文档内容
§8.7 双曲线
考试要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对
称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双
1 2 1 2
曲线．两个定点F，F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
1 2
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段AA，长： 2 a ；虚轴：线段BB，长： 2 b ，实半轴长：a，
1 2 1 2
轴
虚半轴长：b
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF|
1 2 1min 2min
＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则
1 2
＝，其中θ为∠FPF.
1 2
(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
教材改编题
1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率
为( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，
又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
2．设P是双曲线－＝1上一点，F ，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|等
1 2 1 2
于( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对
答案 B
解析 根据双曲线的定义得||PF|－|PF||＝8⇒|PF|等于1或17.又|PF |≥c－a＝2，故|PF |＝
1 2 2 2 2
17.
3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程________．
答案 y2－＝1(答案不唯一，符合要求就可以)
解析 取c＝，则e＝＝，
可得a＝1，∴b＝＝，
因此，符合条件的双曲线方程为y2－＝1(答案不唯一，符合要求就可以).
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知定点F(－2,0)，F(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F 关于点N的对
1 2 1
称点为M，线段FM的中垂线与直线FM相交于点P，则点P的轨迹是( )
1 2
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 B
解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF 的中点，又O为FF 的中点，
1 1 2所以|MF |＝2.因为点F 关于点N的对称点为M，线段FM的中垂线与直线FM相交于点
2 1 1 2
P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF|，
1
所以||PF|－|PF||＝||PF|－|PM||
2 1 2
＝|MF |＝2<|FF|，
2 1 2
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F，F 为焦点的双曲线．
1 2
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在C上，∠FPF ＝60°，则
1 2 1 2
△FPF 的面积为______．
1 2
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF|－|PF|＝2a＝2，
1 2
在△FPF 中，由余弦定理，得
1 2
cos∠FPF＝
1 2
＝，
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2
∴ ＝|PF|·|PF|·sin 60°＝2.
1 2
延伸探究 在本例(2)中，若将“∠FPF ＝60°”改为“PF1·PF2＝0”，则△FPF 的面积为
1 2 1 2
_____．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF|－|PF|＝2a＝2，
1 2
∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，
∴在△FPF 中，有|PF|2＋|PF|2＝|FF|2，
1 2 1 2 1 2
即|PF|2＋|PF|2＝16，
1 2
∴|PF|·|PF|＝4，
1 2
∴ ＝|PF|·|PF|＝2.
1 2
教师备选
1．已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1，C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 和圆C 相外切，则
1 2 1 2
动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1(x≥1)
答案 C
解析 设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C 和圆C 相外切，
1 2
得|MC |＝1＋r，|MC |＝3＋r，
1 2
|MC |－|MC |＝2<6，
2 1
所以点M的轨迹是以点C (－3,0)和C (3,0)为焦点的双曲线的左支，
1 2
且2a＝2，a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
2．(2022·长春模拟)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P
为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A．8 B．10
C．4＋3 D．3＋3
答案 B
解析 由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，
△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，
|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，
故△PAF的周长的最小值为10.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF|－|PF||＝2a，运
1 2
用平方的方法，建立与|PF|·|PF|的联系．
1 2
跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为，F，F 是C的两个
1 2
焦点，P为C上一点，|PF|＝3|PF|，若△PFF 的面积为，则双曲线C的实轴长为( )
1 2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．6
答案 B
解析 由题意知，|PF|－|PF|＝2a，
1 2
所以|PF|＝a，|PF|＝3a，
2 1
又离心率e＝＝，
|FF|＝2c＝2a，
1 2
所以cos∠FPF＝
1 2
＝＝－，
sin∠FPF＝，
1 2
所以 ＝·a·3a·＝a2＝，所以a＝1，实轴长2a＝2.
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小
值为________．
答案 9
解析 设双曲线的右焦点为F，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF|，
1 1
所以当|PF|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．
1
由双曲线的图象，可知当点A，P，F 共线时，
1
满足|PF|＋|PA|最小，
1
|AF|＋4即|PF|＋|PA|的最小值．
1
又|AF|＝5，故所求的最小值为9.
1
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·北京)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(
)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案 A
解析 ∵e＝＝2，
则c＝2a，b＝＝a，
则双曲线的方程为－＝1，
将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程
为x2－＝1.
(2)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是________．
答案 y2－＝1
解析 设双曲线的方程是y2－＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(3，)，
所以λ＝2－＝1，
故双曲线的标准方程为y2－＝1.
教师备选
1．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C
的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程
为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
2．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点
(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)(2022·佛山调研)已知F ，F 分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上
1 2
一点，PF 与x轴垂直，∠PFF＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
2 1 2
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
答案 D
解析 由题意可知|PF|＝，
1
|PF|＝，
2
2b＝2，
由双曲线的定义可得－＝2a，
即c＝a.
