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第7讲 双曲线(一)
复习要点 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过对双曲
线的学习，进一步体会数形结合的思想．
一 双曲线的概念
1．一般地，我们把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|
1 2
FF|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线
1 2
的焦距．
2．集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
1 2 1 2
(1)当 a < c 时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当 a ＝ c 时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当 a > c 时，点P不存在．
二 双曲线的标准方程和几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
范围 x≥a 或x≤ － a ，y∈R y≤ － a 或y≥a， x ∈ R
对称轴：坐标轴
对称性
对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
性 焦点 F(－c,0)，F(c,0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
质 渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈ (1 ，＋∞ ) ，其中c＝
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA|＝2a；线段BB 叫做双曲线
1 2 1 2 1 2
实轴、
的虚轴，它的长|BB|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的
1 2
虚轴
虚半轴长
a，b，c
c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
的关系
常/用/结/论
1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2．与双曲线 －＝ 1( a >0 ， b >0) 有共同的渐近渐近线求法：－＝0.
线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4．若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|
1 2 1min
PF| ＝c－a.
2min
1．判断下列结论是否正确．
(1)平面内到点F(0,5)，F(0，－5)的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线．
1 2
()
(2)方程－＝1(mn>0)表示双曲线．(√)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(√)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(√)
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离
心率为( )
A． B．5
C． D．2
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝
c2，∴e2＝＝5，∴e＝.
答案：A
3．与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，且与椭圆＋＝1有共同的焦点的双曲线方程是(
)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：可设双曲线方程为y2－＝λ，故2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为－＝1.
答案：B
4．(2024·广东汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程：________.
解析：取c＝，则e＝＝，可得a＝1，所以b＝＝，所以符合条件的双曲线方程为y2－
＝1(答案不唯一，符合要求即可)．
答案：y2－＝1(答案不唯一，符合要求即可)
题型 双曲线的定义及应用
典例1(1)(2024·河南名校模拟)已知△ABC的顶点A(－6,0)，B(6,0)．若△ABC
的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1(x>3)
D．－＝1(x>3)(2)(2024·广州执信中学开学测试)已知双曲线Γ：－＝1的左、右焦点分别为F ，F ，
1 2
过F 的直线分别交双曲线Γ的左、右两支于A，B两点，且∠FAB＝∠FBA，则|BF|＝(
1 2 2 2
)
A．＋4 B．2＋4
C．2 D．
(3)已知双曲线C：－＝1，F ，F 是其左、右焦点．圆E：x2＋y2－4y＋3＝0，点P为
1 2
双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则 | PQ | ＋ | PF | 的最小值 是( )
1
利用双曲线定义转化成(|PQ|＋|PF|) ＋6＝(|FE|－r)＋6＝5＋2.
2 min 2
A．5＋2 B．5＋2
C．7 D．8
解析：(1)如图， | AD | ＝ | AE | ＝ 9 ， | BF | ＝ | BE | ＝ 3 ， | CD | ＝ | CF |，所以 | CA | － | CB | ＝ 9 － 3 ＝ 6 .
切线长定理． 注意是双曲线的右支(除去右顶点)．
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(除去右
顶点)，
则c＝6，a＝3，b＝＝3，顶点C的轨迹方程为－＝1(x>3)．故选C．
(2)由双曲线Γ：－＝1，得a＝2，b＝，c＝.
因为∠FAB＝∠FBA，
2 2
所以|FA|＝|FB|.
2 2
如图，作FC⊥AB于点C，则C是AB的中点．
2
设|FA|＝|FB|＝x，x>0，
2 2
则由双曲线的定义得|FA|－|FA|＝2a＝4，|FB|－|FB|＝2a＝4，
2 1 1 2
可得 | F A | ＝ x － 4 ， | F B | ＝ x ＋ 4 ，
1 1
【敲黑板】利用定义用同一个参数x表示|FA|，|FB|的长度，进而用两种方式表示
1 1
cos∠FBF，列方程求解．
1 2
所以|AB|＝8，即|BC|＝4，故cos∠FBF＝＝.
