文档内容
高频考点 数学
目 录
第一模块 数与代数.....................................................................................................................................................1
第一章 函数.........................................................................................................................................................1
【考点1】函数的性质........................................................................................................................................1
【考点2】指数函数............................................................................................................................................1
【考点3】对数函数............................................................................................................................................2
第二章 数列.........................................................................................................................................................3
【考点4】等差数列............................................................................................................................................3
【考点5】等比数列............................................................................................................................................3
第二模块 图形与几何.................................................................................................................................................5
第一章 立体几何.................................................................................................................................................5
【考点6】线面位置关系....................................................................................................................................5
【考点7】面面位置关系....................................................................................................................................5
第二章 解析几何.................................................................................................................................................7
【考点8】圆锥曲线............................................................................................................................................7
第三模块 统计与概率.................................................................................................................................................9
第一章 排列组合.................................................................................................................................................9
【考点9】排列....................................................................................................................................................9
【考点10】组合..................................................................................................................................................9
第二章 概率.......................................................................................................................................................10
【考点11】几何概型........................................................................................................................................10
【考点12】古典概型........................................................................................................................................10
【考点13】条件概率........................................................................................................................................11
第四模块 数学史.......................................................................................................................................................12
【考点14】古典时期的希腊数学....................................................................................................................12
【考点15】微积分的诞生................................................................................................................................12
【考点16】千古谜题........................................................................................................................................12
第五模块 高等数学...................................................................................................................................................14
第一章 极限与连续...........................................................................................................................................14
【考点17】函数极限存在的条件....................................................................................................................14
【考点18】两个重要极限公式........................................................................................................................14
【考点19】等价无穷小代换............................................................................................................................14
【考点20】洛必达法则....................................................................................................................................14
【考点21】函数在一点处连续........................................................................................................................15
【考点22】函数在区间内（上）连续............................................................................................................15
【考点23】函数间断点的类型........................................................................................................................15
【考点24】闭区间上连续函数的性质............................................................................................................16
第二章 导数及微分...........................................................................................................................................17
【考点25】导函数的定义................................................................................................................................17
【考点26】可导与连续....................................................................................................................................17
【考点27】求曲线上一点处的切线方程与法线方程....................................................................................17
【考点28】函数的单调性................................................................................................................................17
让每一个孩子都能遇到好老师高频考点 数学
【考点29】函数的极值....................................................................................................................................18
【考点30】函数的最值....................................................................................................................................18
【考点31】微分的运算法则............................................................................................................................18
【考点32】微分中值定理................................................................................................................................19
【考点33】一元函数可导、可微、连续之间的关系....................................................................................19
第三章 积分.......................................................................................................................................................20
【考点34】不定积分的性质与公式................................................................................................................20
【考点35】定积分的性质................................................................................................................................20
【考点36】牛顿—莱布尼兹公式....................................................................................................................21
【考点37】定积分的求法................................................................................................................................21
【考点38】定积分的应用——求平面图形的面积........................................................................................22
【考点39】定积分的应用——求旋转体的体积............................................................................................22
第四章 空间解析几何.......................................................................................................................................22
【考点40】空间向量的直角坐标运算律........................................................................................................22
【考点41】空间向量的位置关系....................................................................................................................22
【考点42】空间向量的数量积........................................................................................................................23
【考点43】空间向量的向量积........................................................................................................................23
【考点44】旋转曲面........................................................................................................................................23
【考点45】锥面................................................................................................................................................24
【考点46】柱面................................................................................................................................................24
