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专题 7.1 等差数列及求和
题型一 基本量的计算
题型二 等差中项及等差数列项的性质
题型三 等差数列的判定与证明
题型四 等差数列前 项和的性质
题型五 求等差数列前 项和的最值
题型六 根据等差数列前 项和的最值求参数
题型七 含绝对值的等差数列的前 项和
题型八 等差数列的简单应用
题型一 基本量的计算
例1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，
， ，则 的公差为__________.
例2．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列 的前n项和为 ，若
，则 （ ）
A．44 B．48 C．55 D．72
练习1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）记 为等差数列 的
前n项和．若 ，则 _______．
练习2．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设 为等差数列
的前n项和，若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．12
练习3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ，
则 （ ）A．54 B．71 C．80 D．81
练习4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且
， ， ，则2023是数列 的（ ）
A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项
练习5．（2023·北京海淀·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若
，则公差 __________； __________．
题型二 等差中项及等差数列项的性质
例3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知等差数列 中 ，
，若 ，则 _______．
例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列 中，若
，则 __________.
练习6．（2023春·高三课时练习）在等差数列 中， 是方程 的根，
则 ＝________.
练习7．（2023春·高三课时练习）设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之
和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
练习8．（2023·全国·高三专题练习）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）“ ”是“数列 为等差数列”的
（ ）．A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
练习10．（2023·全国·高二题练习）记 为等差数列 的前n项和，若 ，
，则 ______．
题型三 等差数列的判定与证明
例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
例6．（2023·全国·高二专题练习）在数列 中 4， ，．求
证：数列{ }是等差数列；
练习11．（2023春·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）已知数列 满足 ，
.
(1)设 ，证明： 是等差数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
练习12．（2023春·江西南昌·高三南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知等差数列
前 项和为 ，且 .
(1)若 ，求证：数列 是等差数列.
(2)求数列 的前 项和 .练习13．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知数列{an}满足 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项的积为Tn，证明： .
练习14．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列 的前n项和为 ，
.
(1)若 ，证明：数列 为等差数列.
(2)若 ， ，求 的最小值.
练习15．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列 中， ，且
.
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)记数列 ，求数列 的前 项和 .
题型四 等差数列前 项和的性质
例7．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列 的前n项和是
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ， ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
例8．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列 ， 的前n
项和分别为 和 ，已知 ，则 ______．练习16．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列 的前n项和
记为 ，且 ， ，则 =（ ）
A．70 B．90 C．100 D．120
练习17．（2023春·湖北咸宁·高三鄂南高中校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，
且 ，则 =（ ）
A．0 B． C． D．
练习18．（2023秋·河南商丘·高三校联考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，若数
列 的前 项和为 ，则 ______.
练习19．（2023春·全国·高三合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列 的前 项
和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．18 B．36 C．40 D．42
练习20．（2023春·高三课时练习）已知 ， 分别是等差数列 ， 的前n项和，
且 ，则 ______．
题型五 求等差数列前 项和的最值
例9．（2023春·高三课时练习）在数列 中，若 ，前 项和 ，则
的最大值为______．
例10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{ }的前n项和为
，满足 ，且 ，则当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7练习21．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若
， ，则 取最大值时 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
练习22．（2023春·高三课时练习）在等差数列 中， ，则 取最大值时
n的值是________．
练习23．（2023春·四川凉山·高三宁南中学校考阶段练习）记 为等差数列 的前n项
和，已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习24．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知等差数列 的公差不等于
0.其前n为项和为 ，若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
练习25．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，若
， ，则下列四个命题正确个数为（ ）① 为 的最小值 ② ③
， ④ 为 的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六 根据等差数列前 项和的最值求参数
例11．（2022秋·江苏泰州·高三泰州中学校考期末）（多选）已知等差数列 的前 项
和为 ，当且仅当 时 取得最大值，则满足 的最大的正整数 可能为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知等差数列 的前n项
和为 ， ，则 的取值范围为___________.练习26．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知 是等差数列， 是 的前n项和，
则“对任意的 且 ， ”是“ ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
练习27．（2023春·广西钦州·高三钦州一中校考期中）已知数列 为等差数列，若
， ，且数列 的前 项和有最大值，那么 取得最小正值时 为
（ ）
A．11 B．12 C．7 D．6
练习28．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列 的前n项和为 ，
当且仅当 时， 取得最大值，则满足 的最大的正整数k一定不等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
练习29．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前n项和，且满足：①
；②对 ， ．写出一个同时满足上述两个条件的数列 的
通项公式 ______．
练习30．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，对任意 ，有
．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若当且仅当 时， 取得最大值，求 的取值范围．
题型七 含绝对值的等差数列的前 项和
例13．（2023·湖南·校联考二模）记 为等差数列 的前 项和， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值．
例14．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列 的通项公式为， 则 _________．
练习31．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知在等差数列 中，
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 是数列 的前 项和，求 .
练习32．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知等差数列 的公差
为 ，数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)请直接写出 的结果.
练习33．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ， ，且满足
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 ．
练习34．（2023秋·河北沧州·高三统考期末）在等差数列 中， ， ，
为数列 的前n项和， ，则 的最小值为__________．
练习35．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为
，其中 ， ．
(1)求数列 的通项；
(2)求数列 的前n项和为 ．题型八 等差数列的简单应用
例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）从冬至日起，小寒、大
寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度
依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为 尺，前九个节气日
影长度之和为 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
例16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）林业部门规定：树龄500年以
上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树
龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量
生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽
度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，
靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树
属于（ ）
A．一级 B．二级 C．三级 D．不是古树
练习36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模） 基站建设是众多“新基建”的工程之一，
截至 年 月底， 地区已经累计开通 基站 个，未来将进一步完善基础网络体系，
加快推进 网络建设．已知 年 月该地区计划新建 个 基站，以后每个月比上一
个月多建 个，则 地区到 年 月底累计开通 基站的个数为（ ）
A． B． C． D．
练习37．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中
国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告
厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比
前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12 B．26 C．42 D．50
练习38．（2023春·河南洛阳·高三校联考阶段练习）张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，
用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天
多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8
万步，则张大爷在11月的运动步数是_________万步.
练习39．（2023·安徽马鞍山·统考二模）由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因
而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节
“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用
的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即
相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（
）
A．161 B．162 C．163 D．164
练习40．（2023春·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）我国古代数学家提出的
“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除
问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数
按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项数为（ ）
A．133项 B．134项 C．135项 D．136项
