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专题 01 集合、常用逻辑用语与复数
一、单选题
1．（2024届福建省福州市高三上学期第一次质量检测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，故 ，故选C．
2．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期开学考试）已知 （ 为虚数单位），其
中 ， 为实数，则 ， 的值分别为（ ）
A． ，1 B．1， C．1，1 D． ，
【答案】A
【解析】由 ，得 ，得 ，
所以 解得 ，故选A.
3．（2023届陕西省西安市第三十八中学高三2月模拟）若 ，则 在复平面内所对应的点的
坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设有 ，则 ，所以 在复平面内所对应的点的坐标为 ．故选B
4．（2024届宁夏吴忠市盐池中学高三第一次月考）若命题“ ，使得 ”是假命题，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【解析】命题“ ，使得 ”是假命题，即“ 成立”是真命题，
故 ，解得 .故选C.
5．（2024届河南省高三上学期起点考试）已知 ，甲：
，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若 ，显然两集合对应的不等式相同，可得 ，即充分性成立；
必要性：若 ，当 都为空集时，此时只需要满足 且 即可，
不妨取 ，此时满足 ，但 ，即必要性不成立；
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选A
6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）在数列 中，已知 ，则“ ”是“ 为
单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】已知 为单调递减数列，所以 恒成立，即 对任意的 恒成立，因为函数 在 上单调递减，故
，故 .因为 ，因此“ ”是“ 为单调递减数列”的必要
不充分条件，故选B.
7．（2024届江苏省淮阴中学等四校高三上学期期初联考）设集合 ，其中 为实数． 令
， ．若 的所有元素和为 ，则 的所有元素之积为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．0或4
【答案】A
【解析】根据集合中元素的互异性， 且 .由题意， .
情况一：若 时
当 时， ， ， ，
的所有元素和为 ，符合题意，此时 的所有元素之积为 ；
当 时， ， ， ，
的所有元素和为 ，不符题意；
情况二：若 时，此时 ， ， ，
但 此时含有唯一的无理数 ，不可能元素之和为 ；
情况三：若 ， ， 且 时，则 中只有唯一重复元素 ，
则 ，由题意 ，即 ，
此时 ，矛盾.综上所述， 时符合题意，此时 的所有元素之积为 .故选A
8．（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期诊断测试）已知 ， ，
若 ，则实数m的取值范围（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】解不等式 ，即 ，即 ，又 ， ，
故 在 上恒成立，即 在 上恒成立，而 在 上单调递减，
故 ，故 ，即实数m的取值范围为 ，故选B
9．（2024届北京市新高三入学定位考试）已知不共线的两个非零向量 ，则“ 与 所成角为
钝角”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为“ 与 所成角为钝角,所以 ，
所以“ 与 所成角为钝角”是“ ”的充要条件.故选C.
10．（2023届湖北省部分名校高三二模）设 、 、 、 、 是均含有 个元素的集合，且
， ，记 ，则 中元素个数的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，若 ，则 ，不合乎题意.
①假设集合 中含有 个元素，可设 ，则 ，
，这与 矛盾；②假设集合 中含有 个元素，可设 ， ，
， ， ，满足题意.
综上所述，集合 中元素个数最少为 .故选A.
11．（2023届北京市第四中学高三数学保温测试）有三支股票 位股民的持有情况如下：每位股
民至少持有其中一支股票.在不持有 股票的人中，持有 股票的人数是持有 股票的人数的2倍.在持有
股票的人中，只持有 股票的人数比除了持有 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股
票的人中，有一半持有 股票.则只持有 股票的股民人数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】由题意，设只持有 股票的人数为 ，则持有 股票还持有其它殸票的人数为 (图中
的和 )，∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有 或 股票, ∴只持有了 和 股票的人数和为
(图中 部分) . 假设只同时持有了 和 股票的人数为 , ∴ , 即 ，
则 的取值可能是 , 与之对应的 值为 ,
∵没持有 股票的股民中，持有 股票的人数是持有 股票的人数的2倍
∴ ，即 ，∴ 时满足题意，此时 ,
∴只持有 股票的股民人数是 , 故选A.