【考点47】椭球面............................................................................................................................................24
【考点48】抛物面............................................................................................................................................25
【考点49】双曲面............................................................................................................................................25
【考点50】空间平面及其方程........................................................................................................................26
【考点51】两平面间的夹角............................................................................................................................26
【考点52】空间直线及其方程........................................................................................................................27
【考点53】空间中两条直线位置关系的判定................................................................................................27
【考点54】空间中两条直线的夹角................................................................................................................28
第五章 多元函数微分.......................................................................................................................................29
【考点55】高阶偏导数....................................................................................................................................29
【考点56】可微分的条件................................................................................................................................29
第六章 级数.......................................................................................................................................................30
【考点57】收敛级数的基本性质....................................................................................................................30
【考点58】绝对收敛和条件收敛....................................................................................................................30
【考点59】收敛半径........................................................................................................................................30
【考点60】常见函数幂级数展开式................................................................................................................31
第六模块 线性代数...................................................................................................................................................33
第一章 行列式...................................................................................................................................................33
【考点61】行列式的性质................................................................................................................................33
【考点62】余子式与代数余子式....................................................................................................................34
【考点63】行列式的计算................................................................................................................................34
第二章 矩阵.......................................................................................................................................................35
【考点64】矩阵的运算....................................................................................................................................35
【考点65】矩阵的秩........................................................................................................................................35
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【考点66】逆矩阵............................................................................................................................................35
第三章 线性方程组...........................................................................................................................................37
【考点67】克莱姆法则....................................................................................................................................37
【考点68】极大线性无关组............................................................................................................................37
【考点69】线性方程组的解............................................................................................................................37
第四章 二次型...................................................................................................................................................39
【考点70】矩阵正负定性的判定....................................................................................................................39
第七模块 课标与教学论...........................................................................................................................................41
第一章 课程标准...............................................................................................................................................41
【考点71】课程基本理念................................................................................................................................41
【考点72】高中数学学科核心素养................................................................................................................41
【考点73】高中数学课程目标........................................................................................................................41
第二章 案例分析...............................................................................................................................................42
【考点74】案例分析........................................................................................................................................42
第三章 教学设计...............................................................................................................................................43
【考点75】教学设计........................................................................................................................................43
让每一个孩子都能遇到好老师高频考点 数学
第一模块 数与代数
第一章 函数
【考点1】函数的性质
1.单调性：一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内的某个区间 内的任意两个自
变量 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增（减）
函数。
2.奇偶性：一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ，若：
（1）有 ，那么 就叫做偶函数；
（2）有 ，那么 就叫做奇函数。
3.周期性：若 为非零常数，对于定义域内的任意一个 ，使 恒成立，则 叫做周
期函数， 叫做这个函数的一个周期。
【考点2】指数函数
1.定义：一般地，函数 （ ，且 ）叫做指数函数。其中 是自变量，函数定义域是 。
2.指数函数的图象与性质：
的范围
图象
恒过点
定义域
值域
单调性
奇偶性 非奇非偶 非奇非偶
周期性 无 无
对称轴 无 无
1 让每一个孩子都能遇到好老师高频考点 数学
对称中心 无 无
【考点3】对数函数
1.定义：一般地，函数 叫做对数函数，其中 。对数函数的一般形式为
， 为底数， 为真数，它实际上就是指数函数的反函数，它们的图象关于直
线 对称。因此指数函数对于 的规定，同样适用于对数函数。
2.对数函数的图象与性质
的范围
图象
恒过点
定义域
值域
单调性
奇偶性 非奇非偶 非奇非偶
周期性 无 无
对称轴 无 无
对称中心 无 无
【练习】
下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）。
A. B.
C. D.
【答案及解析】
【答案】C
2 让每一个孩子都能遇到好老师高频考点 数学
【解析】A选项，函数 既不是奇函数也不是偶函数，故错误；B选项，函数
是奇函数，故错误；C选项，函数 是偶函数， ，故当 ，所以 在
上为减函数；当 时， ，所以 在 上为减函数，故正确；D 选项，函数
是偶函数，由其函数图象可知在区间 上为单调递增，故错误。故本题选C。
第二章 数列
【考点4】等差数列
1.概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就
叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。
2.通项公式：
由三个数 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。
3.前 项和公式：
4.性质（解题时常用到的）
① ，其中 ， 为第 ， 项；
②等差中项： 成等差数列， 叫做 与 的等差中项，则 ；
③若 ，则 （ 均为正整数）；
④ ， ；
⑤ 成等差数列。
【考点5】等比数列
1.概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就
叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示 。
2.通项公式：
3.前 项和公式：
4.性质（解题时常用到的）
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① ，其中 ， 为第 ， 项；
②若 ，则 ；
③若三个数等比，常设 ；
④等比中项： 成等比数列， 叫做 与 的等比中项，则 ；
⑤ 成等比数列。
【练习】
已知 均为等差数列，其前 项和分别为 ， ，若 ，则 等于（ ）。
A. B.
C.2 D.
【答案及解析】
【答案】B
【解析】根据 ， ，则
。故本题选B。
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第二模块 图形与几何
第一章 立体几何
【考点6】线面位置关系
直线与平面的位置关系
位置关系 图示 表示方法 公共点个数
直线在平面内 无数个
平行 0个
直线在平面
外
相交 1个
1.直线与平面平行
判定定理1：平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。
判定定理2：一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行。
性质定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行。
2.直线与平面垂直
判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
性质定理1：如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内任意一条直线。
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。
【考点7】面面位置关系
平面与平面的位置关系
位置关系 图示 表示方法 公共点个数
两平面平行 0个
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无数个
两平面相交
（有一条公共直线）
1.平面与平面平行
判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
判定定理2：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个
平面平行。
判定定理3：垂直于同一条直线的两个平面平行。
判定定理4：平行于同一条平面的两个平面平行。
性质定理1：如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。
性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
性质定理3：如果两个平行平面有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。
2.平面与平面垂直
定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直，记作： 。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
性质定理1：如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
性质定理2：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
【练习】
下列叙述正确的有（ ）个。
（1）如果两条直线没有交点，那么这两条直线互相平行；（2）在同一平面内，两条直线不是平行就是
相交；（3）过直线外一点只能作一条直线和该直线平行；（4）在同一平面内，已知直线 ，直线 ，
那么直线 。
A.0 B.1
C.2 D.3
【答案及解析】
【答案】D
【解析】（1）在同一平面内，如果两条直线没有交点，那么这两条直线互相平行，故错误；（2）在同
一平面内，两条直线不是平行就是相交，故正确；（3）过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，故
