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第 3 节 等比数列及其前 n 项和
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数
那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q
表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫
做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a }的首项为a ，公比是q，则其通项公式为a ＝a q n － 1 ；
n 1 n 1
通项公式的推广：a ＝a qn－m.
n m
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝＝.
n 1 n
3.等比数列的性质
已知{a }是等比数列，S 是数列{a }的前n项和.
n n n
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a ·a＝a · a .
k l m n
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a ，a ，a ，…仍是等比数列，
k k＋m k＋2m
公比为 q m .
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S ，S －S ，S －S ，…仍成等比数列，其
n 2n n 3n 2n
公比为 q n .
1.若数列{a }，{b }(项数相同)是等比数列，则数列{c·a }(c≠0)，{|a |}，{a}，，
n n n n
{a ·b }，也是等比数列.
n n
2.由a ＝qa ，q≠0，并不能立即断言{a }为等比数列，还要验证a ≠0.
n＋1 n n 1
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止
因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设
为，，xq，xq3.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列公比的q是一个常数，它可以是任意实数.( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)数列{a }的通项公式是a ＝an，则其前n项和为S ＝.( )
n n n
(4)数列{a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S 成等比数列.( )
n 4 8 4 12 8
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，S ＝na.
n
(4)若a ＝1，q＝－1，则S ＝0，S －S ＝0，S －S ＝0，不成等比数列.
1 4 8 4 12 8
2.设b∈R，数列{a }的前n项和S ＝3n＋b，则( )
n n
A.{a }是等比数列
n
B.{a }是等差数列
n
C.当b＝－1时，{a }是等比数列
n
D.当b≠－1时，{a }是等比数列
n
答案 C
解析 当n＝1时，a ＝S ＝3＋b，
1 1
当n≥2，a ＝S －S ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，
n n n－1
当b＝－1时，a ＝2适合a ＝2·3n－1，{a }为等比数列.
1 n n
当b≠－1时，a 不适合a ＝2·3n－1，{a }不是等比数列.
1 n n
3.(2021·全国甲卷)记S 为等比数列{a }的前n项和.若S ＝4，S ＝6，则S ＝( )
n n 2 4 6
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 A
解析 易知S ，S －S ，S －S 构成等比数列，由等比中项得S (S －S )＝(S －S )2，
2 4 2 6 4 2 6 4 4 2
即4(S －6)＝22，所以S ＝7.
6 6
4.(多选)若{a }是公比为q(q≠0)的等比数列，记S 为{a }的前n项和，则下列说法
n n n
正确的是( )
A.若a ＞0，0＜q＜1，则{a }为递减数列
1 n
B.若a ＜0，0＜q＜1，则{a }为递增数列
1 nC.若q＞0，则S ＋S ＞2S
4 6 5
D.若b ＝，则{b }是等比数列
n n
答案 ABD
解析 A，B显然是正确的；
C中，若a ＝1，q＝，则a ＜a ，即S －S ＜S －S ，故C错误；
1 6 5 6 5 5 4
D中，＝＝(q≠0)，∴{b }是等比数列.故选ABD.
n
5.(2022·百校大联考)已知在等比数列{a }中，a a a ＝8，则a a ＝________.
n 1 3 11 2 8
答案 4
解析 设公比为q，则a ＝a qn－1，则a ·a q2·a q10＝8，所以aq12＝8，所以a q4＝2，
n 1 1 1 1 1
所以a a ＝a q·a q7＝aq8＝(a q4)2＝4.
2 8 1 1 1
6.(易错题)已知在等比数列{a }中，a ＝7，前三项之和S ＝21，则公比q的值是
n 3 3
________.
答案 1或－
解析 当q＝1时，a ＝7，S ＝21，符合题意；
3 3
当q≠1时，得q＝－.
综上，q的值是1或－.
考点一 等比数列基本量的运算
1.已知{a }是等比数列，a ＝2，a ＝，则公比q等于( )
n 2 5
A.－ B.－2 C.2 D.
答案 D
解析 由题意知q3＝＝，即q＝.
2.(多选)(2021·潍坊调研)已知等比数列{a }的各项均为正数，且3a ，a ，2a 成等差
n 1 3 2
数列，则下列说法正确的是( )
A.a ＞0 B.q＞0
1
C.＝3或－1 D.＝9
答案 ABD
解析 设等比数列{a }的公比为q，
n
由题意得2＝3a ＋2a ，即a q2＝3a ＋2a q.