又b＝，c2＝a2＋b2，
∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是
数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线
－＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心率为2，则
该双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由题意知，b＝2，
又因为e＝＝＝2，
解得a2＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E
两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 B
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.
因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，
所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，
所以S ＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，
△ODE
所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以c≥4，所以2c≥8，
所以C的焦距的最小值为8.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两
渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心
率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F ，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF ＝
1 2 1 2
60°，|PF|＝3|PF|，则C的离心率为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 设|PF|＝m，则|PF|＝3m，
2 1
在△FPF 中，
1 2
|FF|＝
1 2
＝m，所以C的离心率e＝＝＝
＝＝.
高考改编
已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点A在双曲线E的左支上，
1 2
且∠FAF＝120°，|AF|＝2|AF|，则双曲线E的离心率为( )
1 2 2 1
A. B.
C. D．7
答案 C
解析 点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F，F，
1 2
设|AF|＝m，
1
由|AF|＝2|AF|知|AF|＝2m，
2 1 2
由双曲线定义得
|AF|－|AF|＝2m－m＝m＝2a，
2 1
在△AFF 中，
1 2
|AF|＝2a，|AF|＝4a，∠FAF＝120°，
1 2 1 2
由余弦定理知，
|FF|2＝|AF|2＋|AF|2－2|AF||AF|cos 120°
1 2 1 2 1 2
＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，
∴|FF|＝2a，
1 2
又|FF|＝2c，
1 2
∴2a＝2c，e＝＝.
(2)(2022·滨州模拟)已知F ，F 分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双
1 2
曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PFF＝3sin∠PFF，则双曲线C的离心率的取值范
2 1 1 2
围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
答案 A
解析 在△PFF 中，
1 2
sin∠PFF＝3sin∠PFF，
2 1 1 2
由正弦定理得，|PF|＝3|PF|，
1 2
又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，
所以|PF|－|PF|＝2a，
1 2
所以|PF|＝3a，|PF|＝a，
1 2
在△PFF 中，由|PF|＋|PF|>|FF|，
1 2 1 2 1 2得3a＋a>2c，即2a>c，
所以e＝<2，
又e>1，所以10)的渐近线方程为x±y＝0，则m等于( )
A. B.－1
C. D．2
答案 A
解析 由渐近线方程y＝±x＝±x，
所以＝，
则＝，
即＝，m＝.
2．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2
＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 A
解析 令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，则c＝.
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，
且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，
则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得2＋2＝a2，
∴＝，即离心率e＝.
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，
b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程
(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的
最短距离为1，则( )
A．双曲线C的焦点坐标为(0，±2)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±xC．点(2,3)在双曲线C上
D．直线mx－y－m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点
答案 BC
解析 双曲线C上的点到其焦点的最短距离为c－a＝1，离心率e＝＝2，所以a＝1，c＝2，
所以b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－＝1，所以C的焦点坐标为(±2,0)，A错误；
双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B正确；
因为22－＝1，所以点(2,3)在双曲线C上，C正确；
直线mx－y－m＝0即y＝m(x－1)，恒过点(1,0)，当m＝±时，直线与双曲线C的一条渐近线
平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误．
(2)(2022·威海模拟)若双曲线C ：－＝1与双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线
1 2
C 的离心率的取值范围是( )
2
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为双曲线C ：－＝1的渐近线方程为y＝±x，
1
双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
2
为使双曲线C ：－＝1与双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)有公共点，
1 2
只需>，
则离心率为e＝＝＝>＝.
课时精练
1．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为( )
A. B.
C．(±5,0) D．(0，±5)
答案 A
解析 将双曲线的方程化为标准形式为－＝1，
所以c2＝＋＝，
所以c＝，
所以焦点坐标为.
2．已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1答案 D
解析 由题意，得2＝，解得m＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线E上，且|PF|＝3，则|
1 2 1
PF|等于( )
2
A．11 B．9 C．5 D．3
答案 B
解析 方法一 依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF|－|PF|＝
2 1
2×3＝6，所以|PF|＝6＋3＝9.
2
方法二 根据双曲线的定义，
得||PF|－|PF||＝2×3＝6，
2 1
所以||PF|－3|＝6，
2
所以|PF|＝9或|PF|＝－3(舍去)．
2 2
4．(2022·大连模拟)若双曲线C：－＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3，则C的离心
率为( )
A．2 B. C. D.
答案 A
解析 双曲线C：－＝1的右焦点坐标为(，0)，
渐近线方程为y＝±x，即bx±3y＝0，
∵双曲线C：－＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3，
∴＝3，
解得b＝3，
∴c＝＝＝6，
∴离心率e＝＝＝2.