正确；（4）在同一平面内，已知直线 ，直线 ，那么直线 ，这是平行公理，故正确。综上，
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正确的结论有3个。故本题选D。
第二章 解析几何
【考点8】圆锥曲线
1.椭圆
（1）标准方程：
（2）定义域： ；值域： ；
（3）长轴长 ，短轴长 ，焦距 ， ；
（4）准线方程： 。
2.双曲线
（1）标准方程： ；
（2）范围： ； ；
（3）实轴长 ，虚轴长 ，焦距 ， ；
（4）准线方程： 。
3.抛物线
（1）标准方程： （ ）， 为焦参数；
（2）焦点： ，通径 ；
（3）准线： ；
（4）焦半径： ，过焦点弦长 。
【练习】
已知圆的方程为 ，由圆上任意一点 向 轴作垂线，垂线段的中点为 ，则点 的轨迹方
程为（ ）。
A. B.
C. D.
【答案及解析】
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【答案】B
【解析】设点 坐标为 ，点 坐标为 ， 为垂线段的中点，所以 ， ，点
在圆上， ，即 。故本题选B。
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第三模块 统计与概率
第一章 排列组合
【考点9】排列
1.定义：从 个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个中取 个元素
的一个排列。
2.排列数：从 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数叫做从 个不同元素中取出
个元素的排列数，用符号 表示。
排列数公式：
（1） ，并且 ；
（2）
3.全排列： 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排列。
全排列数：
正整数1到 的连乘积，叫做 的阶乘，用 表示。即 。
规定： 。
【考点10】组合
1.定义：从 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一
个组合。
2.组合数：从 个不同的元素中，取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中
取出 个元素的组合数，用符号 表示。
组合数公式：
（1） ，并且 ；
（2） 。
规定： 。
3.排列与组合的关系：
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从 个不同元素中取 个元素的无重排列是从 个不同元素中取 个元素的无重组合后，对取出的
个不同元素进行全排列得到的，即 。
4.组合数的性质：
（1）
（2）
【练习】
2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛。若小赵这时打开电视，
随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个
电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（ ）。
A.6种 B.24种
C.36种 D.42种
【答案及解析】
【答案】B
【解析】第一步从4个没转播的频道选出2个共有 种，再从2个报道的频道中选1个有 种，根
据分步计数原理可知，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有 （种）。故
本题选B。
第二章 概率
【考点11】几何概型
1.概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概
率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2.特点：（1）所有可能出现的基本事件为无限个；（2）每个基本事件发生的可能性相等。
3.概率公式：
【考点12】古典概型
1.特点
（1）所有可能出现的基本事件为有限个；
（2）每个基本事件发生的可能性相等。
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2.概率公式
【考点13】条件概率
1.概念：对事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率，称为 发生时 发生的条
件概率，记为 。
2.概率公式： ，其中 。
【练习】
教材丢了，其落在公司、落在路上、落在家里的概率分别为 、 、 ，其中落在上述三个
地方被找到的概率分别为0.75、0.4、0.1。试求找到教材的概率。
【答案及解析】
【答案】0.4825
【解析】事件 表示“找到教材”，事件 表示“教材落在公司”，事件 表示“教材落在路上”，事
件 表示“落在家里”，则
0.4825，所以找到教材的概率为0.4825。
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第四模块 数学史
【考点14】古典时期的希腊数学
1.伊奥尼亚学派
泰勒斯（公元前625－前547年），是伊奥尼亚学派的创始人。是现在所知的古希腊最早的数学家、哲
学家，是古希腊数学的先行者。泰勒斯在数学上最深远的贡献是引入命题证明的思想。从泰勒开始，命题
证明成为希腊数学的基本精神。
2.毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯（约公元前560－前480年），致力于哲学和数学的研究。
主要成就：（1）勾股定理与勾股形数。
（2）多边形数：“多边形数”也称“形数”，就是形与数的结合物，用点排成的图形。
（3）不可公度：他们认为任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上相当于说：对于任意给定的两
条线段，总能找到第三条线段，以它为单位（即公度）线段将能给定的两条线段划分为整数段。
3.亚历山大学派时期
（1）欧几里得（公元前325－前265年）
《原本》是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范。
（2）阿基米德（公元前287－前212年）
与牛顿（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列，有史以来最伟大的三大数学家之一，
有人把他称为“数学之神”。最为杰出的数学贡献是，在《圆的度量》中，，通过计算圆内接和外切正96
边形的周长，求得圆周率约为3.14，这是数学史上第一次给出科学求圆周率的方法。
（3）阿波罗尼奥斯（兹）（约公元前262－前190年）
【考点15】微积分的诞生
1.牛顿（英，1642－1727年）
创造性成果：二项定理（1665），无穷级数（1666）以及微积分基本定理。
2.莱布尼茨（德，1646－1716年）
莱布尼茨微积分思想的产生首先是出于几何的考虑，尤其是特征三角形的研究，如帕斯卡的特征三角
形，关注自变量的增量 与函数的增量 为直角边组成的直角三角形。莱布尼茨看到帕斯卡的方法可以
推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，由此可“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”。
【考点16】千古谜题
1.三次、四次方程求根公式的发现。
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2.高次方程可解性问题的解决。
3.伽罗瓦与群论。
4.古希腊三大几何问题的解决。
【练习】
希腊时期，著名数学家（ ）、海伦创造出了平方后比原数小的近似公式。
A.阿基米德 B.笛卡尔
C.希尔伯特 D.欧拉
【答案及解析】
【答案】A
【解析】阿基米德是希腊的著名数学家，与海伦一起创造出了平方后比原数小的近似公式。笛卡尔是
法国著名的数学家、哲学家和物理学家，希尔伯特是德国的著名数学家，欧拉是瑞士的著名数学家。故本
题选A。
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第五模块 高等数学
第一章 极限与连续
【考点17】函数极限存在的条件
函数极限存在的充要条件是左右极限存在且相等，即
。
【考点18】两个重要极限公式
1.