1 2 1 1 1
因为数列{a }的各项均为正数，所以a ＞0，且q＞0，故A，B正确；
n 1
由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，
所以＝q＝3，＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.3.(2022·亳州模拟《) 九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，
蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，
以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2倍.”则当莞长高到长度
是蒲的5倍时，需要经过的天数是________.(结果精确到0.1.参考数据：lg 2＝
0.30，lg 3＝0.48)( )
A.2.9天 B.3.9天 C.4.9天 D.5.9天
答案 C
解析 设蒲的长度组成等比数列{a }，其a ＝3，公比为，前n项和为A .
n 1 n
莞的长度组成等比数列{b }，其b ＝1，公比为2，
n 1
其前n项和为B .
n
则A ＝，B ＝，
n n
由题意可得5×＝，解得2n＝30，2n＝1(舍去).
∴n＝log 30＝＝＝≈4.9.
2
4.(2019·全国Ⅰ卷)设 S 为等比数列{a }的前 n 项和.若 a ＝，a＝a ，则 S ＝
n n 1 6 5
________.
答案
解析 由a＝a 得(a q3)2＝a q5，
6 1 1
整理得q＝＝3.
所以S ＝＝＝.
5
感悟提升 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中
有五个量a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
1 n n
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a }的前n项
n
和S ＝na ；当q≠1时，{a }的前n项和S ＝＝.
n 1 n n
考点二 等比数列的判定与证明
例1 S 为等比数列{a }的前n项和，已知a ＝9a ，S ＝13，且公比q>0.
n n 4 2 3
(1)求a 及S ；
n n
(2)是否存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，
n
请说明理由.
解 (1)易知q≠1，由题意可得
解得a ＝1，q＝3，
1
∴a ＝3n－1，S ＝＝.
n n
(2)假设存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列，
n∵S ＋λ＝λ＋1，S ＋λ＝λ＋4，S ＋λ＝λ＋13，
1 2 3
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，
此时S ＋＝×3n，
n
则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列{S ＋}是以为首项，3为公比的等比数列.
n
感悟提升 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用
于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续
三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
训练1 已知数列{a }的前n项和为S ，且a ＋S ＝n.
n n n n
(1)设c ＝a －1，求证：{c }是等比数列；
n n n
(2)求数列{a }的通项公式.
n
(1)证明 ∵a ＋S ＝n①，∴a ＋S ＝n＋1②.
n n n＋1 n＋1
②－①得a －a ＋a ＝1，
n＋1 n n＋1
所以2a ＝a ＋1，
n＋1 n
∴2(a －1)＝a －1，又a ＋a ＝1，
n＋1 n 1 1
所以a ＝，∴a －1＝－≠0，
1 1
因为＝，∴＝.
故{c }是以c ＝a －1＝－为首项，为公比的等比数列.
n 1 1
(2)解 由(1)知c ＝－×＝－.
n
∵c ＝a －1，∴a ＝1－.
n n n
考点三 等比数列的性质及应用
角度1 项与和的性质
例2 (1)若等比数列{a }的各项均为正数，且 a a ＝9，则log a ＋log a ＋…＋
n 1 10 9 1 9 2
log a ＝( )
9 10
A.6 B.5
C.4 D.1＋
答案 B
解析 log a ＋log a ＋…＋log a ＝log [(a a )·(a a )·(a a )·(a a )·(a a )]＝log 95
9 1 9 2 9 10 9 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 9
＝5，故选B.
(2)(2021·济南模拟)等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝1，S ＝7，则S ＝
n n 10 30 40
________.
答案 15解析 ∵等比数列{a }的前n项和为S ＝1，S ＝7，
n 10 30
∴S 、S －S 、S －S 、S －S 成等比数列，
10 20 10 30 20 40 30
即1、S －1、7－S 、S －7成等比数列，
20 20 40
∴(S －1)2＝1×(7－S )，解得S ＝3或S ＝－2(舍)，
20 20 20 20
所以1、2、4、S －7成等比数列，
40
所以S －7＝8，解得S ＝15.
40 40
(3)已知等比数列{a }共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大
n
80，则公比q＝________.
答案 2
解析 由题设，S ＝S －80，S ＝－240.