1 2
又在△BFF 中，由余弦定理得cos∠FBF＝
1 2 1 2
＝＝，
所以＝，解得x＝2.故选C．
(3)由题设，知F(－4,0)，F(4,0)，E(0,2)，圆E的半径r＝1，由点P为双曲线C右支
1 2上的动点，知|PF|＝|PF|＋6，
1 2
∴|PF|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|＋6，
1 2
∴(|PF|＋|PQ|) ＝(|PF|＋|PQ|) ＋6＝|FE|－r＋6＝2－1＋6＝5＋2.故选A．
1 min 2 min 2
1．①抓住“焦点三角形PFF”中的数量关系是求解此类题的关键；②利用定义求动点
1 2
的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|FF|；③焦点
1 2
所在坐标轴的位置.
对点练1 (1)已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1和圆C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同
1 2
时与圆C 及圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．
1 2
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠FPF ＝60°，则
1 2 1 2
△FPF 的面积为________．
1 2
(3)(2024·河北衡水模拟)已知点P在双曲线－＝1的右支上，A(0,2)，动点B满足|AB|＝
2，F是双曲线的右焦点，则|PF|－|PB|的最大值为________．
解析：(1)如图所示，设动圆M与圆C 及圆C 分别外切于A和B两点．
1 2
根据两圆外切的条件，
得|MC |－|AC |＝|MA|，|MC |－|BC |＝|MB|.
1 1 2 2
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC |－|AC |＝|MC |－|BC |，
1 1 2 2
即|MC |－|MC |＝|BC |－|AC |＝2，
2 1 2 1
所以点M到两定点C ，C 的距离的差是常数且小于|C C |＝6.
1 2 1 2
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C 的距离大，与C 的距
2 1
离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．(2)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF|－|PF|＝2a＝2，
1 2
在△FPF 中，由余弦定理，得
1 2
cos∠FPF＝＝，
1 2
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2
∴S ＝|PF|·|PF|·sin 60°＝2.
△F1PF2 1 2
(3)动点B满足|AB|＝2，则点B的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．设双曲线的左
焦点为F ，则F(－3，0)．由题知|PF|－|PF|＝4，|PF|＝|PF|－4.|PF|－|PB|＝|PF|－|PB|－
1 1 1 1 1
4≤|BF|－4，当且仅当B，P，F 三点共线时等号成立．又因为|BF| ＝|AF|＋2＝＋2＝＋
1 1 1max 1
2，所以|PF|－|PB|的最大值为＋2－4＝－2.
答案：(1)x2－＝1(x≤－1) (2)2 (3)－2
题型 求双曲线的标准方程
典例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同的渐近线且经过点(2,2)；
设为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
(2)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x；
可设双曲线：＝±x.
(3)经过两点 P(－3,2)和Q(－6，－7)．
焦点不定设法：mx2－ny2＝1(mn＞0)．
解：(1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，
将(2,2)代入上述方程，得22－4×22＝λ，
∴λ＝－12.
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)方法一： 当双曲线的焦点在 x 轴上时 ，设双曲线的标准方程是－＝1(a>0，b>0)，由
题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；
当双曲线的焦点在 y 轴上时 ，设双曲线的标准方
讨论焦点所在的轴为常规思路，但计算量稍大．
程是－＝1(a>0，b>0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1.
方法二： 把 x ＝ 2 代入渐近线方程 y ＝ x 中，得 y ＝ 2>3 ，又点(2,3)在第一象
分析(2,3)与渐近线位置可确定焦点所在的轴．
限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a>0，b>0)，由题意得解得
所以该双曲线的标准方程为x2－＝1.
方法三：因为双曲线的 渐近线的方程为 y ＝ ± x ，即＝ ± x ，由渐近线的方程可设双曲线
的方程．
所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准
方程为x2－＝1.
(3)设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得∴双曲线的方程为－＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件结合双曲线的定义判断出动点轨迹是双曲线，从而求出 a2，
b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2
的值，即“先定型，再定量”．如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ ( λ ≠0) ，再根据条件求λ的值．
也可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，mx2－ny2＝1(mn＞0)．
注意：①双曲线与椭圆方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0，n>0，且m≠n时
表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
②常见双曲线方程的设法：
(ⅰ)已知 a ＝ b 的双曲线 的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； 等轴双曲线．
(ⅱ)已知过两点的双曲线的方程可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(ⅲ)已知渐近线为±＝0的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0).\s\up7( )
对点练2(1)(2024·天津塘沽一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐
近线均和圆C：x2＋y2－6x＋6＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方
程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(2)(2024·辽宁名校联考)焦点在x轴上的双曲线C与双曲线－＝1有共同的渐近线，且
C的焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线C的方程为____________．
解析：(1)圆C：x2＋y2－6x＋6＝0，整理为(x－3)2＋y2＝3，圆心(3,0)，半径r＝，双曲
线的渐近线方程为bx±ay＝0.
