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第1讲 数列的概念及简单表示
复习要点 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、
公式)，了解数列是一种特殊函数．
一 数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{a}的第n项a
n n
数列{a}的第n项a 与n之间的关系能用公式a ＝ f ( n ) 表达，这个公式
n n n
通项公式
叫做数列的通项公式
前n项和 数列{a}中，S＝a ＋ a ＋…＋ a 叫做数列的前n项和
n n 1 2 n
二 数列的分类
分类原则 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
按项数分类
无穷数列 项数无限
按项与项间 递增数列 a ＞a
n＋1 n
其中
的大小关系 递减数列 a ＜a
n＋1 n
n∈N*
分类 常数列 a ＝a
n＋1 n
有界数列 存在正数M，使|a|≤M
n
按其他 从第二项起，有些项大于它的前
标准分类 摆动数列 一项，有些项小于它的前一项的
数列
三 数列的表示方法
1．表示方法
列表法 列表格表达n与a 的对应关系
n
图象法 把点 ( n ， a )画在平面直角坐标系中
n
通项
公 把数列的通项用公式表达的方法
公式
式
递推 使用初始值a 和a ＝f(a)或a，a 和a ＝f(a，a )等表达数列
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1
法
公式 的方法
2.数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是
定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数a ＝f(n)，当自变量由小到大依次
n
取值时所对应的一系列函数值．
四 a 与S 的关系
n n
若数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
常/用/结/论在数列{a}中， 若 a 最大，则若 a 最小，则
n n n
数列中求最值的方法．
1．判断下列结论是否正确．
(1)1,2,1和1,1,2是同一个数列．()
(2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．()
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()
(4)如果数列{a}的前n项和为S，则对任意n∈N*，都有a ＝S －S.(√)
n n n＋1 n＋1 n
2．已知在数列{a}中，a＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列{a}中的最大值是( )
n n n
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：由题意可知a ＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108，由于n∈N*，故当n取距离最近
n
的正整数6时，a 取得最大值108.∴数列{a}中的最大值为a＝108.
n n 6
答案：B
3．(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项公式可能是( )
A．a＝(－1)n－1＋1
n
B．a＝
n
C．a＝2sin
n
D．a＝cos(n－1)π＋1
n
解析：对n＝1,2,3,4进行验证，得a＝2sin不合题意，其他都可能．
n
答案：ABD
4．中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》
篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，每一层长有a个，宽有b个，
共计ab个木桶，每一层长、宽各比上一层多一个，共堆放 n层．假设最上层有长2、宽1
共2个木桶，共堆放15层，则最底层木桶的个数为________．
解析：最上层有2个，
第2层有(1＋1)×(2＋1)＝2×3(个)，
第3层有(2＋1)×(3＋1)＝3×4(个)，
…
第15层有15×16＝240(个)．
答案：240
题型 归纳法求通项公式
典例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式a.
n
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)4,44,444,4 444，…；(4)1,0，，0，，0，，0，…；
(5)，，，，，….
解：(1)符号可 通过 ( － 1) n 或 ( － 1) n ＋ 1 调节 ，其各
调节奇偶项的符号变化．
项的绝对值的排列规律：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为
a＝(－1)n(6n－5)．
n
(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各
分数型数列常有的结构特点：①分子的变化规律；②分母的变化规律；③分子分母间
的联系．
项都统一写成分数的形式再观察：，，，，，…，故所求数列的一个通项公式为a＝.
n
(3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列 9,99,999 ，…的通项为 10 n － 1 ，故原
数列
基础数列推广到其他形式．
的一个通项公式为a＝(10n－1)．
n
(4)把原数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…呈
周期性出现，因此原数列的一个通项公式为a＝. 摆动数列常见的设计就是1＋(－1)n＋1.
n
(5) 这 是 一 个 分 数 数 列 ， 其 分 子 构 成 偶 数 数 列 ， 而 分 母 可 分 解 为
1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个
通项公式为a＝.
n
由前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、
联想(联想常见的数列)等．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击
破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，
n∈N*处理.\s\up7( )
对点练1(1)(2024·山东菏泽联考)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图中的小
正方形的个数f(n)为( )
A. B.
C. D.
(2)数列，，，，，…的通项公式是a＝________.
n
解析：(1)由题意可得f(1)＝2＋1；f(2)＝3＋2＋1；f(3)＝4＋3＋2＋1；f(4)＝5＋4＋3＋
2＋1；f(5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f(n)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋1＝.
