π B,故A B,B选项错误;
R
A中包括所有整数,故B
R
A,C
∁
选项
⌀
正确;
A∪B不可能为R,故D选项错误.故选C.
∉ ∉ ⊈ ∁ ⊆∁
7.(2023届河南安阳月考,3)若“|x+1|=2”是“log x+2x=a”的必要不充分条件,则实数a=(
2
)
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 B 由|x+1|=2得x=1或x=-3.设集合A={1,-3},方程log x+2x=a的解为集合B.由“|
2
x+1|=2”是“log x+2x=a”的必要不充分条件,得B A且B≠ ,所以B={1}或B={-3}.当B={1}时,
2
log 1+21=a,所以a=2.当B={-3}时,log x+2x=a不成立.故选B.
2 2 ⫋ ⌀
8.(2022福建三模,9)若a>0,b>0,则“a+b<2”的一个必要不充分条件是 ( )
1 1
A. + <1 B.ab<1
a b
C.a2+b2<2 D.√a<√2−b
答案 B 已知a>0,b>0.
1 1 1
对于A,当a+b<2时,取a=b= ,明显可见, + <1不成立,故必要性不成立,A不符合题意.
2 a b
1
对于B,当a+b<2时,0<b<2-a,得ab<a(2-a)=-(a-1)2+1≤1,必要性成立;当ab<1时,取a=2,b= ,
4
明显可见,a+b>2,则a+b<2不成立,充分性不成立,故B符合题意.
3 1 9 1
对于C,当a+b<2时,取a= ,b= ,明显可见,a2+b2= + >2,则a2+b2<2不成立,故必要性不
2 4 4 16
成立,则C不符合题意.
对于D,当a+b<2时,0<a<2-b,明显可见,√a<√2−b成立,必要性成立;当√a<√2−b时,两边
平方,同样有a+b<2,充分性也成立,D不符合题意.故选B.
二、多项选择题
9.(2022武汉二模,9)已知集合A={1,4,a},B={1,2,3},若A∪B={1,2,3,4},则a的取值可以是 (
)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 AB 因为A∪B={1,2,3,4},所以{1,4,a} {1,2,3,4},所以a=2或a=3,故选AB.
10.(2022新高考信息检测原创卷(四),12)已知 ⫋ 函数f(x)=(ax2-2x+1)e2x,则( )
A. f(x)有零点的充要条件是a<1
B.当且仅当a∈(0,1]时, f(x)有最小值
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C.存在实数a,使得f(x)在R上单调递增
D.a≠2是f(x)有极值点的充要条件
答案 BCD 对于A,函数f(x)=(ax2-2x+1)e2x有零点⇔方程ax2-2x+1=0有解,当a=0时,方
1 { a≠0,
程有一解x= ;当a≠0时,方程ax2-2x+1=0有解⇔ ⇒a≤1,a≠0.综上,知f(x)有
2 Δ=4−4a≥0
零点的充要条件是a≤1,故A错误;对于B,由f(x)=(ax2-2x+1)e2x得f '(x)=2x·(ax+a-2)e2x,当
a=0时, f '(x)=-4xe2x,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,此时f(x)有最大值f(0),
无最小值;当0<a<1时,方程ax2-2x+1=0有两个不等实根x ,x (x <x ),当x∈[x ,x ]时, f(x)有
1 2 1 2 1 2
最小值f(x )<0,当x∈(-∞,x )∪(x ,+∞)时, f(x)>0;当a=1时, f(x)=(x-1)2e2x有最小值0;当a>1时,
0 1 2
f(x)>0且当x→-∞时, f(x)→0, f(x)无最小值;当a<0时,x→+∞时, f(x)→-∞, f(x)无最小值.综上,
当且仅当a∈(0,1]时, f(x)有最小值,故B正确;对于C,因为当a=2时, f(x)=(2x2-2x+1)·e2x, f
'(x)=4x2e2x≥0在R上恒成立,此时f(x)在R上单调递增,故C正确;对于D,由f
2−a
'(x)=2x(ax+a-2)e2x知,当a=0时,x=0是f(x)的极值点,当a≠0,a≠2时,x=0和x= 都是f(x)的
a
极值点,当a=2时, f(x)在R上单调递增,无极值点,所以a≠2是f(x)有极值点的充要条件,故
D正确,故选BCD.
11.(2022湖南怀化一诊,9)下列命题为真命题的是 ( )
A.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
1 1
B.“a>b”是“ < ”的充要条件
a b
C.“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件
D.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分又不必要条件
答案 ACD 对于A,由a>b / ac2>bc2,由ac2>bc2 a>b,则“a>b”是“ac2>bc2”的必要
1 1
不充分条件,A是真命题;对⇒于B,若a>0,b<0,则由⇒a>b得不到 < ,B是假命题;易知C、
a b
D是真命题,故选ACD.
三、填空题
[ π]
12.(2015山东,12,5分)若“∀x∈ 0, ,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为
4
.
答案 1
π [ π]
解析 ∵0≤x≤ ,∴0≤tan x≤1,∵“∀x∈ 0, ,tan x≤m”是真命题,∴m≥1.
4 4
∴实数m的最小值为1.
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13.(2023届甘肃武威凉州诊断二,16)已知命题p:(x-m)2<9,命题q:log (x+3)<1,若p是q的必
4
要不充分条件,则实数m的取值范围是 .
答案 [-2,0]
解析 当命题p为真命题时,由(x-m)2<9,得m-3<x<m+3.当命题q为真命题时,由
log (x+3)<1=log 4,得0<x+3<4,即-3<x<1.因为p是q的必要不充分条件,所以
4 4
{m−3≤−3,
(-3,1) (m-3,m+3),即 解得-2≤m≤0.
m+3≥1,
⫋
所以实数m的取值范围是[-2,0].
14.(2022河北衡水第一中学调研一,16)若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件,则b= ;
(2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是 .(答案不唯一,写出一个即可)
1 (1 )
答案 (1) (2) ,+∞ (答案不唯一)
2 2
1
解析 (1)由已知可得A=B,则x=2是方程bx=1的解,且b>0,∴b= .
2
1 1 ( 1)
(2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立,则b> 对任意的x>2恒成立,因为 ∈ 0, ,则
x x 2
1 (1 )
b≥ .满足A是B的充分不必要条件,则b的取值范围可以是 ,+∞ (答案不唯一).
2 2
15.(2023届河南部分重点中学测试,14)已知p: x∈R,ax2+2x+1<0,q:a∈(1,+∞),则¬p是q的
条件.(在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入)
∃
答案 必要不充分
{ a>0,
解析 由题意可知¬p: x∈R,ax2+2x+1≥0,若¬p是真命题,则 解得a≥1,所以
Δ=4−4a≤0,
∀
¬p / q,而q ¬p,所以¬p是q的必要不充分条件.
⇒ ⇒
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