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§2.8 对数运算与对数函数
课标要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常
用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与
特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即 a b ＝ N ，那么数b称为以a 为底N 的对数，
记作log N ＝ b .其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
a
以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N.
以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (M·N)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mb＝ b log M (b∈R)．
a a
(3)对数换底公式：log b＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 (0 ，＋ ∞ )
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
性质 当x>1时， y >0 ；当0<x<1时， y <0 当x>1时， y <0 ；当0<x<1时， y >0
增函数 减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关
a于直线 y ＝ x 对称．
常用结论
1．log b·log a＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)， ＝log b(a>0，且a≠1，b>0)
a b a
2．如图，给出4个对数函数的图象．
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则log M＝log N.( × )
a a
(2)函数y＝log 2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( × )
a
(3)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)是增函数．( × )
a
(4)函数y＝log x与y＝ 的图象关于x轴对称．( √ )
2
2．(2023·雅安模拟)已知xlog 2＝1，则4x等于( )
3
A．9 B．3 C. D.
答案 A
解析 xlog 2＝1，即x＝＝log 3，
3 2
所以4x＝ ＝9.
3．函数f(x)＝log |x|＋1(a>1)的图象大致为( )
a
答案 A
解析 f(x)＝log |x|＋1的定义域为{x|x≠0}，
a
因为f(－x)＝log |－x|＋1＝log |x|＋1＝f(x)，
a a
所以f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log x＋1(a>1)单调递增．
a
结合选项可知选A.
4．已知函数y＝log (x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ．
a
答案 (2,4)
解析 对于函数y＝log (x－1)＋4，
a
令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，
所以函数y＝log (x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).
a
题型一 对数式的运算
例1 (1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为 ．
答案 45
解析 由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1.
则a＝log m＝，b＝log m＝，
3 5
所以＝，＝，
由＋＝1，
可得＝＝log 45＝1，
m
所以m＝45.
(2)计算：log 35＋ －log －log 14＝ .
5 5 5
答案 2
解析 原式＝log 35－log －log 14＋
5 5 5
＝log ＋
5
＝log 125－1＝log 53－1＝3－1＝2.
5 5
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
跟踪训练1 (1)若a>0， ＝，则 等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B解析 由 ＝，得a2＝6，
而a>0，解得a＝3，
所以 ＝3.
(2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝ .
答案 2
解析 原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(
a
)
A．0<a－1<b<1
B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.
函数图象与y轴的交点坐标为(0，log b)，
a
由函数图象可知－1<log b<0，
a
解得<b<1.
综上，0<a－1<b<1.
(2)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|log x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(
3
)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
答案 D
解析 画出f(x)＝|log x|的图象如图所示，
3因为a<b，且f(a)＝f(b)，
所以－log a＝log b，
3 3
故＝b，且0<a<1，
令y＝a＋4b，所以y＝a＋，
由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0,1)上单调递减，
故y＝a＋>1＋＝5，
故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，
形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数
的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数 f(x)＝ax与g(x)＝
(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是( )
答案 C
解析 对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故A错误；
对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B
错误；
对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C
正确；对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D
错误．
(2)(2023·德州模拟)若函数f(x)＝log (x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)
a
＝a－x－b的大致图象是( )
答案 C
解析 根据函数f(x)＝log (x＋b)的图象，可得0<a<1,0<b<1，
a
根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质，
结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数式的大小
例3 (2023·西安模拟)若a＝lg 0.2，b＝log 2，c＝log 4，则关于a，b，c的大小关系，下列
3 6
说法正确的是( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．c>a>b D．a>b>c
答案 A
解析 ∵a＝lg 0.2<lg 1＝0，
b＝log 2>0，c＝log 4>0，
3 6
＝＝＝×＝<1，
∴b<c，即c>b>a.
命题点2 解对数方程、不等式
例4 (2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“log >0”的( )
a
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由2a>2，可得a>1.
由log >0，
a
可得log >log 1，
a a
∴或
解得a>1或0<a<.
因此“2a>2”是“log >0”的充分不必要条件．
a
命题点3 对数函数的性质及应用
例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
答案 D
解析 由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，
得f(x)的定义域为，关于坐标原点对称，
又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；
当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，
∵y＝ln(2x＋1)在上单调递增，y＝ln(1－2x)在上单调递减，
∴f(x)在上单调递增，故排除B；
当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln，
∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，
根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确．
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一
是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log (x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取
2
值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0]
答案 A解析 由题意得，x2－2x>0 x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，
而函数y＝x2－2x的对称轴为⇒x＝1，
所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，
又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
所以a∈[2，＋∞)．
(2)若函数f(x)＝log 有最大值，则a的取值范围为( )
a
A. B.
C. D．(1,2)
答案 B
解析 令t＝x2－2ax＋a－1，
根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝log 有最大值，
a
则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝log t为减函数，
a
可知0<a<1.