(2)由题意得，a＝＝，
1a＝＝，
2
a＝＝，
3
a＝＝，
4
a＝＝，
5
通过观察，我们可以得到a＝，n∈N*.
n
答案：(1)A (2)，n∈N*
题型 对于a 与S 关系的多维研讨
n n
维度1 已知S 求a
n n
典例2(2024·江西清江中学期末)药物浪费问题引发了广泛的社会关注，过期药品处置
不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续
生产n年的累计年产量(单位：万件)为T(n)＝n(n＋1)(n＋3)，如果年产量超过60万件，可
能出现产量过剩，产生药物浪费．从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的
最大生产期限应拟定为( )
即a≤60的取值范围中n(n∈N*)的最大值．
n
A．7年 B．8年
C．9年 D．10年
解析：设第n年年产量为a ，则第一年年产量为a ＝T ＝2，以后各年年产量为a ＝
n 1 1 n
T ( n ) － T ( n － 1) ＝ n (3 n ＋ 5)( n ≥2 ， n ∈ N * ) ，
【易错提醒】a 的表达式中出现n－1，考虑实际意义，需要对n的范围进行限制，再
n
对没有取到的n进行检验．
a＝2也符合上式，所以a＝n(3n＋5)(n∈N*)．
1 n
令n(3n＋5)≤60，得3n2＋5n－240≤0.
设f(x)＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－，则当x>0时，f(x)单调递增．
又 f (8) ＝ 3×8 2 ＋ 5×8 － 240 ＝－ 8<0 ， f (9) ＝ 3×9 2 ＋ 5×9 － 240 ＝ 48>0 ，
可用验证法，从选项中选出正确选项！
所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为n＝8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为
8年．
故选B.
已知S 求a 的一般步骤
n n
(1)当n＝1时，由a＝S，求a 的值．
1 1 1
(2)当n≥2时，由a＝S－S ，求得a 的表达式．
n n n－1 n
(3)检验a 的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a.
1 n
(4)写出a 的完整表达式.\s\up7( )
n
对点练 2(1)(2024·福建福州质检)已知数列{a}满足 a ＋2a ＋22a ＋…＋2n－1a ＝，
n 1 2 3 n
n∈N*，则数列{a}的通项公式为________．
n
(2)已知数列{a}的前n项和为S，求{a}的通项公式．
n n n
①S＝2n2－3n；
n②S＝2n＋2－3.
n
(1)解析：∵a＋2a＋22a＋…＋2n－1a＝，①
1 2 3 n
∴当n≥2时，a＋2a＋22a＋…＋2n－2a ＝，②
1 2 3 n－1
①－②得，2n－1a＝，∴a＝(n≥2)，③
n n
又∵a＝也适合③式，∴a＝(n∈N*)．
1 n
答案：a＝(n∈N*)
n
(2)解：①当n＝1时，a＝S＝－1.
1 1
当n≥2时，a＝S－S
n n n－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.
∵a 也满足此等式，∴a＝4n－5.
1 n
②根据题意，数列{a}满足S＝2n＋2－3，
n n
当n≥2时，有a＝S－S ＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
n n n－1
当n＝1时，有a＝S＝8－3＝5，不符合a＝2n＋1，故a＝
1 1 n n
维度2 已知a 与S 的关系求a
n n n
典例3(2024·湖北武汉模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝－，且 5 a ＋ S ＋ 16 ＝
n n 1 n＋1 n
0，则a＝________.
