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s2022——2023 学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答案
一、1—8．DBACA，CDA
二、9—12．ABC， CD， CD， BCD
三、 13．4， 14．－，
15．3；0，(第一个空2分，第二个空3分） 16．5
四、17.
解：（1）在2S ＝3a －3中令n＝1，得a ＝3，……1分
n n 1
∵2S ＝3a －3，∴当n＞1时，2S ＝3a －3，
n n n－1 n－1
两式相减得2a ＝3a －3a ，∴a ＝3a ， ……3分
n n n－1 n n－1
∴数列{a }是以1为首项，以3为公比为的等比数列，
n
∴a ＝3n． ……4分
n
（2）∵b ＝3n，∴数列{a }中的项都在数列{b }中．
n n n
数列{a }前5项：3，9，27，81，243在数列{b }前105项中．这五项和为363……6分
n n
{b }前105项的为数列{b }前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它
n n
们的和为105×3＋105×52×3=16695……8分
所以数列{c }的前100项和为数列{b }前105项的和减去3、9、27、81、243的和，
n n
得：105×3＋105×52×3－363＝16 332． ……10分
18．
解：（1）∵2CD·sinA＝b·sin∠ACB，由正弦定理 ……1分
得2CD·a＝b·c， ……2分
∴CD＝c；……4分
（2）∵AD＝DB，∴CD＝CA＋CB， ……6分
两边平方得，4(CD)2＝(CA)2＋(CB)2＋2CA·CB，
即4c2＝b2＋a2＋2ab·， ……8分
化简得：5c2＝2a2＋2b2． ……10分
∵b＝2a，∴c2＝2a2
． ……11分
∴cos∠ACB＝＝……12分
19．
解：（1）设AC与DM相交于点O，∵矩形ABCD中AB＝2，AD＝，M为AB中点，∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，∴∠DCA＝∠ADM，∵∠ACD
＋∠DAC＝90°．
∴∠ADM＋∠DAC＝90°，∴∠DOA＝90°，∴DM⊥AC．……2分
由折叠可知PO⊥AC，OM⊥AC，∵PO∩OM＝O，
∴AC⊥平面POM， ……3分
∵PM在平面POM内，∴AC⊥PM．
PM与AC所成的角为90°……4分
∴
（2）由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，
∴P—AC—B所成角为∠POM＝60°……5分
……6分
PO＝，OM＝，可知PM＝1，
又∵AM＝1，PA＝，∴PM⊥AB，……7分
方法一：∵M为AB中点，∴PB＝PA＝，∴PA⊥PB，……8分
又∵PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，……10分
∴∠ABP即为AB与平面PBC所成的角，……11分
∵∠ABP＝45°，∴AB与平面PBC所成的角为45°．……12分
方法二：PM⊥AB,由（1）知AC⊥PM．AC与AB交与A点
∴PM⊥平面ABC，……8分
取AC中点E，连接ME，则ME∥BC，∴ME⊥AB，
以M为坐标原点，分别以ME，MA，MP所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系M—xyz，……9分
∴A(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)，
∴BA＝(0，2，0)，BC＝(，0，0)，BP＝(0，1，1)
∴平面PBC的法向量m＝(0，1，－1)，……10分
设AB与平面PBC所成的角为α，
则sinα＝BABA＝，……11分
∴AB与平面PBC所成的角为45°． ……12分
20．
解：（1）∵3＋x＋21+35＋33＝100，∴x＝100－(3＋21＋35＋33)＝8，……1分∵2＋6＋16＋y＋16＝100×＝60，∴y＝60－(2＋6＋16＋16)＝20，……2分
（2）由题意可知，X的取值可能为0，1，2，∵这100位学生学时在[30，60）的大四学
生为8人，在[40，50）的大四学生为2人， ……3分