偶 奇 2n
∴∴
角度2 等比数列的最值
例3 (多选)(2022·扬州大学附属中学月考)设等比数列{a }的公比为q，其前n项和
n
为S ，前n项积为T ，并满足条件a ＞1，a a ＞1，＜0，下列结论正确的是(
n n 1 2 021 2 022
)
A.S ＜S
2 021 2 022
B.a a －1＜0
2 021 2 023
C.T 是数列{T }中的最大值
2 022 n
D.数列{T }无最大值
n
答案 AB
解析 当q＜0时，a a ＝aq＜0，不成立；
2 021 2 022
当q≥1时，a ≥1，a ＞1，＜0，不成立；
2 021 2 022
故0＜q＜1，且a ＞1，0＜a ＜1，故S ＞S ，A正确；
2 021 2 022 2 022 2 021
a a －1＝a－1＜0，故B正确；
2 021 2 023
T 是数列{T }中的最大值，CD错误.故选AB.
2 021 n
感悟提升 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中
项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化
特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的
影响.
训练2 (1)公比不为1的等比数列{a }满足a a ＋a a ＝8，若a a ＝4，则m的值为
n 5 6 4 7 2 m
( )
A.8 B.9 C.10 D.11答案 B
解析 ∵公比不为1的等比数列{a }满足a a ＋a a ＝8，
n 5 6 4 7
∴a a ＝a a ＝4，由a a ＝4，
5 6 4 7 2 m
∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.
(2)(2021·长沙检测)已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，且S －2S ＝5，则a
n n 8 4 9
＋a ＋a ＋a 的最小值为( )
10 11 12
A.25 B.20 C.15 D.10
答案 B
解析 在正项等比数列{a }中，S >0，
n n
因为S －2S ＝5，则S －S ＝5＋S ，
8 4 8 4 4
易知S ，S －S ，S －S 是等比数列，
4 8 4 12 8
所以(S －S )2＝S ·(S －S )，
8 4 4 12 8
所以S －S ＝＝＋S ＋10≥2＋10＝20(当且仅当S ＝5时取等号)
12 8 4 4
因为a ＋a ＋a ＋a ＝S －S ，所以a ＋a ＋a ＋a 的最小值为20.
9 10 11 12 12 8 9 10 11 12
数列中的创新问题
读懂题意，将其转化为数列问题，根据条件可将其转化为有规律等差或等比数列
问题，解此类题的关键是找到其规律.
例 (1)(2021·珠海一模)已知从 1 开始的连续奇数首尾相
接蛇形排列形成如图所示的三角形数表，第 i行第j列的
数记为a ，如a ＝7，a ＝15，则a ＝2 021时，(－
i，j 3，1 4，3 i，j
3)log (i＋19)＝( )
2
A.54 B.18 C.9 D.6
答案 A
解析 奇数构成的数阵，令2n－1＝2 021，解得n＝1 011，故2 021是数阵中的第
1 011个数，
第1行到第i行一共有1＋2＋3＋…＋i＝个奇数，
则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1 035个奇
数，
所以2 021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增的，且共有45个奇数，所
以2 021位于第45行，从左到右第21列，所以i＝45，j＝21，
则(－3)log (i＋19)＝(－3)·log (45＋19)＝(－3)2log 64＝9×6＝54.故选A.
2 2 2
(2)(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a ·20＋a ·2＋…＋a ·2k－1＋a ·2k，其中
0 1 k－1 k
a∈{0，1}(i＝0，1，…，k)，记ω(n)＝a ＋a ＋…＋a ，则( )
i 0 1 kA.ω(2n)＝ω(n)
B.ω(2n＋3)＝ω(n)＋1
C.ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)
D.ω(2n－1)＝n
答案 ACD
解析 对于A，ω(n)＝a ＋a ＋…＋a ，2n＝0·20＋a ·21＋a ·22＋…＋a ·2k＋a ·2k
0 1 k 0 1 k－1 k
＋1，所以ω(2n)＝0＋a ＋a ＋…＋a ＝ω(n)，A正确；对于B，取n＝2，则2n＋3＝7
0 1 k
＝1·20＋1·21＋1·22，∴ω(7)＝3，而2＝0·20＋1·21，则ω(2)＝1，即ω(7)≠ω(2)＋1，
B错误；对于C，8n＋5＝a ·23＋a ·24＋…＋a ·2k＋3＋5＝1·20＋0·21＋1·22＋a ·23＋
0 1 k 0
a ·24＋…＋a ·2k＋3，所以ω(8n＋5)＝2＋a ＋a ＋…＋a ，4n＋3＝a ·22＋a ·23＋…
1 k 0 1 k 0 1
＋a ·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a ·22＋a ·23＋…＋a ·2k＋2，所以ω(4n＋3)＝2＋a ＋a
k 0 1 k 0 1
＋…＋a ，因此ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)，C正确；对于D，2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，
k
故ω(2n－1)＝n，D正确.故选ACD.
