文档内容
第6讲 双曲线
最新考纲 考向预测
1.了解双曲线的定 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为
义、几何图形和标准 命题趋 载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问
方程，以及它们的简 势 题，其中离心率和渐近线是重点．以选择题、
单几何性质. 填空题为主，难度为中低档.
2.通过圆锥曲线与方
核心素
程的学习，进一步体 数学运算、直观想象
养
会数形结合的思想.
1．双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的
两个定点F ，F M点的 F ， F 为双曲线的焦点
1 2 1 2
||MF |－|MF ||＝2a 轨迹为双曲线 | F F |为双曲线的焦距
1 2 1 2
2a<|F F |
1 2
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
续 表
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A (－a，0)，A (a，0) A (0，－a)，A (0，a)
性 1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
质
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长|A A |＝2a；线
实、虚轴 1 2 1 2
段B B 叫做双曲线的虚轴，它的长|B B |＝2b；a叫做
1 2 1 2双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心率为
e＝.
常用结论
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF | ＝a
1 2 1min
＋c，|PF | ＝c－a.
2min
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支
的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，
PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
常见误区
1．集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
(1)当2a<|F F |时，P点的轨迹是双曲线．
1 2
(2)当2a＝|F F |时，P点的轨迹是两条射线．
1 2
(3)当2a>|F F |时，P点不存在．
1 2
2．双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2，y2前的系数的正负．
3．关于双曲线离心率的取值范围问题，不要忘记双曲线离心率的取值范围是
(1，＋∞)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F (0，4)，F (0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是
1 2
双曲线．( )
(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其右焦点为F (2，0)，则双曲
2
线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其右焦点为F (2，
2
0)，所以解得a＝.又c2＝a2＋b2，且b>0，所以b＝＝＝3.所以双曲线C的方程为－
＝1.故选A.
3．(多选)已知F ，F 分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其中一
1 2
条渐近线上的一点，且以线段F F 为直径的圆经过点P，则( )
1 2
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F F 为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
1 2
C．点P的横坐标为±1
D．△PF F 的面积为
1 2
解析：选ACD.等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由
双曲线的方程可知|F F |＝2，所以以F F 为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错
1 2 1 2
误；点P(x ，y )在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x ，y )在直线y＝x上，所以解得|x |＝
0 0 0 0 0
1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF F 的面积为×2×1＝，
1 2
故D正确．故选ACD.
4．已知方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
解析：因为该方程表示双曲线，所以(m＋2)(m＋5)>0，即m>－2或m<－5，即
m的取值范围为(－∞，－5)∪(－2，＋∞)．
答案：(－∞，－5)∪(－2，＋∞)
5．(易错题)P是双曲线－＝1上任意一点，F ，F 分别是它的左、右焦点，且|
1 2
PF |＝9，则|PF |＝________．
1 2
解析：由题意知a＝4，b＝9，c＝＝，
由于|PF |＝90，b>0)的左、右焦点分别为F ，
1
F ，离心率为.P是C上一点，且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4，则a＝( )
2 1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：选A.通解：设|PF |＝m，|PF |＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF F
1 2 1 2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝＝，所以a＝1，选A.
优解：由题意得，S△PF F ＝＝4，得b2＝4，又＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
1 2
2．已知双曲线C：－＝1(b>0)，F ，F 分别为C的左、右焦点，过F 的直线l分
1 2 2
别交双曲线C的左、右支于点A，B，且|AF |＝|BF |，则|AB|＝( )
1 1
A．4 B．8 C．16 D．32
解析：选C.由双曲线的定义知|AF |－|AF |＝2a，|BF |－|BF |＝2a，由于|AF |＝|
2 1 1 2 1
BF |，所以两式相加可得|AF |－|BF |＝4a，而|AB|＝|AF |－|BF |，所以|AB|＝4a，由
1 2 2 2 2
双曲线方程知a＝4，所以|AB|＝16，故选C.
双曲线的标准方程
(1)(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则
该双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
(2)(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，a＝2，所以当焦点在x轴上
时，＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1；当焦点在y轴上时，＝，所以b＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.综上所述，该双曲线的方程为－＝1或－＝1，故选D.
(2)对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜＜，方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝
1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞0，所以
方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± x，正确；对于选项
D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程表示两
条直线，正确．综上选ACD.