C2 C1C1 C2
6 6 2 2
C2 C2 C2
P(X＝0)＝ 8 ＝＝，P(X＝1)＝ 8 ＝＝，P(X＝2)＝ 8 ＝＝，
随机变量X的概率分布列如表为：
X 0 1 2
P
……6分
随机变量X的数学期望为 0×＋1×＋2×＝ ……7分
（Ⅲ）设两个年级共有m人，A＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于
区间[70，80]}，B＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，……8分
则由条件概率公式得P(B|A)＝ ……9分
＝ ……11分
＝0.515 625≈0.515 6
即该生选乒乓球的概率约为0.5156．……12分
21．解：（1）将y＝kx＋4代入＋＝1，得＋＝1，
整理得(2k2＋1)x2＋16kx＋16＝0……①．……1分
因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，
所以(16k)2－4×16×(2k2＋1)＝0，得2k2＝1，……2分
∴k＝或k＝－．将k＝代入方程①解得x＝－2，代入y＝kx＋4得y＝2；
将k＝－代入方程①得x＝2，代入y＝kx＋4得y＝2．
∴点M为(－2，2)或(2，2)． ……4分
（2）（ⅰ）将y＝kx＋m代入＋＝1，得＋＝1，
整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2(m2－8)＝0……②．
因为M是椭圆与直线l的唯一公共点，
所以(4km)2－4×2(2k2＋1)(m2－8)＝0，即m2＝16k2＋8……③．……5分
方程②的解为x＝－，将③式代入x＝－，得x＝－，
将x＝－ 代入y＝kx＋m，得y＝＝，
所以点M的坐标为(－，)，……7分因为k≠0，所以过点M且与l垂直的直线为y－＝－(x＋)．
可得A(－，0)，B(0，－)，P(－，－)，即x＝－，y＝－．
由x＝－，y＝－，得k＝，m＝－，……8分
将k＝，m＝－，代入m2＝16k2＋8得(－)2＝16()2＋8，所以16x2＋8y2＝64，
整理得＋＝1（xy≠0）．轨迹是焦点在y轴，长轴长为4，短轴长为4的椭圆（去掉四个
顶点）．……10分
（ⅱ）∴如果将此题推广到一般椭圆＋＝1（a＞b＞0），直线y＝kx＋m（k≠0），其他
条件不变，可得点P(x，y)的轨迹方程是＋＝1（xy≠0），轨迹是焦点在y轴上，长轴长为，
短轴长为的椭圆（去掉四个顶点）．……12分
22.解：（1）f ′(x)＝xex－a（x＞－1），……1分
∵x 是y＝f(x)的一个极值点且f(x )＝－1
0 0
∴f ′(x )＝0且f(x )＝－1，即x －a＝0……① ……2分
0 0 0
且(x －1) －ax ＝－1……② ……3分
0 0
联立①②消去a得：(x 2－x ＋1) ＝1，令F(x)＝(x2－x＋1)ex，
0 0
则 F ′(x)＝(2x－1)ex+(x2－x＋1)ex＝x(x＋1)ex，令F ′(x)＝0得x＝0或x＝－1（舍）
当x∈(－1，0)时，F ′(x)＜0，y＝F(x)单调递减；当 x∈(0，＋∞)时，F ′(x)＞0，y＝
F(x)单调递增．∵F(0)＝1，∴(x 2－x ＋1) ＝1有唯一解，∴x ＝0，……5分
0 0 0
把x ＝0代入①得a＝0，
0
∴当x ＝0，a＝0时，f(x)＝(x－1)ex满足题意．……6分
0
（2）h(x)＝ex(xex－a＋a)＝xe2x
∵g(x )＝h(x )，∴ lnx ＝x ， ……7分
1 2 1 2
设t ＝lnx ，则t ＝x ，∵x ＞1，∴t ＞0，令F(x)＝xe2x，
1 1 1 2 1 1
则F ′(x)＝(2x＋1)e2x，当x＞0时，F ′(x)＞0，y＝F(x)单调递增
∴F(t )＝F(x )，∴x ＝t ＝lnx ，……9分
1 2 2 1 1
设H(x )＝x －2x ＝x －2lnx （x ＞1）∴H ′(x )＝1－，令H ′(x )＝0得x ＝2
1 1 2 1 1 1 1 1 1当x ∈(1，2)时，H ′(x )＜0，∴H(x )在(1，2)上单调递减；
1 1 1
当x ∈(2，＋∞)时，H ′(x )＞0，∴H(x )在(2，＋∞)上单调递增，……11分
1 1 1
∵x ＝2时，H(x )＝2－2ln2，∴x －2x 的最小值为2－2ln2．……12分
1 1 1 2