5．(多选)已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的实轴长为8
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
答案 ABC
解析 因为a2＝16，
所以a＝4,2a＝8，故A正确；
因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为
y＝±x＝±x，故B正确；因为c＝＝＝5，
所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝3，故C正确；
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误．
6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F ，F ，一条渐近
1 2
线方程为y＝x，P为C上一点，则以下说法正确的是( )
A．C的实轴长为8 B．C的离心率为
C．|PF|－|PF|＝8 D．C的焦距为10
1 2
答案 AD
解析 由双曲线方程知，渐近线方程为y＝±x，
而一条渐近线方程为y＝x，
∴a＝4，故C：－＝1，
∴双曲线实轴长为2a＝8，
离心率e＝＝＝，
由于P可能在C不同分支上，
则有||PF|－|PF||＝8，
1 2
焦距为2c＝2＝10.
∴A，D正确，B，C错误．
7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐
近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与
双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案
解析 因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.
所以A(3,0)，F(5,0)，
不妨设直线BF的方程为y＝(x－5)，
代入双曲线方程解得B.
所以S ＝|AF|·|y |＝×2×＝.
△AFB B
9．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F，F.
1 2
(1)若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．解 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵MF1·MF2＝0，
∴MF ⊥MF .
1 2
设|MF |＝m，|MF |＝n，
1 2
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△FMF 中，
1 2
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵ ＝mn＝4＝×2ch，
∴h＝.
即M点到x轴的距离为.
(2)设双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴双曲线C的方程为－＝1.
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，渐近线方程是y＝±x，点
1 2
A(0，b)，且△AFF 的面积为6.
1 2
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数
m的取值范围．
解 (1)由题意得＝，①
＝×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴双曲线C的标准方程是－＝1.
(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x，y)，Q(x，y)，线段PQ的中点为D(x，y)，连接AD(图略)．
1 1 2 2 0 0
将y＝kx＋m与－＝1联立，消去y，
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由4－5k2≠0且Δ>0，得④
∴x＋x＝，xx＝－，
1 2 1 2
∴x＝＝，
0y＝kx＋m＝.
0 0
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，
∴k ＝＝＝－，
AD
化简得10k2＝8－9m，⑤
由④⑤，得m<－或m>0.
由10k2＝8－9m>0，得m<.
综上，实数m的取值范围是m<－或00)，以C的焦点为圆心，3为半径的
圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D．(1，)
答案 B
解析 由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，
又该圆的圆心为(c，0)，
故圆心到渐近线的距离为，则由题意可得<3，即b2c2<9(b2＋4)，
又b2＝c2－a2＝c2－4，
则(c2－4)c2<9c2，
解得c2<13，即c<，
则e＝＝<，又e>1，
故离心率的取值范围是.
13．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x
＋y＋＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，
直线PA，PB的斜率分别为k，k，则k＋k 的取值范围为( )
1 2 1 2
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，可得a＝2b，由双曲线的
左焦点在直线x＋y＋＝0上，可得c＝，
则由a2＋b2＝c2，得a＝2，b＝1，
双曲线的方程为－y2＝1，
由题意可得A(－2,0)，B(2,0)，
设P(m，n)(m>2，n>0)，
则－n2＝1，即＝，
kk＝·
1 2
＝＝，
易知k，k>0，则k＋k≥2＝1，
1 2 1 2
由A，B分别为双曲线的左、右顶点，可得k≠k，则k＋k>1.
1 2 1 2
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，O为原点，若以FF 为
1 2 1 2
直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|FP|＝|OP|，则C的渐近线方程为________．
1
答案 y＝±x
解析 根据双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F ，F ，O为原点，以FF 为直径
1 2 1 2
的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
则|FO|＝|OP|＝c，|FP|＝|OP|＝c，
1 1所以在△POF 中，由余弦定理可得
1
cos∠POF ＝
1
＝＝－.
所以∠POF ＝，则∠POF ＝，
1 2
所以tan∠POF ＝tan＝，
2
则渐近线方程为y＝±x.
15．(多选)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐
近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足EO＋EM＋EN＝0(其中O为坐标原
点)，则( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为
C．|OE|＝1
D．△OMN的面积为6
答案 ABD
解析 如图，
设双曲线C的焦距为2c＝2，MN与y轴交于点P，
由题意可知|OM|＝c＝，
则P(0，b)，由EO＋EM＋EN＝0得点E为△OMN的重心，可得|OE|＝|OP|，
即a＝b，＝＝，
所以a＝2，b＝3，e＝.
双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|OE|＝2，M的坐标为(2,3)，S ＝6.
△OMN
16．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，
|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1)解 设双曲线的半焦距为c，
则F(c，0)，B，因为|AF|＝|BF|，所以＝a＋c，
所以＝a＋c，
所以c－a＝a，即c＝2a，所以e＝2.
(2)证明 设B(x，y)，其中x>a，y>0.
0 0 0 0
因为e＝2，故c＝2a，b＝a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈.
当∠BFA＝时，
由题意易得∠BAF＝，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠时，
因为tan∠BFA＝－＝－，
tan∠BAF＝，
所以tan 2∠BAF＝＝
＝
＝
＝
＝
＝－＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