【答案】 (1)D (2)ACD
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法
根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用
的关系有：
①c2＝a2＋b2；
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法
一般步骤
1．已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1，C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 和圆C
1 2 1 2
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
解析：选C.设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C 和圆C 相外切，得|
1 2
MC |＝1＋r，|MC |＝3＋r，|MC |－|MC |＝2<6，所以点M的轨迹是以点C (－3，0)
1 2 2 1 1
和C (3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以
2
点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
2．经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点
P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.故选B项．3．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的标准方程为
________．
解析：方法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4，)，所以λ＝16－4×()2＝4，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
方法二：因为渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，
所以点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得解得
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
双曲线的几何性质
角度一 双曲线的渐近线问题
(2020·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦
点分别为F ，F ，M为双曲线上一点，若cos∠F MF ＝，|MF |＝2|MF |，则此双曲
1 2 1 2 1 2
线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【解析】 由题意，得|MF |－|MF |＝2a，
1 2
又|MF |＝2|MF |，
1 2
所以|MF |＝4a，|MF |＝2a，
1 2
所以cos∠F MF ＝＝，
1 2
化简得c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，所以b2＝3a2，
又a>0，b>0，所以＝，所以此双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.
【答案】 A求双曲线渐近线的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的
常数等于0，即令－＝0，得y＝±x或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y
＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，
y轴对称．
角度二 双曲线的离心率问题
(1)(多选)已知双曲线M：－＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角
为60°，则下列说法正确的是( )
A．M的离心率为
B．M的标准方程为x2－＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
(2)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C
的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为
________．
【解析】 (1)依题意，a2＋b2＝4，因为两条渐近线的夹角为60°，a>b>0，所以
渐近线的倾斜角为30°与150°，所以＝，所以所以ACD正确，B错误．故选ACD.
(2)设B(c，y )，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝.因为
B
AB的斜率为3，所以y ＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以
B
c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率e＝＝2.
【答案】 (1)ACD (2)2
(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转
化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝ ＝.
1．由点(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是(
)A．(1，) B.
C．(，＋∞) D.
解析：选C.由点(1，2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝(a＞0，b＞0)的焦点相同，则双曲线
的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.依题意椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝(a>0，b>0)即－＝1(a>0，
b>0)的焦点相同，可得a2－b2＝a2＋b2，即a2＝3b2，所以＝，可得＝，所以双曲线的
渐近线方程为y＝±x＝±x.
3．(多选)(2020·山东滨洲期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为F (－5，0)，F (5，0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是( )
1 2
A．双曲线的离心率为
B．双曲线过点
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
解析：选ABC.由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率
为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A正确；B选项，
若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为－＝1，故B正确；C选项，若双曲线的
渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为－＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝
25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为－＝1，故C正确；D选项，若双曲线的
实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D错误．
故选ABC.
高考新声音系列6 高考新成员——多项选择题
多项选择题，又称多选题，是一种正确选项数目多于一个的选择题题型．若考
生选出了一个或几个正确选项，但没有选出全部的，给3分，选错一个就不得分．
在做多选题时，每一个选项都可能是满足题意的，所以需要逐一计算验证，出现
拿不准的选项，可以采用保守策略，此项不选，以免造成错选得0分．多项选择题，
依据其考查内容有下列几类．类型一 概念辨析型
概念辨析型多项选择题就是利用相关概念、定义、性质等逐项进行辨析，解读
此类题目的关键如下：
(1)明概念，巧借选项所给信息，正确理解概念，明确辨析点；
(2)辨问题，结合概念的内含和外延，对题中所述概念再进一步深层次辨析；
(3)定选项，利用概念对选项作选择，也可借助反例法、特值法求解．
(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
【解析】 对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜＜，方程mx2＋ny2＝1可变形
为＋＝1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞
0，所以方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于
选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± x，正确；对
于选项D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±，该方程
表示两条直线，正确．综上选ACD.