n
欲求通项，一般应先得到递推公式，在此基础上，构造等差、等比数列，本例中则在
演绎第二个代数式，相减得到a 的递推．
n
解析：当n＝1时，5a＋a＋16＝0，∴a＝－，
2 1 2
由5a ＋S ＋16＝0①，得 5 a ＋ S ＋ 16 ＝ 0( n ≥2) ②，【易错提醒】利用a ＝S －S
n＋1 n n n－1 n n n－1
时，注意n≥2的条件限制．
①－②得5a ＝4a(n≥2)，
n＋1 n
∵a＝－≠0，∴a≠0，∴＝(n≥2)，
2 n
又＝，∴{a}是首项为－，
n
验证前两项也符合公比的形式．
公比为的等比数列，
∴a＝－·n－1＝－4·n.
n
故答案为－4·n.
利用a 与S 的关系式求通项公式
n n
已知a 与S 的关系式求a 时，一般有两种基本思路：
n n n
(1)消去S ，根据已给出的关系式，令n＝n＋1(n∈N*)或n＝n－1(n≥2)，再写出一个式
n
子，然后将两式相减，消去S ，得到a 与a 或a 与a 的关系，从而确定数列{a}是等
n n n＋1 n n－1 n
差数列或等比数列，然后求出其通项公式．
(2)消去a ，令a ＝S －S (n≥2)，代入a 与S 的关系式中，消去a ，得到S 与S 的
n n n n－1 n n n n n－1
关系，从而确定数列{S}是等差数列或等比数列，求出S 后再求得a.
n n n
对点练3设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则a＝________.
n n 1 n＋1 n n＋1 n
解析：由已知得a ＝S －S＝S S，
n＋1 n＋1 n n＋1 n
两边同时除以S S，得－＝－1.
n＋1 n故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n.
所以S＝－.
n
当n≥2时，a＝S－S ＝－＋＝，当n＝1时，不符合此式，故a＝
n n n－1 n
答案：
题型 由数列的递推关系求通项公式(累加法与累乘法)
典例4分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a＝0，a ＝a＋(2n－1)(n∈N*)；
1 n＋1 n
(2)a＝1，a ＝ a (n≥2，n∈N*)．
1 n n－1
＝
解：(1)当n≥2，n∈N*时，a ＝ a ＋ ( a － a ) ＋…＋ ( a － a )＝0＋1＋3＋…＋
n 1 2 1 n n－1
结合已知条件，构造累加法，这里有一个求和的过程．
(2n－3)＝(n－1)2，当n＝1时，也符合上式．
所以该数列的通项公式为a＝(n－1)2(n∈N*)．
n
(2)当n≥2，n∈N*时，
a ＝ a ×××…× ＝ 1× ×××…×＝n，当n＝1时，也符合上式．
n 1
构造累乘法，体会消项、约分的细节，留下哪些项，约去哪些项．
所以该数列的通项公式为a＝n(n∈N*)．
n
1．累加法求通项公式
如果数列{a}的递推公式满足a －a＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累
n n＋1 n
加法 a ＝ ( a － a ) ＋ ( a － a ) ＋ ( a － a ) ＋…＋ ( a － a ) ＋ a ( n ≥2) ，
n n n－1 n－1 n－2 n－2 n－3 2 1 1
细节是适用于n≥2的各项．
求出数列{a}的通项公式．
n
2．累乘法求通项公式
如果数列{a}的递推公式满足＝f(n)(a≠0)的形式，且f(n)可求积，那么就可以运用累乘
n n
法a＝···…··a(n≥2)，求出数列{a}的通项公式.
n 1 n
对点练4(1)已知数列{a}满足a＝1，a＝2，a －2a ＋a＝，则a ＝( )
n 1 2 n＋2 n＋1 n 100
A. B．2 525
C. D．2 526
(2)数列{a}满足 a ＝1，a ＝a ＋2a ＋3a ＋…＋(n－1)a (n≥2，n∈N*)，则 a ＝
n 1 n 1 2 3 n－1 6
________.
解析：(1)由已知得(a －a )－(a －a)＝，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∴数列{a －a}为等差数列，∴a －a ＝(a －a)＋(n－1)＝，∴a －a ＝，…，a
n＋1 n n＋1 n 2 1 n n－1 3
－a ＝，a －a ＝，∴a －a ＝(a －a )＋…＋(a －a)＋(a －a)＝(2＋3＋…＋n)，解得a ＝
2 2 1 n 1 n n－1 3 2 2 1 n
(n≥2)，∴a ＝.