2. 或
3.方法：遇到 形式的极限，通常都需要将其化为 的形式；或者利用对数恒等式，再利用洛必
达法则；也可以先取对数，再利用洛必达法则（真数部分大于0）。
【考点19】等价无穷小代换
当 时的等价无穷小量，则有
； ； ； ；
； ； ；
； 。
【考点20】洛必达法则
1.法则1
设（1） ， ，
（2） 变化过程中， ， 皆存在，
（3） （或 ）；
则 （或 ）。
注意：如果 不存在，则不能得出 不存在。
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2.法则2
设（1） ， ，
（2） 变化过程中， ， 皆存在，
（3） （或 ）；
则 （或 ）。
【考点21】函数在一点处连续
1.定义1：若 ，则称 在点 处连续（或 时， ）。
2.定义 2：设函数 ，如果 ，则称函数 在点 处左连续；如果
，则称函数 在点 处右连续。
3.函数在一点连续的充要条件
在点 处连续 在 处既是左连续，又是右连续。
【考点22】函数在区间内（上）连续
1.开区间内连续：如果函数 在开区间 内的每一点都连续，则称 在 内连续。
2.闭区间上连续：如果函数 在开区间 内连续，在区间端点 右连续，在区间端点 左连
续，则称 在闭区间 上连续。
【考点23】函数间断点的类型
1.第一类间断点
设 是函数 的间断点，如果 在间断点 处的左、右极限都存在，则称 是 的第一
类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点：若 ，而 在点 无定义，或有定义但 ，则称 为 的可
①
去间断点；
跳跃间断点：若函数 在点 的左、右极限都存在，但 ，则称点 为函数
②
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的跳跃间断点。
2.第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。（至少一个单侧极限不存在。）
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
【考点24】闭区间上连续函数的性质
定理1：（有界性定理）闭区间 上的连续函数必在 上有界。
定理2：（最大值最小值定理）闭区间 上的函数 ，必在 上有最大值和最小值，即在
上，至少存在两点 与 ，使得对 上的一切 ，恒有 ，此处 ，
就是在 上的最小值与最大值。
定理3：（介值定理）设 在 上连续， 与 分别为在 上的最小值与最大值，则对于
任一实数 ，至少存在一点 ，使 。
定理 4：（零点定理或根的存在定理）设 在 上连续， ，则至少存在一点
，使 。
【练习】
1. 的值为（ ）。
A. B.
C. D.
2.设 在 处连续，则常数 的值为（ ）。
A.1 B.0
C. D.
【答案及解析】
1.【答案】B
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【解析】由题意，原式
。故本题选B。
2.【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
，所以常数 的值是1。故本题选A。
第二章 导数及微分
【考点25】导函数的定义
导函数：若 在区间 内每一点可导，则 在 内任一点的导数是 的函数，称为 的导函
数，记为 或 或 或 ，即
。
【考点26】可导与连续
定理：若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续。
1.逆命题不成立，即“连续不一定可导”；
2.逆否命题成立，即“不连续一定不可导”。
【考点27】求曲线上一点处的切线方程与法线方程
1.切线斜率：函数 在点 处的导数 在几何上表示曲线 在点 处的切线斜
率，即 。
2.切线方程： 在点 处的切线方程为 。
3.法线方程： 在点 处的法线方程为 。
【考点28】函数的单调性
定理：设函数 在 上连续，在 内可导。
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（1）如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；
（2）如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少。
如果把这个判定中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论成立。
【考点29】函数的极值
设函数 在 及其附近有定义，如果对 附近的所有的点都有 （或 ），
则称 是函数 的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的全部实根， ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表： 变
化时， 和 值的变化情况：
正负 0 正负 0 正负
单调性 极值 单调性 极值 单调性
（4）检查的符号 并由表格判断极值。
【考点30】函数的最值
如果函数 在定义域 内存在 ，使得对任意的 ，总有 （或 ），则
称 为函数在定义域上的最大值（或最小值）。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最
值是唯一的。
求函数 在区间 上的最大值和最小值的步骤：
（1）求 在区间 上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与 ， 比较，得到 在区间 上的最大值与最小值。
【考点31】微分的运算法则
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1.
2.
3.
4.