【答案】 ACD
类型二 运算求解型
运算求解型问题就是根据题中已知条件，通过运算求得结果，然后进行判断
的问题，此类问题实质就是一个定量的分析问题．其解题关键如下：
(1)定问题，即根据选项明确所求解的问题，建立相应的求解目标；
(2)析条件，即分析题中与所求目标相关的条件，确定计算所需的基本量，如
圆锥曲线方程中的参数、数列中的通项公式和项数、三角函数中的角等；
(3)求数值，即通过目标建立相关问题的模型，然后利用相应的数学知识求解
相关数值；
(4)定选项，根据所求解的结果判断选项的正误，从而得到正确的结果．
(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，P是C上的动点
1 2
则下列结论正确的是( )
A．|PF |＋|PF |＝2
1 2
B．离心率e＝
C．△PF F 面积的最大值为
1 2D．以线段F F 为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
1 2
【解析】 对于A选项，由椭圆的定义可知|PF |＋|PF |＝2a＝2，所以A选项
1 2
正确．
对于B选项，由椭圆C可知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正
确．
对于C选项，|F F |＝2c＝2，当P为椭圆短轴端点时，△PF F 的面积取得最
1 2 1 2
大值为·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误．
对于D选项，线段F F 为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线
1 2
x＋y－＝0的距离为＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F F 为直
1 2
径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D选项正确．
综上所述，结论正确的为AD.
【答案】 AD
类型三 逻辑推理型
逻辑推理型多项选择题就是根据已知条件，利用相关的定理、性质等逐项进
行推理论证的多项选择．解决此类问题的关键如下：
(1)判断类型，即判断选项涉及的数学问题类型，确定数学模块归属；
(2)确定依据，即根据选项确定解决此类问题的模块理论依据，如不等式的性
质、空间线面关系的判定定理、函数的性质等；
(3)逻辑推理，即利用相关的定理、推理、性质等对选项进行逐项判断，然后选
出正确选项．
(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则
下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β
D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
【解析】 对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n或m，n异面或m，n相交，
所以A错误．对于B，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.又n⊥β，所以α∥β，所以B正确．
对于C，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α.又α∥β，m⊄β，所以m∥β，所以C正确．
对于D，若m∥n，n⊥α，则m⊥α.又α⊥β，所以m∥β或m⊂β，所以D错误．故选
BC.
【答案】 BC类型四 数据分析型
数据分析就是根据统计图表，提取相关数据，并根据数据的特征以及变化进
行分析判断，从而得到相关结论．解题关键如下：
(1)提取数据，即根据选项研究的问题，从统计图表中读取相应的数据；
(2)分析数据，即分析提取数据的特征，如变化率、变化趋势、最值等，根据选
项研究的问题进行简单分析；
(3)确定选项，即根据数据分析的结果逐项判断选项的正误，从而得到正确结
果．
(多选)(2021·武汉部分学校高三起点质检)2020年7月，有关部门发布
在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区电影院在
各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业．一批影院恢复开放
后，统计其连续14天的相关数据得到如图所示的统计图．其中，日期编号为1的
那天是周一，票房指电影院门票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．
由统计图可以看出，这连续14天内( )
A．周末日均票房和观影人次高于非周末
B．电影院票房，第二周相对于第一周同期呈上升趋势
C．观影人次在第一周的统计中逐日增长量大致相同
D．每天的平均单场门票价格都高于20元
【解析】 由题意，根据统计图可得当编号为6，7，13，14时，电影院门票销售
金额分别为3 022万元，3 238万元，3 736万元，4 842万元，观影人次分别为
121.5万人次，132万人次，140.2万人次，177.8万人次，
票房和观影人次高于非周末，所以A是正确的；
根据统计图可得电影院票房第二周相对于第一周同期呈上升趋势，所以B是
正确的；
根据统计图可得第一周的观影人次逐日增长量(单位：万人次)分别为5.1，
5.8，3.5，45，45.6，10.5，
所以观影人次在第一周的统计中逐日增长量有明显差别，所以C不正确；由统计图可得第4天的平均单场门票价格为≈18.414(元)＜20元，所以D不
正确．
故选AB.
【答案】 AB
类型五 综合型
综合型多选题就是同一道选择题中，定量、定性问题都出现，此类问题既需要
利用相关理论进行逻辑推理，又必须根据条件进行定量分析，所以思考量比较大．
解决此类问题的基本思路是先分类，再逐项进行检验．其解题步骤如下：
(1)合理分类：即根据选项研究的问题类型进行合理分类，将其分为定性型问
题(如空间中的线面关系、函数的性质的判断等)与定量型问题(如求角、距离、面
积、体积等)两大类．
(2)逐类判断：即对归类后的问题进行逐类分析，对于定性型问题，可利用相
关的定理、性质等进行逻辑推理，进而判断正误；对于定量型问题，如几何体的体
积、平面图形的面积、圆锥曲线的离心率等的求解，可根据已知条件代入求值，进
而判断正误．
(3)确定选项：即根据判断结果得到正确选项．
(多选)(2020·山东烟台高二期末)已知F ，F 分别是双曲线－＝1(a＞
1 2
0，b＞0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若|PF |＝2|PF |，且
1 2
△PF F 的最小内角为30°，则( )
1 2
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF ＝45°
2
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
【解析】 A．因为|PF |＝2|PF |，|PF |－|PF |＝2a，所以|PF |＝4a，|PF |＝2a.