由题意可知，解得b2＝3，c2＝9，a2＝6，所以双曲线的方程为－＝1.故选C．
(2)由题意可设双曲线C的方程为－＝λ(λ>0)，即－＝1，又因为焦点到渐近线的距离为
3，所以＝3，解得λ＝2，所以双曲线C的方程为－＝1.
答案：(1)C (2)－＝1
题型 双曲线的几何性质的多维研讨
维度1 与渐近线有关的问题
典例3 (1)(2023·全国甲卷，理)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，其中
一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则 | AB |＝( )
圆中的弦长可采用几何法：半径2＝半弦2＋弦心距2.
A． B． C． D．
(2)(2024·安徽宣城模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，
1 2
O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点， 直线 PO 交双曲线 C 的左支于点 M ，直线
PF 交双曲线C的右支于点N，若|PF|＝2|PF|，且∠MF N＝60°，
2 1 2 2
|OP|＝|OM| ▱PFMF .
1 2
⇒则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±2x
解析：(1)因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，所以由e2＝＝＝1＋＝5，得＝2，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.由题意知渐近线y＝2x与圆相交，圆心(2,3)到直线y
＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝.故选D．
(2)连接FM.∵点P是双曲线C在第一象限内的点，
1
∴|PF|－|PF|＝2a，又知|PF|＝2|PF|，
1 2 1 2
∴|PF|＝4a，|PF|＝2a.
1 2
∵直线PO交双曲线C的左支于点M，
∴由对称性可知|PO|＝|OM|.
又∵|OF|＝|OF|，
1 2
∴四边形PFMF 为平行四边形，
1 2
∴|MF |＝|PF|＝4a.
2 1
在△POF 中，由余弦定理，得4a2＝|PO|2＋c2－2c|PO|cos∠POF ①，
2 2
在△POF 中，由余弦定理，得16a2＝|PO|2＋c2＋2c|PO|cos∠POF ②，
1 2
由 ① ＋ ② ，得20a2＝2|PO|2＋2c2，
消掉角，找到边之间的联系．
∴|PO|2＝10a2－c2，即|PO|＝，
∴|PM|＝2.又∵直线PF 交双曲线C的右支于点N，且∠MF N＝60°，∴∠MF P＝
2 2 2
120°.在△PMF 中，由余弦定理，得4(10a2－c2)＝4a2＋16a2－2×2a×4a×cos 120°，即c2＝
2
3a2，又知c2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝3a2，∴＝2，∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选A．
(1)若双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则其渐近线的方程为－＝0，即y＝±x.
(2)若双曲线的渐近线的方程为y＝±x，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(3)若所求双曲线与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为－＝λ(λ>0，
焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．
(4)焦点到渐近线的距离恒为b.
对点练3 (1)设F ，F 是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双
1 2
曲线C的右支上一点，若|PF|＋|PF|＝4a，且∠FPF ＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(
1 2 1 2
)A．x±y＝0 B．2x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)(2022·全国甲卷，理)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，
则m＝________.
解析：(1)∵F ，F 是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线定义可
1 2
得|PF|－|PF|＝2a，又知|PF|＋|PF|＝4a，∴|PF|＝3a，|PF|＝a.在△PFF 中，由余弦定
1 2 1 2 1 2 1 2
理的推论可得
cos 60°＝.
即＝，
∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y
＝±x，即x±2y＝0.故选C．
(2)双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－
4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r＝1，依题意，圆心(0,2)到渐近线x
＋my＝0的距离d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去)．
答案：(1)C (2)
维度2 求双曲线的离心率
典例4 (1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦
点分别为F，F.点A在C上，点B在y轴上， F1A ⊥ F1B ， F2A ＝－ F2B ，则C的离
1 2
勾股定理：|AF|2＋|BF|2＝|AB|2.