【考点32】微分中值定理
1.罗尔定理（Rolle定理）：若函数 满足：
（1）在闭区间 上连续；
（2）在开区间 内可导；
（3） ，
则在 内至少有一点 ，使得 。
2.拉格朗日中值定理（Lagrange中值定理）：设函数 满足：
（1）在闭区间 上连续；
（2）在开区间 内可导；
则在 内至少有一点 ，使得 。
【考点33】一元函数可导、可微、连续之间的关系
1.可导一定连续，连续不一定可导；
2.可微一定连续，连续不一定可微；
3.可微与可导等价。
【练习】
设函数 。
（1）研究函数 的单调性；
（2）判断方程式 的实数解个数，并证明。
【答案及解析】
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【答案】（1） 在R上单调递增；（2）见解析
【解析】（1） ， ，所以 在R上单调递增；
（2） ，有唯一的实数解 ，而
，①若 时， ；②若 时， ；③若 时，
，④当 时， ，当 时， 。综上所述，可知
，即 在R上单调递增。 ， ，所以 在
上有唯一的实数解，因此， 在R上有唯一的实数解。
第三章 积分
【考点34】不定积分的性质与公式
1.性质
性质1： ；
性质2： （ 为常数， ）。
2.积分公式
（1） （ 为常数） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13）
【考点35】定积分的性质
1.积分的运算性质
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（ 为常数）
2.积分的保序性：如果在区间 上，恒有 ，则有 。
3.积分估值定理：如果函数 在区间 上有最大值 和最小值 ，则
。
4.积分中值定理：如果函数 在区间 上连续，则在 内至少有一点 ，使得
， 。
5.对称区间上奇偶函数的积分性质：设 在对称区间 上连续，则有
如果 为奇函数，则 ；
如果 为偶函数，则 。
【考点36】牛顿—莱布尼兹公式
如果函数 在区间 上连续，且 是 的任意一个原函数，那么
。
上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式。
【考点37】定积分的求法
1.换元积分法
设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：
（1） ，且 ， ；
（2） 在区间 上单调且有连续的导数 ；
（3）当 从 变到 时， 从 单调地变到 ，则有 。
2.分部积分法
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设函数 和 在区间 上有连续的导数，则有
。
上述公式称为定积分的分部积分公式。
【考点38】定积分的应用——求平面图形的面积
计算由区间 上的两条连续曲线 与 ，以及两条直线 与 所围成的平面
图形的面积，所求平面图形的面积 为 。
【考点39】定积分的应用——求旋转体的体积
计算由区间 上的连续曲线 、两直线 与 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一
周所成的旋转体的体积，所求旋转体的体积为： 。
【练习】
已知平面上一椭圆，长半轴长为 ，短半轴长为 ， ，求该椭圆绕着长轴旋转一周所得到的旋
转体的体积。
【答案及解析】
【答案】
【解析】由题意可知，无论椭圆的长轴在 轴或 轴，旋转体的体积不变，不妨设椭圆的长轴在 轴
上，将椭圆 绕 轴旋转一周，所得的旋转体的体积为 。
第四章 空间解析几何
【考点40】空间向量的直角坐标运算律
若 ， ，则
， ，
， 。
【考点41】空间向量的位置关系
；
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。
【考点42】空间向量的数量积
1.向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即
。
2.空间向量数量积的性质： ； ； 。
3.夹角公式： 。
【考点43】空间向量的向量积
1.两个向量 与 的向量积（外积）是一个向量 ，记作 ，它的模是 ，其中
为 与 间的夹角。
的方向垂直于 与 所决定的平面（即 既垂直于 ，又垂直于 ）， 的指向按右手规则从 转向
来确定。
2.向量积的坐标表示式
设 ， ，则
或 。
【考点44】旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫
旋转曲面的母线和轴。
设在yOz坐标面上有一已知曲线 ，它的方程为 。
把这曲线绕 轴旋转一周，得到一个以 轴为轴的旋转曲面，就有旋转曲面的方程为
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旋转曲线绕哪个轴旋转，该轴对应变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根
的形式，即得旋转曲面方程。
【考点45】锥面
直线绕直线旋转，两直线的夹角 （ ）
方程为： ，其中， 。
【考点46】柱面
1.定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。其中定曲线C叫做准线，动
直线L叫做母线。
2.特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y），则表示母线平行于y轴的柱面。
3.几个常用的柱面：
①圆柱面： （母线平行于z轴）
②抛物柱面： （母线平行于z轴）
【考点47】椭球面
把 面上的椭圆 绕 轴旋转，所得的曲面称为旋转椭球面，其方程为 ，再
把旋转椭球按沿 轴方向伸缩 倍，便得椭球面方程： 。
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【考点48】抛物面
1.椭圆抛物面
把 面上的抛物线 绕 轴旋转，所得曲面叫做旋转抛物面，再把此旋转曲面沿 轴方向伸缩
倍，即得椭圆抛物面方程： 。
2.双曲抛物面（鞍形曲面）
用平面 截此曲面，所得截痕 为平面 上的抛物线 ，此抛物线开口朝下，其顶点
坐标为 。当 变化时， 的形状不变，位置只作平移，而 的顶点轨迹 为平面 上
的抛物线 。因此，以 为母线， 为准线，母线 的顶点在准线 上滑动，且母线作平行移动，这样
得到双曲抛物面的方程： 。
【考点49】双曲面
1.单叶双曲面
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把 面上的双曲线 绕 轴旋转，得旋转单叶双曲面 ，把此旋转曲面沿 轴
方向伸缩 倍，即得单叶双曲面方程： 。
和 也是单叶双曲面。
2.双叶双曲面
把 面上的双曲线 绕 轴旋转，得旋转双叶双曲面 ，把此旋转曲面沿 轴
方向伸缩 倍，即得双叶双曲面方程：
和 也是双叶双曲面。
【考点50】空间平面及其方程
1.平面的点法式方程： 。
2.平面的一般方程为： 。
【考点51】两平面间的夹角
1.定义：两平面法线向量之间的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。
2.设平面 ， ，法线向量分别是： ，
。
按照两向量夹角余弦公式有：
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3.几个常用的结论：
设平面1和平面2的法向量依次为 和
①两平面垂直： （法向量垂直）；
②两平面平行： （法向量平行）；
③两平面重合： ；
④平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点 ，平面的方程为 ，
则点到平面的距离为 。
【考点52】空间直线及其方程
1.直线的点向式方程：在空间直角坐标系中，若 是直线 上的一个点， 为
的一个方向向量，则称 为直线 的点向式方程（也叫标准式或者对称式）。
2.直线的参数方程：设 ，得方程组 ，则称此方程组就是直线的参
数方程。
3.直线的一般方程： ，其中 与 不成比例。
【考点53】空间中两条直线位置关系的判定
设两条直线 与 的方程为： ： ，方向向量 ， ：
，方向向量 ，由它们的方程构成的方程组：
（1）
①若方程组（1）有无穷组解，则 与 重合；
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②若方程组（1）只有一组解，则 与 相交，且方程组的解即为 与 的交点坐标；