1 2 1 2 1 2
又因为2c＞2a，4a＞2a，所以∠PF F ＝30°，
1 2
所以cos ∠PF F ＝＝，所以c＝a，所以e＝，故结论正确；
1 2
B．e2＝＝＝3，所以＝2，所以＝±，所以渐近线方程为y＝±x，故结论正确；
C．因为2c＝2a，所以|PF |2＝|PF |2＋|F F |2，
1 2 1 2
所以∠PF F ＝90°，
2 1
又因为|AF |＝c＋a＝(＋1)a，|PF |＝2a，所以|AF |≠|PF |，所以∠PAF ≠45°，
2 2 2 2 2
所以结论不成立；
D．因为所以2(2－2y)2－y2＝2a2，所以7y2－16y＋8－2a2＝0，所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2＞0，
所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以结论正确．故选ABD.
【答案】 ABD
[A级 基础练]
1．(2020·武汉部分学校质量检测)已知双曲线E：－＝1的离心率为，则双曲线
E的焦距为( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选D.因为a＝4，离心率e＝＝，所以c＝5，所以双曲线的焦距2c＝10，
选D.
2．(2020·广东广州增城区调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互
相垂直，焦距为6，则该双曲线的实轴长为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B.因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－＝－1.又因为焦距为
6，故2c＝6，结合a2＋b2＝c2，解得a＝3，b＝3，c＝3，故实轴长2a＝6.故选B.
3．(2020·高考天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x
的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
解析：选D.由题知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线方
程为x＋＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与
一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
4．(多选)已知双曲线C上的点到点(2，0)和(－2，0)的距离之差的绝对值为2，
则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的标准方程为x2－＝1
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为
D．圆x2＋y2＝4与双曲线C恰有2个公共点解析：选AC.根据双曲线的定义得c＝2，2a＝2，所以a＝1，b＝＝＝，所以双
曲线C的标准方程为x2－＝1，A正确．由双曲线C的方程为x2－＝1，得双曲线C
的渐近线方程为y＝±x，B错误．双曲线C的一个焦点坐标为(2，0)，则其到渐近线
的距离d＝＝，C正确．圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端
点坐标为(±1，0)，所以圆与双曲线的公共点有4个，D错误．故选AC.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 作圆x2＋y2
1 2 1
＝a2的切线，交双曲线右支于点M.若∠F MF ＝45°，则双曲线的渐近线方程为(
1 2
)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选A.如图，作OA⊥F M于点A，F B⊥F M于点B.因为F M与圆x2＋y2
1 2 1 1
＝a2相切，∠F MF ＝45°，所以|OA|＝a，|F B|＝|BM|＝2a，|
1 2 2
F M|＝2a，|F B|＝2b.又点M在双曲线上，所以|F M|－|F M|＝
2 1 1 2
2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a.所以＝.所以双曲线的渐近线
方程为y＝±x.故选A.
6．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，
则C的离心率为________．
解析：由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋
b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.
答案：
7．已知点P为双曲线－＝1右支上一点，点F ，F 分别为双曲线的左、右焦点
1 2
M为△PF F 的内心，若S△PMF ＝S△PMF ＋8，则△MF F 的面积为________．
1 2 1 2 1 2
解析：由题意知a＝4，b＝3，则c＝5，设△PF F 内切圆的半径为R，因为
1 2
S△PMF ＝S△PMF ＋8，所以(|PF |－|PF |)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以
1 2 1 2
S△MF F ＝×2c×R＝10.
1 2
答案：10
8．如图，F 和F 分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为
1 2
圆心，以|OF |为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F AB是等边三角形，
1 2
则双曲线的离心率为________．解析：设F F ＝2c，连接AF ，因为△F AB是等边三角形，且F F 是⊙O的直
1 2 1 2 1 2
径，所以∠AF F ＝30°，∠F AF ＝90°，所以|AF |＝c，|AF |＝c，
2 1 1 2 1 2
2a＝c－c，e＝＝＝＋1.