1 1
心率为________．
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，两条渐近线分别为l ，l.点A在l
1 2 1
上，点B在l 上，且点A位于第一象限，原点 O 与 B 关于直线 AF 对称．若 | AF | ＝ 2 b ，则C
2
的离心率为________．
可知OB⊥AF且|FP|＝b |AP|＝b ∠FOP＝∠AOP＝∠AOx＝60 °.
(3)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
⇒ ⇒
与双曲线的渐近线交于C，D两点，若 | AB |≥ | CD |，则双曲线离心率的取值
|AB|＝ |CD|＝
范围为( )
A． B．
C． D．
解析：(1)方法一：依题意， 设 | AF | ＝ 2 m ，
2
设边长，转化成解三角形问题．
则|BF|＝3m＝|BF|，|AF|＝2a＋2m，m>0.
2 1 1
在Rt△ABF 中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故 a＝m或a＝－
1
3m(舍去)，
所以|AF|＝4a，|AF|＝2a，|BF|＝|BF|＝3a，则|AB|＝5a，
1 2 2 1
故cos∠FAF＝＝＝，
1 2
所以在△AFF 中，cos∠FAF＝＝，整理得5c2＝9a2，
1 2 1 2故e＝＝.
方法二：依题意，得F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
令 A ( x ， y ) ， B (0 ， t ) ，设坐标，借助向量运算．
0 0
因为F2A＝－F2B，所以(x－c，y)＝－(－c，t)，则x＝c，y＝－t.
0 0 0 0
又F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝·(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2.
又点A在C上，则－＝1，
整理得－＝1，则－＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)·(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，
故e＝.故答案为.
(2)依题意，l 的方程为y＝x.因为原点O与B关于直线AF对称，所以AF⊥l ，如图，
1 2
设AF与l 的垂足为P，则|FP|＝b.因为|AF|＝2b＝2|FP|，所以点F，A关于直线l 对称，
2 2
∠FOP＝∠AOP，又l ，l 关于y轴对称，所以∠FOP＝∠AOx，所以l 的倾斜角为×180°＝
1 2 1
60°，故＝tan 60°＝，所以离心率e＝＝2.
故答案为2.
(3)由题可知|AB|＝，不妨设C，D，则|CD|＝，∴≥·，∴b≥c，b2≥c2，∴c2－a2≥c2，
∴≥，所以＝e≥.故选B．
求双曲线离心率的方法
(1)直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.
(2)等价转化法：由e＝或e＝等公式将已知条件转化为关于e的等式，从而得e.
对点练4 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作直线y＝
－x的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于点N，若FN＝2FM，则该双曲线的离心率为(
)
A． B．C．2 D．
(2)已知F，F 分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在
1 2
第一象限内的一点，若sin∠PFF ＝3sin∠PFF ，则双曲线C的离心率的取值范围为(
2 1 1 2
)
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
解析：(1)方法一(几何法)：设双曲线的左焦点为F，连接NF ，设O为坐标原点．
1 1
∵FN＝2FM，∴M为FN的中点，又O为FF的中点，
1
∴OM∥FN.
1
∵FM⊥OM，直线y＝－x即为直线bx＋ay＝0，
∴|FM|＝＝b，|OM|＝a.
∴|FN|＝2b，|FN|＝2a，|FN|－|FN|＝2a.∴2b－2a＝2a b＝2a.∴e＝.
1 1
方法二(解析法)：∵FM垂直于直线y＝－x，
⇒
∴直线FM的方程为y＝(x－c)．
联立∴M.
∵FN＝2FM，∴N.
∵点N在双曲线上，∴将点N的坐标代入双曲线，
得－＝1 e＝.
(2)在△PFF 中，sin∠PFF ＝3sin∠PFF ，由正弦定理，得|PF|＝3|PF|，又点P是
⇒1 2 2 1 1 2 1 2
双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF|－|PF|＝2a，所以|PF|＝3a，|PF|＝a，在
1 2 1 2
△PFF 中，由|PF|＋|PF|>|FF|，得 3a＋a>2c，即 2a>c，所以 e＝<2，又 e>1，所以
1 2 1 2 1 2
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