要使函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，
则Δ＝4a2－4<0，
解得<a<2.
综上，a的取值范围为.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·哈尔滨模拟)函数y＝的定义域为( )
A．[1，＋∞) B.
C. D.
答案 C
解析 函数y＝的定义域满足
即解得<x≤1，
故函数的定义域为.
2．若函数f(x)＝log x(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log 8)等于( )
a 2
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 依题意，函数f(x)＝log x(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，
a则a＝3，所以f(x)＝log x，
3
于是得f(log 8)＝log (log 8)＝log 3＝1.
2 3 2 3
3．若 <0，则x 与x 的关系正确的是( )
1 2
A．0<x<x<1 B．0<x<x<1
2 1 1 2
C．1<x<x D．1<x<x
1 2 2 1
答案 C
解析 因为 <0，
所以log x<log x<0＝log 1，
0.8 2 0.8 1 0.8
又因为y＝log x在(0，＋∞)上单调递减，
0.8
所以1<x<x.
1 2
4.已知函数f(x)＝log (x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(
a
)
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1<b<0
C．0<a<1，b<－1
D．0<a<1，－1<b<0
答案 D
解析 因为函数f(x)＝log (x－b)为减函数，
a
所以0<a<1，
又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，
所以令x－b＝1，则x＝1＋b>0，即b>－1，
又因为函数图象与y轴有交点，
所以b<0，所以－1<b<0.
5．(2024·通化模拟)设a＝log 4，b＝log 4，则( )
0.1 50
A．2ab<2(a＋b)<ab
B．2ab<a＋b<4ab
C．ab<a＋b<2ab
D．2ab<a＋b<ab
答案 D
解析 因为a＝log 4，b＝log 4，
0.1 50所以a<0，b>0，所以ab<0，
＋＝log 0.1＋log 50＝log 5∈(1,2)，
4 4 4
即1<＋<2，
所以2ab<a＋b<ab.
6．(2023·本溪模拟)若不等式(x－1)2<log x(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实数a的取
a
值范围为( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．(1，] D．(，2)
答案 B
解析 若0<a<1，此时x∈(1,2]，log x<0，而(x－1)2>0，
a
故(x－1)2<log x无解；
a
若a>1，此时x∈(1,2]，log x>0，而(x－1)2>0，
a
令f(x)＝log x，g(x)＝(x－1)2，
a
画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，
若不等式(x－1)2<log x在x∈(1,2]内恒成立，
a
则log 2>1，解得a∈(1,2)．
a
二、多项选择题
7．(2024·永州模拟)若10a＝5，10b＝20，则( )
A．a＋b＝4 B．b－a＝lg 4
C．ab<2(lg 5)2 D．b－a>lg 5
答案 BC
解析 由10a＝5，10b＝20，
得a＝lg 5，b＝lg 20，
则a＋b＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A错误；
b－a＝lg 20－lg 5＝lg ＝lg 4<lg 5，故B正确，D错误；
ab＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)
＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，
∵lg 4<lg 5，
∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2
＝2(lg 5)2，
∴ab<2(lg 5)2，故C正确．8．(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)＝若x<x<x<x ，且f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，则下列结论正
1 2 3 4 1 2 3 4
确的是( )
A．x＋x＝－4 B．xx＝1
1 2 3 4
C．1<x<4 D．0<xxxx≤2
4 1 2 3 4
答案 AB
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，
设f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)＝t，则0<t<4，
1 2 3 4
则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x，x，x，x.
1 2 3 4
对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x＋x＝－4，故A正确；
1 2
对于B，由图象可知|log x|＝|log x|，且0<x<1<x，
2 3 2 4 3 4
所以－log x＝log x，即log (xx)＝0，所以xx＝1，故B正确；
2 3 2 4 2 3 4 3 4
对于C，由图象可知log x∈(0,4)，则1<x<16，故C错误；
2 4 4
对于D，由图象可知－4<x<－2，
1
当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，
所以xxxx＝x(－4－x)＝－x－4x＝－(x＋2)2＋4＝f(x)∈(0,4)，故D错误．
1 2 3 4 1 1 1 1 1
三、填空题
9．计算：lg 25＋lg 8－log 27×log 2＋ ＝ .