③若方程组（1）无解，且 ，即 ，则 与 平行；
④若方程组（1）无解，且 ，则 与 异面直线。
【考点54】空间中两条直线的夹角
两相交直线 与 所形成的4个角中，把不大于 的那对对顶角 叫做这两条直线的夹角。若 与 的
方向向量分别为 ， ，显然有：
（1）若 ，规定 与 的夹角为0；
（2）对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角；
（3）若 。
【练习】
1.平面 与平面 的位置关系是（ ）。
A.相交但不垂直 B.互相垂直
C.平行但不重合 D.互相重合
2.下列方程表示为旋转单叶双曲面的是（ ）。
A. B.
C. D.
【答案及解析】
1.【答案】A
【解析】平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，
所以 不平行于 ，又因为 ，可见两个平面的位置关系是相交但不垂直。故本题选A。
2.【答案】B
【解析】A选项， 为旋转椭球面，故不符合题意；B选项， 为旋转单
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叶双曲面，故符合题意；C选项， 为球面，故不符合题意；D选项， 为旋转
双叶双曲面，故不符合题意。故本题选B。
第五章 多元函数微分
【考点55】高阶偏导数
设函数 在区域 D 内具有偏导数 ， ，那么在 D 内
都是 的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二
阶偏导数。按照对变量求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数：
， ，
， 。
其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。同样，可得三阶、四阶、……以及 阶偏导数。二阶及二
阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【考点56】可微分的条件
1.必要条件：若函数 在点 处可微分，则该函数在点 的偏导数 ， 必定存
在，且函数 在点 的全微分为 。
2.充分条件：如果函数 的偏导数 ， 在点 连续，则称函数在该点可微分。
总结：由1和2可知二元函数的可导、可微、连续的关系如下图所示：
【练习】
函数 在点 处（ ）。
A.连续，但偏导数不存在 B.偏导数存在，但不可微
C.可微 D.偏导数存在且连续
【答案及解析】
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【答案】B
【解析】由于 ，所以 ，同理 ，两个偏导数存在。但是，
令 ， ，当 沿着 趋于 ，
，即 不是 的高阶无穷小，因此函数在 不可微。故本题选B。
第六章 级数
【考点57】收敛级数的基本性质
性质1：若级数 收敛于和 ，则级数 也收敛，且其和为 。
性质2：若 、 分别收敛于 、 ，则 也收敛，且其和为 。
性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
性质4：如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数
仍然收敛，且其和不变。
性质5（级数收敛的必要条件）：若级数 收敛，则它的一般项 趋于 ，即 。
【考点58】绝对收敛和条件收敛
1.绝对收敛与条件收敛
若级数 收敛，则称级数 绝对收敛；
若级数 收敛，而级数 发散，则称级 条件收敛。
2.绝对收敛与收敛的关系
如果级数 绝对收敛，则级数 必定收敛。
【考点59】收敛半径
1.收敛半径
如果幂级数 的相邻两项的系数满足条件： ，则称正数 就是 的收敛半
径。
2.求解方法
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幂级数的收敛半径可如下求得：设极限 ，其中 是幂级数相邻两项的系数，则：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 。
【考点60】常见函数幂级数展开式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【练习】
1.数项级数 的一般项趋于零（即 ）是级数 收敛的（ ）。
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.级数为 （ 为常数），则该级数（ ）。
A.绝对收敛 B.条件收敛
C.发散 D.收敛性与 有关
【答案及解析】
1.【答案】B
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【解析】 收敛，必有 ，但 ， 可能发散，例如调和级数 。则数项级
