文档内容
4．3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式
[A级 基础巩固]
1．已知等比数列{a }的公比为正数，且aa＝2a，a＝1，则a＝( )
n 3 9 2 1
A. B．2
C. D．
解析：选D 设数列{a }的公比为q，则q>0.由已知，得aq2·aq8＝2(aq4)2，即q2＝2.又q>0，所以q＝，所
n 1 1 1
以a＝＝＝，故选D.
1
2．已知等比数列{a }的各项均为正数，公比q≠1，＝a ，则k＝( )
n 11
A．12 B．15
C．18 D．21
解析：选D ＝aq ＝aq ＝aq10，∵a>0，q≠1，∴＝10，∴k＝21，故选D.
1 1 1 1
3．已知数列{a }满足a＝2，a ＝3a ＋2，则a ＝( )
n 1 n＋1 n 2 019
A．32 019＋1 B．32 019－1
C．32 019－2 D．32 019＋2
解析：选B ∵a ＝3a ＋2，∴a ＋1＝3(a ＋1)．∵a ＋1＝3，∴数列{a ＋1}是首项，公比均为3的等比
n＋1 n n＋1 n 1 n
数列，
∴a ＋1＝3n，即a ＝3n－1，∴a ＝32 019－1.故选B.
n n 2 019
4．各项都是正数的等比数列{a }中，a，a，a 成等差数列，则的值为( )
n 2 3 1
A. D．
C. D．或
解析：选B 设{a }的公比为q(q>0，q≠1)，根据题意可知a ＝a ＋a ，∴q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍
n 3 2 1
去)，则＝＝.故选B.
5．等比数列{a }的公比为q，且|q|≠1，a＝－1，若a ＝a·a·a·a·a，则m等于( )
n 1 m 1 2 3 4 5A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C ∵a·a·a·a·a＝a·aq·aq2·aq3·aq4＝a·q10＝－q10，a ＝aqm－1＝－qm－1，
1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 m 1
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
6．若数列{a }的前n项和为S ，且a ＝2S －3，则{a }的通项公式是________．
n n n n n
解析：由a ＝2S －3得a ＝2S －3(n≥2)，两式相减得a －a ＝2a (n≥2)，
n n n－1 n－1 n n－1 n
∴a ＝－a (n≥2)，＝－1(n≥2)．
n n－1
故{a }是公比为－1的等比数列，
n
令n＝1得a＝2a－3，∴a＝3，
1 1 1
故a ＝3·(－1)n－1.
n
答案：a ＝3·(－1)n－1
n
7．已知等比数列{a }中，a＝3，a ＝384，则a＝________.
n 3 10 4
解析：设公比为q，则aq2＝3，aq9＝384，
1 1
所以q7＝128，q＝2，故a＝aq＝3×2＝6.
4 3
答案：6
8．设等差数列{a }的公差d不为0，a＝9d，若a 是a 与a 的等比中项，则k＝________.
n 1 k 1 2k
解析：∵a ＝(n＋8)d，又∵a＝a·a ，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
n 1 2k
答案：4
9．已知递增的等比数列{a }满足a＋a＋a＝28，且a＋2是a 和a 的等差中项，求a .
n 2 3 4 3 2 4 n
解：设等比数列{a }的公比为q.依题意，知2(a＋2)＝a＋a，
n 3 2 4
∴a＋a＋a＝3a＋4＝28，
2 3 4 3
∴a＝8，a＋a＝20，
3 2 4
∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去)．又a＝＝2，∴a ＝2n.
1 n
10．已知数列{a }的前n项和S ＝2－a ，求证：数列{a }是等比数列．
n n n n
证明：∵S ＝2－a ，∴S ＝2－a .
n n n＋1 n＋1
∴a ＝S －S ＝(2－a )－(2－a )＝a －a .
n＋1 n＋1 n n＋1 n n n＋1
∴a ＝a .
n＋1 n
又∵S＝2－a，
1 1
∴a＝1≠0.
1
又由a ＝a 知a ≠0，
n＋1 n n
∴＝.
∴数列{a }是等比数列．
n
[B级 综合运用]
11．(多选)已知公差为d的等差数列a ，a ，a ，…，则对重新组成的数列a ＋a ，a ＋a ，a ＋a ，…描述
1 2 3 1 4 2 5 3 6
正确的是( )
A．一定是等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．可能是等比数列
D．可能既非等差数列又非等比数列
解析：选ABC 由题意得a＋a＝2a＋3d，a＋a＝2a＋5d，a＋a＝2a＋7d，…，
1 4 1 2 5 1 3 6 1
令b ＝a ＋a ，则
n n n＋3
b －b ＝[2a＋(2n＋3)d]－[2a＋(2n＋1)d]＝2d，
n＋1 n 1 1
因此数列a＋a，a＋a，a＋a，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；
1 4 2 5 3 6
当a≠0，d＝0时b ＝2a ，此时数列a ＋a ，a ＋a ，a ＋a ，…可以是等比数列，即C正确；故选A、
1 n 1 1 4 2 5 3 6
B、C.
12．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为a (i，j∈N*)，则a 的值为( )
ij 53
A. D．
C. D．
解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a ＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数
51
成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a ＝×2＝.
53
13．已知等差数列{a }的首项为a，公差为b，等比数列{b }的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的
n n
正整数，且a1，且a∈N*，∴a＝2.
∵对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a ＋3＝b 成立，
m n
∴令n＝1，得2＋(m－1)b＋3＝b，∴b(2－m)＝5，
又∵2－m<2，且2－m∈N*，∴
∴a ＝a＋(n－1)b＝5n－3.
n
答案：2 5n－3
14．已知数列{a }满足a＝，a ＝3a －4n＋2(n∈N*)．
n 1 n＋1 n
(1)求a，a 的值；
2 3
(2)证明数列{a －2n}是等比数列，并求出数列{a }的通项公式．
n n
解：(1)由已知得a＝3a－4＋2＝3×－4＋2＝5，
2 1a＝3a－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
3 2
(2)∵a ＝3a －4n＋2，
n＋1 n
∴a －2n－2＝3a －6n，
n＋1 n
即a －2(n＋1)＝3(a －2n)．
n＋1 n
由(1)知a－2＝－2＝，
1
∴a －2n≠0，n∈N*.
n
∴＝3，
∴数列{a －2n}是首项为，公比为3的等比数列．
n
∴a －2n＝×3n－1，∴a ＝3n－2＋2n.
n n
[C级 拓展探究]
15．已知数列{a }满足a＝1，na ＝2(n＋1)a .设b ＝.
n 1 n＋1 n n
(1)求b，b，b；
1 2 3
(2)判断数列{b }是不是为等比数列，并说明理由；
n
(3)求{a }的通项公式．
n
解：(1)由条件可得a ＝a .
n＋1 n
将n＝1代入得，a＝4a，
2 1
而a＝1，所以a＝4.
1 2
将n＝2代入得，a＝3a，
3 2
所以a＝12.
3
从而b＝1，b＝2，b＝4.
1 2 3
(2){b }是首项为1，公比为2的等比数列．
n
由条件可得＝，即b ＝2b ，
n＋1 n
又b＝1，所以{b }是首项为1，公比为2的等比数列．
1 n(3)由(2)可得＝2n－1，所以a ＝n·2n－1.
n