答案：＋1
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，
它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.
所以＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为－＝1.
10．已知双曲线Γ：x2－＝1(b>0)．
(1)若Γ的一条渐近线方程为y＝2x，求Γ的方程；
(2)设F ，F 是Γ的两个焦点，P为Γ上一点，且PF ⊥PF ，△PF F 的面积为
1 2 1 2 1 2
9，求b的值．
解：(1)因为双曲线Γ：x2－＝1(b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，所以＝2，所以
b＝2.因此Γ的方程为x2－＝1.
(2)由双曲线定义可得||PF |－|PF ||＝2a＝2.
1 2
又PF ⊥PF ，△PF F 的面积为9，
1 2 1 2
所以|PF ||PF |＝18，且|PF |2＋|PF |2＝|F F |2＝4c2，所以4c2＝|PF |2＋|PF |2＝(|
1 2 1 2 1 2 1 2
PF |－|PF |)2＋2|PF |·|PF |＝40，故c2＝10，所以b2＝10－1＝9，因此b＝3.
1 2 1 2
[B级 综合练]
11．(多选)已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点
F，且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则( )
A．C的方程为－＝1
B．C的两条渐近线的夹角为60°C．点F到C的渐近线的距离为
D．C的离心率为2
解析：选ABD.由题意易知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以双曲线
C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F的坐标为(－1，0)，c＝1，从而b2＝1－a2.把x＝－
1，b2＝1－a2代入－＝1，整理得y＝±，所以|AB|＝，S ＝×|AB|×c＝××1＝，
△AOB
得a＝，所以双曲线C的方程为－＝1，故A正确；C的渐近线方程为y＝±x，所以
两条渐近线的夹角为60°，故B正确；F(－1，0)到y＝±x 的距离d＝，故C错误；C
的离心率e＝＝2，故D正确．
12．已知M(x ，y )是双曲线C：－y2＝1上的一点，F ，F 是双曲线C的两个焦
0 0 1 2
点．若MF1·MF2<0，则y 的取值范围是________．
0
解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F (－，0)，F (，0)，
1 2
则MF1＝(－－x ，－y )，MF2＝(－x ，－y )．
0 0 0 0
因为MF1·MF2<0，
所以(－－x )(－x )＋y<0，
0 0
即x－3＋y<0.
因为点M(x ，y )在双曲线C上，
0 0
所以－y＝1，即x＝2＋2y，
所以2＋2y－3＋y<0，所以－0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点
2
A，B，求|AB|.
解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶
点，
所以解得c＝3，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F (3，0)，
2
所以经过双曲线右焦点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
2
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，则x ＋x ＝－，x x ＝－.
1 1 2 2 1 2 1 2所以|AB|＝ × ＝.
14．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为
4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上
存在点D，使OM＋ON＝tOD(O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，因为一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，所以由焦点到
渐近线的距离为，得＝.
又因为c2＝a2＋b2，所以b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x ，y )，N(x ，y )，D(x ，y )(x >0)，则x ＋x ＝tx ，y ＋y ＝ty .
1 1 2 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，则x ＋x ＝
1 2
16，y ＋y ＝(x ＋x )－4＝12.
1 2 1 2
所以解得所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．
[C级 创新练]
15．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短
杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔
(如图所示)．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O
转动)，画出的曲线即双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得
双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选D.设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|
＝4<|AO|＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的
焦距2c＝10，实轴长2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝.故选D.
16．已知一簇双曲线E ：x2－y2＝(n∈N*，且n≤19)，设直线x＝2与E 在第一
n n
象限内的交点为A ，点A 在E 的两条渐近线上的射影分别为B ，C .记△A B C
n n n n n n n n
的面积为a ，则a ＋a ＋a ＋…＋a ＝________．
n 1 2 3 19
解析：因为双曲线的方程为x2－y2＝(n∈N*且n≤19)，所以其渐近线方程为y＝±x，设点A (2，y )，则4－y＝(n∈N*，且n≤19)．
n n
记A (2，y )到两条渐近线的距离分别为d ，d ，则S△A B C ＝d d ＝××＝＝
n n 1 2 n n n 1 2
＝，故a ＝，因此{a }为等差数列，故a ＋a ＋a ＋…＋a ＝×19＋×＝.
n n 1 2 3 19
答案：