1.已知等比数列{a }满足a ＝1，a ·a ＝4(a －1)，则a 的值为( )
n 1 3 5 4 7
A.2 B.4 C. D.6
答案 B
解析 根据等比数列的性质得a a ＝a，
3 5
∴a＝4(a －1)，即(a －2)2＝0，解得a ＝2.
4 4 4
又a ＝1，a a ＝a＝4，∴a ＝4.
1 1 7 7
2.(2022·重庆诊断)设等比数列{a }的前n项和为S ，a ＝－8，a ＝，则S ＝( )
n n 2 7 6
A.－ B. C. D.
答案 C
解析 设等比数列{a }公比为q，则a ＝a q5，又a ＝－8，a ＝，
n 7 2 2 7
∴q＝－，故a ＝16，又S ＝，
1 n
即S ＝＝＝.
6
3.(2021·安庆三模)某工厂生产 A、B、C 三种产品的数量刚好构成一个公比为
q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量
为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(
)A.100 B.140 C.180 D.120
答案 C
解析 ∵A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列，C产品的数
量为20，
∴A产品的数量为，B产品的数量为，
∵样本容量为260，∴＋＋20＝260，
解得q＝或－(舍去)，q＝，
则A产品的数量为＝＝180，故选C.
4.(2021·全国甲卷)等比数列{a }的公比为q，前n项和为S .设甲：q＞0，乙：{S }是
n n n
递增数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 当a ＜0，q＞1时，a ＝a qn－1＜0，此时数列{S }递减，所以甲不是乙的充分
1 n 1 n
条件.
当数列{S }递增时，有S －S ＝a ＝a qn＞0，若a ＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞
n n＋1 n n＋1 1 1
0；
若a ＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.
1
综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
5.(多选)(2021·福州联考)已知等比数列{a }的公比为q，且a ＝1，则下列选项正确
n 5
的是( )
A.a ＋a ≥2 B.a ＋a ≥2
3 7 4 6
C.a －2a ＋1≥0 D.a －2a －1≥0
7 6 3 4
答案 AC
解析 根据题意可得a ＝，a ＝，a ＝q，a ＝q2，a ＋a ＝＋q2≥2，当且仅当q2＝1
3 4 6 7 3 7
时取等号，故A正确；
a ＋a ＝＋q，当q＜0时，值为负数，故B错误；
4 6
a －2a ＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正确；
7 6
a －2a －1＝－－1＝－2，可知存在q使得a －2a －1＜0，故D错误.故选AC.
3 4 3 4
6.(2021·南通期末)朱载堉(1536－1611)是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目
前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的
频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间
的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率
为f ，第七个音的频率为f ，则＝________.
1 2
答案 2
解析 由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列{a }中的项，一共13项，且
n
＝q，
∵最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
∴a ＝2a ，即a q12＝2a ，可得q12＝2，
13 1 1 1
∴＝＝＝q4＝(q12)＝2，
∴＝2.
7.已知等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝7，S ＝63，则a ＝________.
n n 3 6 1
答案 1
解析 由于S ＝7，S ＝63知公比q≠1，
3 6
又S ＝S ＋q3S ，得63＝7＋7q3.
6 3 3
∴q3＝8，q＝2.
由S ＝＝＝7，得a ＝1.
3 1
8.等比数列{a }的首项a ＝－1，前n项和为S ，若＝，则{a }的通项公式a ＝
n 1 n n n
________.
答案 －
解析 因为＝，所以＝－，
因为S ，S －S ，S －S 成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－，q＝－，
5 10 5 15 10
则a ＝－.
n
9.(2022·上海外国语附中月考)设数列{x }满足log x ＝1＋log x (a＞0，a≠1)，若
n a n＋1 a n
x ＋x ＋…＋x ＝100，则x ＋x ＋…＋x ＝________.
1 2 100 101 102 200
答案 100a100
解析 ∵log x ＝1＋log x (a＞0，a≠1)，则1＝log x －log x ＝log ，
a n＋1 a n a n＋1 a n a
∴＝a，∴数列{x }是公比为a的等比数列，
n
∵x ＋x ＋…＋x ＝100，
1 2 100
∴x ＋x ＋…＋x ＝a100(x ＋x ＋…＋x )＝100a100.