100
(2)由题意得a ＝a ＋2a ＋3a ＋…＋(n－1)a ＋na ①，当n＝1时，a ＝a ，当n≥2
n＋1 1 2 3 n－1 n 2 1
时，a ＝a ＋2a ＋3a ＋…＋(n－1)·a ②，①－②得a －a ＝na a ＝(n＋1)a(n≥2)，
n 1 2 3 n－1 n＋1 n n n＋1 n
所以a＝1，＝1，＝3，＝4，…，＝n，累乘得a＝(n≥2)，所以a＝＝360.
1 n 6 ⇒答案：(1)C (2)360
题型 数列函数性质的多维研讨
维度1 数列的单调性
典例5(多选)(2024·河北秦皇岛期末)在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模
型、队列要素法等多种方法，其中直接推算法使用的公式是P ＝ P (1 ＋ k ) n ( P >0 ， k > － 1 ，
n 0 0
n ∈ N * ) ，P 为预测期
n
这里k的实际意义应是年增长率，k＞0时，人口正增长；k＜0时，人口负增长．
人口数，P 为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数．则下列说
0
法正确的有( )
A．若在某一时期内－10，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内0－1)得，当－10，所以对
n 0 0
任意的n∈N*，P>0，有 ＝＝ 1 ＋ k <1 ，则
n
A 【选方法】应用作商比较法，将与1比较大小，比1小则人口数呈下降 √
趋势，比1大则呈上升趋势．
P 0时，1＋k>1，因为P>0，所以对任意的n∈N*，P>0，有 ＝＝ 1 ＋
0 n
k >1 ，则 P > P ，
n＋1 n
B √
增减性可由实际意义直接判断．
所以这期间人口数呈上升趋势
C 由B选项可知，在某一时期内00 或 a <0)与
n n
由＞1，求得n的范围，此范围内{a}为递增数列．
n
1的大小关系进行判断；
(3)结合相应函数的图象直观判断.\s\up7( )
对点练5已知数列{a}的通项公式为a ＝，n∈N*，则数列{a}前20项中的最大项与最
n n n
小项分别为________；________.
解析：a ＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减．
n因此数列{a}前20项中的最大项与最小项分别为第11项、第10项，即a ＝3，a ＝－1.
n 11 10
答案：3 －1
维度2 数列的周期性
典例6历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，
比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它满足f(1)＝f(2)＝1，且满足递推关系 f ( n ＋ 1) ＝ f ( n ) ＋ f ( n
－ 1)( n ≥2 ， n ∈ N * ) ，此数列
著名的斐波那契数列．
在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若 将此数列的每一项除以 4 后的余数构成
一个新数列 { a }，则a ＝________.
n 2 023
没有递推关系，只能用验证法观察规律了！
解析：由题意可知a ＝1，a ＝1，a ＝2，a ＝3，a ＝1，a ＝0，a ＝1，a ＝1，a ＝
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2，a ＝3，a ＝1，a ＝0，故可以发现，数列{a}是周期为6的周期数列，由于2 023＝
10 11 12 n
337×6＋1，所以a ＝a＝1.
2 023 1
故答案为1.
解决数列的周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
对点练6(2024·重庆诊断)设数列{a}满足a ＝2，a ＝(n∈N*)，则数列{a}前2 021项
n 1 n＋1 n
的乘积aaaa…a ＝________.
1 2 3 4 2 021
解析：由a＝2得a＝－3，a＝－，a＝，a＝2，…，
1 2 3 4 5
显然该数列是周期为4的数列，
又aaaa＝1，且a ＝a＝2，
1 2 3 4 2 021 1
故aaaa…a a ＝(aaaa)505·a ＝2.
1 2 3 4 2 020 2 021 1 2 3 4 2 021
答案：2