2 3
答案 2
解析 原式＝2lg 5＋2lg 2－3log 3×log 2＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2.
2 3
10．(2023·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x>y时，f(x)<f(y)，请你写出一
个符合上述条件的函数f(x)＝ .
答案 (答案不唯一)
解析 对于函数f(x)＝ ，
f(x)＋f(y)＝ ＝f(xy)，
且当x>y时，f(x)<f(y)，
所以函数f(x)＝ 满足条件．
11．设p>0，q>0，若log p＝log q＝log (2p＋q)，则＝ .
4 6 9答案
解析 令log p＝log q＝log (2p＋q)＝k，
4 6 9
则p＝4k，q＝6k,2p＋q＝9k，
所以2p＋q＝2·4k＋6k＝9k，
整理得2·2＋k＝1，
解得＝(负值舍去)，
所以＝＝＝.
12．(2023·龙岩模拟)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称
函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数．若函数f(x)＝log (x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，则
3
实数m的取值范围是 ．
答案 (2，]
解析 因为f(x)＝log (x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，
3
所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立，
所以m－2>0，即m>2，
由局部奇函数的定义，存在x∈[－2,2]，
使得log (－x＋m)＝－log (x＋m)，
3 3
即log (－x＋m)＋log (x＋m)＝log (m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2,2]，
3 3 3
使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1，
又因为x∈[－2,2]，所以x2＋1∈[1,5]，
所以m2∈[1,5]，
即m∈[－，－1]∪[1，]，
综上，m∈(2，]．
四、解答题
13．已知f(x)＝ ．
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝ ，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u＝x2－ax＋5a，∵y＝ 为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－≤a≤2，
∴a的取值范围是.
14．(2024·株洲模拟)已知函数f(x)＝log (9x＋1)－kx(k∈R)是偶函数．
9
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log 有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．
9
解 (1)因为9x＋1>0，
所以f(x)的定义域为R，
又因为f(x)是偶函数，
所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即log (9－x＋1)＋kx＝log (9x＋1)－kx对∀x∈R恒成立，
9 9
则2kx＝log (9x＋1)－log (9－x＋1)＝log ＝log 9x＝x对∀x∈R恒成立，
9 9 9 9
即x(2k－1)＝0对∀x∈R恒成立，
因为x不恒为0，
所以k＝.
(2)由(1)得f(x)＝log (9x＋1)－x＝log (9x＋1)－ ＝log
9 9 9
＝log ，
9
则方程f(x)＝log 有两个不相等的实数解等价于方程log ＝log 有两个不相等的实数解，
9 9 9
所以方程3x＋＝＋1有两个不相等的实数解，
令t＝3x，且t>0，
方程化为t＋＝＋1，
即方程m＝t2－t＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，
令g(t)＝t2－t＋1，
则y＝m与y＝g(t)在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，
又g(t)在上单调递减，在上单调递增，
所以g(t)≥g＝，且g(0)＝1，
所以m∈.15．已知正实数x，y，z满足log x＝log y＝log z≠0，则( )
2 3 5
A．x>y>z
B．x<y<z
C．x，y，z可能构成等比数列
D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解
答案 D
解析 令log x＝log y＝log z＝t≠0，
2 3 5
则x＝2t，y＝3t，z＝5t，
令g(k)＝kt，
由幂函数图象的性质可知，
当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z，
当t<0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，
故A，B不一定正确；
假设x，y，z成等比数列，
则y2＝xz (3t)2＝2t·5t 9t＝10t，
则t＝0，⇒与已知矛盾⇒，故C错误；
因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即t＋t＝1，
令f(t)＝t＋t－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，
注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，
即t＋t＝1只有一个解t＝1，
所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确．
16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log x－()x－log 2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围
a a
是 ．
答案
解析 由题知，x>0，
f(x)＝log x－()x－log 2＝log － ，
a a a
令t＝，t>0，
则y＝log t与y＝at的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
a
又y＝log t与y＝at互为反函数，所以交点在直线y＝t上，
a
设y＝log t，y＝at的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，
a
则解得m＝e，又＝1，所以a＝ >1，
所以当a＝ 时，y＝log t和y＝at只有一个交点，如图1；
a
当a> 时，y＝log t和y＝at无交点，如图2；
a
当1<a< 时，y＝log t和y＝at有两个交点，如图3.
a
综上，a的取值范围为 ．