12．（2023届广东省广州市天河区高三三模）定义 ，设函数
，若 使得 成立，则实数a的取值范围为（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】命题 使得 成立的否定为对 ， ，因为当 或 时， ，
当 时， ，所以当 或 时， ，若命题 ， 为真命题，
则当 时， 恒成立，所以 ，其中 ，
设 ，当 时，函数 在 单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，所以 ，所以 ，矛盾；
当 时，函数 在 单调递减，所以当 时，函数 取最小值，所以 ，
所以 ，矛盾；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时，函数 取最小值，所以 ，所以 ，
所以当 时，命题 ， 为真命题，
所以若 使得 成立，则a的取值范围为 .故选A.
二、多选题
13．（2023届河北省邯郸市大名县第一中学高三下学期2月月考）已知复数 ，则下列结论中正确
的是（ ）
A． 对应的点位于第二象限 B． 的虚部为2 C． D．
【答案】CD
【解析】因为 ，所以 在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故A错误；
，则复数 的虚部为 ，故B错误，
，故C正确；
，故D正确；故选CD
14．（2023届北京市育英学校高三6月统一练习）设 是 中两个子集，对 ，定义：
，若对任意 ， ，则 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】解：因为 ，且对任意 ， ，
所以m，n的值一个为0，另一个为1，即 时， ，或 时， ，
所以 的关系为 或 ，故选AC
15．（2023届河南省安阳市第一中学高三第四次全真模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪
直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 史称戴德金分
割 ，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续
2000多年的数学史上的第一次大危机 所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与
N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金
分割 试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【解析】对于A，因为 ， ，故A错误；
对于B，若 ，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则 ，
则 ，而 内也有有理数，
则 ，故C错误；
对于D，若 ， ，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，故选BD
16．（2024届河南省TOP二十名校高三上学期调研）下列选项中，满足 是 的充分条件的是（ ）
A． ；
B． ；
C． ：四边形 满足 ； ：四边形 是菱形
D． ： 中 ；
【答案】BD
【解析】对A，由 ，得 ，所以由 推不出 ，故A错误；
对B，由 ，得 ，满足充分性，故B正确；
对C，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C错误；
对D，由 知 ，又 ，所以 ，满足充分性，故D正确．故选BD．
17．（2024届】湖北省黄冈市浠水县第一中学高三上学期7月质量检测）已知复数z=a+bi（a，b ），其共轭复数为 ，则下列结果为实数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A， ，不一定为实数;
对于 B， ;
对于 C， ;
对于 D， .故选BCD.
三、填空题
18．（2024届湖北省武汉市高三上学期摸底考试）已知复数 满足 ，则 ．
【答案】3
【解析】因为 ，由求根公式可得 ， ，
所以 .
19．（2023届福建省厦门市高三毕业班适应性练习）设集合 ，集合 ，若
，写出一个符合条件的集合 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ， ，故若 ，则可有 .
20．已知“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围为
．
【答案】【解析】若“ ”表示圆，
则 ，解得 ．
“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，
可得 ，即
所以实数t的取值范围是 ．
21．（2023届上海市徐汇区高三三模）对任意数集 ，满足表达式为 且值域
为 的函数个数为 .记所有可能的 的值组成集合 ，则集合 中元素之和为 .
【答案】643
【解析】 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得极大值0，当 时，该函数取得极小值 ，图象如图：
观察图象知，当 与图像有一个公共点时，相应的 有1种取法；
当 与图像有两个公共点时，相应的 有 种取法；
当 与图像有三个公共点时，相应的 有 种取法，
直线 与函数图象的交点个数可能的取值如下：
，
对应的函数个数为 ，.
所以集合 中元素之和为643.
22．（2023届上海市进才中学高三上学期12月月考）在复平面中，已知点 ，复数 对
应的点分别为 ，且满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为复数 对应的点为
且 则可确定点 在以O为圆心，2为半径的圆上
又 ，所以 为圆的直径，即 关于原点对称
所以
因为
所以
又 ， ，
则
所以
即 的最大值为 ，所以 的最大值为 .