101 102 200 1 2 100
10.已知数列{a }的前n项和为S ，且满足2S ＝－a ＋n(n∈N*).
n n n n(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{a －1}的前n项和T .
n n
(1)证明 2S ＝－a ＋n，
n n
当n≥2时2S ＝－a ＋n－1，
n－1 n－1
两式相减，得2a ＝－a ＋a ＋1，
n n n－1
即a ＝a ＋.
n n－1
∴a －＝，
n
∴数列为等比数列.
(2)解 由2S ＝－a ＋1，得a ＝，
1 1 1
由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列.
∴a －＝－＝－，
n
∴a ＝－＋，
n
∴a －1＝－－，
n
∴T ＝－
n
＝－.
11.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a }满足a ＋a ＝20，a ＝8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求a a －a a ＋…＋(－1)n－1a a .
1 2 2 3 n n＋1
解 (1)设{a }的公比为q(q>1)，且a ＋a ＝20，a ＝8.
n 2 4 3
∴
消去a ，得q＋＝，则q＝2，或q＝(舍).
1
因此q＝2，a ＝2，
1
所以{a }的通项公式a ＝2n.
n n
(2)易知(－1)n－1a a ＝(－1)n－1·22n＋1，
n n＋1
则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.
故a a －a a ＋…＋(－1)n－1·a a
1 2 2 3 n n＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝[1－(－4)n]
＝－(－1)n·.
12.(多选)(2021·济南二模)已知数列{a }中，a ＝1，a ·a ＝2n，n∈N ，则下列说
n 1 n n＋1 ＋
法正确的是( )A.a ＝4 B.{a }是等比数列
4 2n
C.a －a ＝2n－1 D.a ＋a ＝2n＋1
2n 2n－1 2n－1 2n
答案 ABC
解析 ∵a ＝1，a ·a ＝2n，∴a ＝2，a ＝2，a ＝4，
1 n n＋1 2 3 4
由a ·a ＝2n可得a ·a ＝2n＋1，
n n＋1 n＋1 n＋2
∴＝2，
∴{a }，{a }分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，
2n 2n－1
∴a ＝2·2n－1＝2n，a ＝1·2n－1＝2n－1，
2n 2n－1
∴a －a ＝2n－1，a ＋a ＝3·2n－1≠2n＋1，
2n 2n－1 2n－1 2n
综上可知，ABC正确，D错误.
13.(多选)(2022·重庆一模)已知数列{a }和各项均为正数的等比数列{b }满足：∑
n n
(a＋i)＝2b －2，b ＝2，b ＋b 是b 与b 的等差中项，数列{a }的前n项和为S ，则
i n 1 2 3 3 4 n n
下列结论正确的是( )
A.数列{a －b }是等差数列
n n
B.S ＝2n＋1－2－
n
C.数列{a }是递增数列
n
D.∑ ＜2
答案 ABC
解析 设{b }的公比为q.
n
由题知b ＋b ＝2(b ＋b ) b －b －2b ＝0 q2－q－2＝0 q＝2或－1(舍)，故b
3 4 2 3 4 3 2 n
＝2n，a ＋n＝2b －2b ＝2n＋1－2n＝2n，a ＝2n－n，a －b ＝－n，故{a －b }为等
n n n－1 ⇒ n⇒ n ⇒n n n
差数列，A正确；
S ＝2＋22＋…＋2n－(1＋2＋…＋n)＝2(2n－1)－，B正确；
n
a －a ＝2n－1≥1，故{a }是递增数列，C正确；
n＋1 n n
当n＝1时，＝1，2＝1，矛盾，故D错误.故选ABC.
14.(2022·武汉质量检测)已知公比不为1的等比数列{a }满足a ＋a ＝5，且a ，
n 1 3 1
a ，a 构成等差数列.
3 2
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记S 为{a }的前n项和，求使S ＞成立的最大正整数k的值.
n n k
解 (1)设公比为q.由题意得a ＋a ＝2a ，
1 2 3
∴a (1＋q－2q2)＝0，
1
又∵a ≠0，∴q＝－或1(舍)，
1∵a ＋a ＝5，∴a (1＋q2)＝5，∴a ＝4，
1 3 1 1
∴a ＝4·.
n
(2)S ＝＝.
n
∵S ＞，∴＞，
k
∴＜－，
显然，k为奇数，即＞＞＝.
解得k≤3，所以满足条件的最大正整数k的值为3.