数 的一般项趋于零（即 ）是级数 收敛的必要条件。故本题选B。
2.【答案】A
【解析】由题意得：
，因为 ，由正项级数的比
较判别法得，原级数绝对收敛。故本题选A。
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第六模块 线性代数
第一章 行列式
【考点61】行列式的性质
性质1：行列式 它的转置行列式 或 ，即有：
性质2：交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。即
性质3：如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数 ，等于以数 乘这个行列式。
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。令
，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两元素之和，则该行列式可分解成两个行列式的和，除
了相应那行（列）分别各是一个加数外，其余的行（列）和原行列式一样。
性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式不变。
性质7：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
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【考点62】余子式与代数余子式
1.余子式： 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式称为元素
的余子式，记作 。
2.代数余子式： 称为元素 的代数余子式。
【考点63】行列式的计算
1.对角线法
（1）二阶行列式：
（2）三阶行列式
即：二阶和三阶行列式的值等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积。
2.化三角法：将行列式转化为上三角形或者下三角形行列式，这样所得行列式的值等于主对角线元素
的乘积。
3.代数余子式法：将行列式按某一行（或列）展开，达到降阶的目的。
【练习】
若行列式 ，则 （ ）。
A.2或 B.2
C.3 D
【答案及解析】
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以 ，解得 或 。故本题选
A。
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第二章 矩阵
【考点64】矩阵的运算
1.矩阵的加法：矩阵 和 ，则矩阵 与 的和记作 ，且
。
2.矩阵的数乘：常数 与矩阵 的乘积记作 或 ，且
。
3.矩阵的乘法：设矩阵 与 的乘积是 ，记作 ，其中
。
4.矩阵的转置：将矩阵 中行与列的元素互换，得到 的转置矩阵 。
【考点65】矩阵的秩
阶子式：矩阵 的任意 行和 列交叉点上的元素构成 阶子矩阵，此子矩阵的行列式即为 阶子式。
若矩阵 有一个非零 阶子式，且所有 阶子式全为零，则矩阵 的秩为 ，记为 。
求法：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为给定矩阵的
秩。
【考点66】逆矩阵
1.定义：对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，使得 （ 阶单位矩阵），则称矩阵
是可逆的，把矩阵 称为 的逆矩阵，记为 。
当 时， 称为奇异矩阵，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
2.定理1：若矩阵 可逆，则 。
定理2：若 ，则矩阵 可逆，且 ，其中 为矩阵 的伴随矩阵。
3.逆矩阵满足下述运算规律：
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（1）若 可逆，则 亦可逆，且 ；
（2）若 可逆，数 ，则 可逆，且 ；
（3）若 为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，且 。
【练习】
1.设矩阵 ，则矩阵A的秩 （ ）。
A.1 B.2
C.3 D.4
2.设 阶方阵 ，且 ，则 （ ）。
A. B.
C. D.
【答案及解析】
1.【答案】D
【解析】通过初等行变换化行阶梯矩阵，
，可得 4。故本题选D。
2.【答案】D
【解析】设 阶方阵 ，且 ，则有 ， ， 。故本题选D。
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第三章 线性方程组
【考点67】克莱姆法则
含有n个未知数 的n个线性方程的方程组
若上述线性方程组的系数矩阵 的行列式不等于零，即
则上述线性方程组有唯一解，其解为 ，其中 是把系数矩阵 中
第 列元素 对应地换成常数项 ，而其余各列保持不变所得到的 阶矩阵。
【考点68】极大线性无关组
1.设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 ，满足
（1）向量组 线性无关；
（2）向量组 中任意 个向量（如果 中有 个向量的话）都线性相关，那么称向量组 是向
量组 的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）。
2.向量组的秩：向量组 的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组的秩。
【考点69】线性方程组的解
1.解的情况
设n元线性方程组为 ，系数矩阵 的秩为 ，其增广矩阵的秩为 ，则
（1）若 ，则该线性方程组无解；
（2）若 ，则该线性方程组有唯一解；
（3）若 ，则该线性方程组有无穷多解。
2.齐次线性方程组的解
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齐次线性方程组 总是有解的，因为 就是它的一个解。因此，齐次线性方程组的
解有两种情况：（1）只有零解；（2）有非零解。
定理：系数矩阵 的秩 齐次线性方程组有非零解。
推理：若齐次线性方程组的方程个数小于未知数的个数，即 ，则它必有非零解。
3.非齐次线性方程组的解
对于非齐次线性方程组来说，只需要将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵，以此来判断其是否有解。
