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§2.8 对数与对数函数
课标要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常
用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与
特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作____________，
其中____________叫做对数的底数，________叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作_______________________________________．
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ________.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝______，log a＝______， ＝________(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝____________________；
a
②log ＝____________________；
a
③log Mn＝____________ (n∈R)．
a
(3)对数换底公式：log b＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
a>1 01时，___________； 当x>1时，___________；
性质
当00，且a≠1)与对数函数____________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的
图象关于直线________对称．
常用结论
1．log b·log a＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，log bn＝log b(a>0，且a≠1，b>0)．
a b am a
2.如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图
象从左到右底数逐渐增大．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则log M＝log N.( )
a a
(2)函数y＝log 2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( )
a
(3)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)是增函数．( )
a
(4)函数y＝log x与y＝ 的图象关于x轴对称．( )
2
2．(2023·雅安模拟)已知xlog 2＝1，则4x等于( )
3
A．9 B．3 C. D.
3．函数f(x)＝log |x|＋1(a>1)的图象大致为( )
a
4．已知函数y＝log (x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
a
题型一 对数式的运算
例1 (1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为________．
(2)计算：log 35＋ －log －log 14＝________.
5 5 5跟踪训练1 (1)若a>0， ＝，则 等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝_____________________.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(
a
)
A．00且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是( )
(2)(2023·德州模拟)若函数f(x)＝log (x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)
a
＝a－x－b的大致图象是( )题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数式的大小
例3 (2023·西安模拟)若a＝lg 0.2，b＝log 2，c＝log 4，则关于a，b，c的大小关系，下列
3 6
说法正确的是( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．c>a>b D．a>b>c
命题点2 解对数方程、不等式
例4 (2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“log >0”的( )
a
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
命题点3 对数函数的性质及应用
例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一
是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log (x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取
2
值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0]
(2)若函数f(x)＝log 有最大值，则a的取值范围为( )
a
A. B. C. D．(1,2)