定理： 元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 的秩。
当 时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。
当 时，方程组有 个自由未知量，有无穷多个解。
【练习】
1.设 是4阶矩阵， 为 的伴随矩阵，若 是方程组 的一个基础
解系，则 基础解系可为（ ）。
A. B.
C. D.
2.已知向量 ， ， ，且行列式
（1）若行列式 ，求 的值；
（2）当行列式 时，将向量 表示为 的线性组合。
【答案及解析】
1.【答案】D
【解析】由 的基础解系只有一个知 ，所以 ，又由 知，
都 是 的 解 ， 且 的 极 大 线 生 无 关 组 就 是 其 基 础 解 系 ， 又
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，所以 线性相关，故 或 为极大无关
组。故本题选D。
2.【答案】（1）7；（2）
【解析】（1） ；
（2）设 ，则 。
第四章 二次型
【考点70】矩阵正负定性的判定
1.正定的判别方法
设 为实对称矩阵，则以3个命题等价：
（1） 为正定的；
（2） 的特征值 都大于零；
（3）矩阵 左上角各阶子式（称为 的顺序主子式）恒大于零。
即 ， ，…， 。
2.负定的判别方法
设 为实对称矩阵，则以3个命题等价：
（1） 为负定的；
（2） 的特征值 都小于零；
（3）矩阵 左上角各阶子式（称为 的顺序主子式）负正相间。
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即 ， ，…， 。
【练习】
下列二次型（ ）的矩阵是 。
A. B.
C. D.
【答案及解析】
【答案】C
【解析】已知二次型 中的矩阵 ，则有 ，整理得
。故本题选C。
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第七模块 课标与教学论
第一章 课程标准
【考点71】课程基本理念
1.数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使
得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
2.课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包
括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理
解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽
象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。
3.教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，
学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
4.学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。
应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注
学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信
心。
5.信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计
与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。
【考点72】高中数学学科核心素养
数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数
学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。
【考点73】高中数学课程目标
1.通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、
基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能
力（简称“四能”）。
2.在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运
算、数据分析等数学学科核心素养。
3.通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学
学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，
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提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
【练习】
数学抽象是指通过对（ ）与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。
A.数学运算 B.数学方法
C.数量关系 D.数学思想
【答案及解析】
【答案】C
【解析】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在学科核心素养与课程目标中指出，数
学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。故本题选C。
第二章 案例分析
【考点74】案例分析
【练习】
案例：
某学生在做题目“求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点”的解题过程如下：
设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为 ，消去 得， ，
整理得 。
因为直线与抛物线仅有一个交点，所以 ，解得 。
所以所求直线为 。
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问题：
（1）指出学生的错误之处；
（2）分析学生的错误原因；
（3）写出正确解法。
【答案及解析】
【参考答案】
（1）此题解法共有三处错误：
第一，设所求直线为 时，没有考虑 与斜率不存在的情形，实际上就是默认该直线的斜率
是存在的，且不为零，这是不严谨的；
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切
的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透；
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得到一个一元二次方程，除了要考虑它的判别式，还要考虑它
的二次项系数不能为零的情况，即 ，而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
（2）高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
如果学生没有考虑到直线存在的特殊情况以及相交只有一个交点时的特殊情况，均有可能导致题目解析错
误，说明学生审题不认真，对于直线的表示形式没有理解透彻，也没有掌握一定的做题方法，如数形结合。
对于教师来说，缺乏对学生在该方面的引导以及对该知识点重要性的强调，同时带领学生做同类型题目较
少。
（3） 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点 ，所以 ，即该直线为 轴，
①
它正好与抛物线 相切，符合要求； 当所求直线斜率为零时，直线为 平行于 轴，它正好与抛
②
物线 只有一个交点，符合要求； 当设所求直线的斜率存在且不为零时，又直线过点 ，可设
③
直线方程为 ，联立 ，整理得 ，令 ，解得 ，所以
所求直线为 。综上，满足条件的直线为 ， ， 。
第三章 教学设计
【考点75】教学设计
（1）课题；（2）课时；（3）课型；（4）教材分析；（5）学情分析；（6）教学目标；（7）教学重
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难点；（8）教学方法；（9）课前准备；（10）教学过程：①导入；②新授；③巩固；④小结；⑤作业；
（11）板书设计；（12）教学反思。
【练习】
下面是某高中数学教材“点到直线的距离公式”一节的内容片段：
探究：如图，已知点 ，直线 ，如何求点 到直线 的距离？
点 到直线 的距离，就是从点 到直线 的垂线段 的长度，其中 是垂足。因此，求出垂足 的
坐标，利用两点间的距离公式求出 ，就可以得到点 到直线 的距离。
设 ， 。由 ，以及直线 的斜率为 ，可得 的垂线 的斜率为 ，因此，垂线
的方程为 ，即 。
解方程组
得直线 与 的交点坐标，即垂足 的坐标为：
……
根据上述内容，完成下列任务：
（1）补充“点到直线的距离公式”的推导过程；
（2）设计这部分内容的教学目标；
（3）根据教学目标设计这部分内容的教学过程（含课堂导入、公式推导、巩固提高、课堂小结及设计
意图）。
【答案及解析】
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【参考答案】
（1）直线 ，即 。联立两直线方程 ，
得 ，所以
，
， 。
（2）第一，理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线距离公式及其应用；
第二，通过合作交流，观察、思考、分析、归纳等数学能力得到提高，数形结合、转化（或化归）、等
数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力能够得到发展；
第三，引导学生用联系与转化的视角来看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程
中获得成功的体验。
（3）教学过程如下：
一、导入环节
多媒体显示实际的例子：某电信局计划年底解决本地区最后一个小区 的电话通信问题。离它最近的
只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图
（以电信局为原点），得知这个小区的坐标为 ，离它最近线路其方程为 。
教师提问：这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？
学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点
到直线的距离。
【设计意图】通过抛出实际生活中的问题，来激发学生思考，吸引学生的注意力，同时也让学生意识
到数学来源于生活并运用于生活。
二、新授环节
多媒体显示：已知点 ，直线 ，求点 到直线 的距离。
怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足 ，求线段 的长度。
怎样用点的坐标和直线方程表示点到直线距离呢？
教师提示：在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况。学生提出平行于 轴和 轴的特殊
情况。让学生先独立思考，再小组讨论。
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预设学生1：当 时， ， ；
学生2：当 时， ， 。
教师对学生的回答进行肯定，并提问当 时，如何求 ？学生开始思考讨论，教师提示利用
平面几何的知识进行求解。
师生共同总结思路：过 作 于 点，根据点斜式写出直线 方程，由 与 联立方程组解得
点坐标，然后利用两点距离公式求解。
学生分组推导，教师巡视，根据学生情况演示探索过程。
直线 ，即 。联立两直线方程 ，
得 ，所以
，
， 。
教师提问：①上式是由当 条件下得出，对当 或 时成立吗？
②点 在直线 上成立吗？
③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？
由此推导出点 到直线 距离公式： ，适用于任意点、任意直线。
【设计意图】对于公式的教学，并不能仅仅把公式交给学生，而是要引导学生不断思考，通过自己的
不断探索从而得出结论。这样既能体现新课标的以学生为主体的理念，也能更好地帮助学生掌握知识。
三、巩固环节
请一位学生上黑板扮演，其他同学在下面完成
求点 到直线 的距离。
解：根据公式可得 。
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【设计意图】通过巩固练习，让学生尝试着对公式进行运用，进一步加深学生对公式的理解。
四、小结环节
提问学生，通过本节课的学习，你有什么收获？学生回答本节课所学的点到直线的距离公式，并了解
公式的推导过程。
【设计意图】课堂小结是教学中不可或缺的一部分，通过教师引导，学生回顾所学的知识，能够更好
地帮助他们掌握所学内容。
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