文档内容
《数学》三色速记手册《数学》三色速记手册
红色：表示重难点 /蓝色：表示易错点/绿色：表示理解点
第一部分 数学学科知识
第一章 中学数学基础知识
【考点一】集合
集合的基本概念
1、集合的含义：由一些对象组成的一个整体称为集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中的元素的三个特性
确定性，互异性，无序性
3、集合的表示
列举法，描述法，Venn图
集合的基本关系
1、元素与集合的关系
属于∈不属于
2、集合与集合的关系
集合的基本运算
【考点二】简易逻辑
逻辑联结词：或 且 非 p命题：x=0，q命题：y=0
简单命题+逻辑联结词=复合命题
1《数学》三色速记手册
命题
定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。（根据命题可知一个命题不是真命题就是假命题）
命题的四种形式与相互关系：
注：互为逆否命题的两个命题同真同假。
互为逆命题或否命题的两个命题真假互不相关。
充要条件
常用逻辑用语—量词
“任意一个”“一切”等表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词，表示符号： 。
含有全称量词的命题叫全称命题。
“存在一个”“至少有一个”等表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，表示符
号： 。含有存在量词的命题叫特称命题。
所有正方形都是矩形。
每一个有理数都能写成分数的形式。
有些三角形是直角三角形。
存在一个实数x，使得x2+x-1=0。
全称命题与特称命题的否定（非否命题-注意区分）
技巧：改量词，只否定结论
写出下面命题的否命题
2《数学》三色速记手册
【考点三】算法初步
程序框图
图形符号 名称 符号表示的意义
起、止框 框图的起始和结束
输入、输出框 数据的输入或者结果的输出
执行框 赋值、执行计算语句、结果的传送
判断框 判断条件是否成立
流程图 连接程序框，表示算法的流程
程序框图的三种基本逻辑结构
顺序结构：是由若干个依次执行的步骤组成的。
条件结构：是指包含条件框，用来判断条件是否成立的结构。
循环结构：是指按照某种条件反复执行某些步骤的结构，在循环结构中反复执行的步骤为
循环体，一般来说，循环结构中心包含有条件结构。
【考点四】函数的概念与性质
一、函数的定义
二、函数的基本性质
3《数学》三色速记手册
奇偶性
函数y=f（x）中，如果对于函数定义域内任意一个x，有f（-x）=－f（x），则称函数f（x）
为奇函数。
若f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
判断方法：
1、定义法：
a.求出定义
b.判断定义域是否关于原点对称
c.求f（-x）并比较f（-x）与f（x）或f（-x）与-f（x）
2、图形法：
奇函数图形在其定义域内关于原点对称，偶函数图像在其定义域内关于y轴对称。奇偶函数
定义域都关于原点对称。
单调性
定义：设f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x1，x2，当x11时，轨迹为双曲线。
e=1时，轨迹为抛物线。
【考点十五】空间几何体
2、锥体：棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。棱锥的底面可以是
三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
常见锥体：三棱锥、四棱锥、圆锥
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥
叫做正棱锥。
正棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
3、球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面成的几何体叫
做球体。
同一个平面截一个球，截面是圆面。
4、空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平
面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图。
（二）简单几何体的表面积与体积
18《数学》三色速记手册
柱、锥、台和球的侧面积和体积：
（三）空间中的平行与垂直
1、线面平行与垂直的判定定理、性质定理
2、面面平行与垂直的判定定理、性质定理
3、平行关系及垂直关系的转化
【考点十六】向量
19《数学》三色速记手册
平面向量的运算
向量的减法
数量积
平面向量基本定理
【考点十七】复数
复数的概念
复数的定义：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部；复数
集用字母C表示。
复数的分类
20《数学》三色速记手册
虚数单位i
两个复数相等的充要条件
复数的模
共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
复数的几何意义
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
复数的基本运算
复数的运算律
【考点十八】排列组合
一、两个基本原理
乘法原理（分布计数原理）
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同
的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法。
加法原理（分类计数原理）
21《数学》三色速记手册
一件事情，完成它有N种方法，在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2
种不同方法，在第N类办法中有mn种不同方法，那么完成这件事情共有N=m1+m2+…+mn种
不同方法。
二、排列
排列定义
从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中，
任取m个元素的一个排列。特别地当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。
排列数定义
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
排列数，用符号Anm表示。
排列数公式
三、组合
组合定义
从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个组合。
组合数定义
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数，用符号Cnm表示。
组合数公式
【考点十九】二项式定理
基本概念
分析（a+b）n的展开式
22《数学》三色速记手册
第二章 数学分析
【考点一】极限的性质
一、数列极限的基本性质
性质1：唯一性
证明：用反证法{了解一下算了，不做过多要求}
性质2：有界性
定义：对数列xn，若存在正数M，使得一切正整数n，恒有 成立，则称数列xn有界，
否则，称为无界。
性质3：保号性、保序性、夹逼定理
23《数学》三色速记手册
二、函数极限的基本性质
推论：夹逼定理
【考点二】求极限的方法
一、利用两个重要极限
第一个重要的极限：
第二个重要的极限：
二、等价无穷小替换
（一）无穷小量的定义
如果在x的某种趋向下，函数f（x）以零为极限，则称在 x的这种趋向下，函数f（x）是
无穷小量，简称无穷小。
（二）无穷小量的比较
24《数学》三色速记手册
（三）等价无穷小替换定理
常用的等价无穷小有：
三、洛必达法则
四、利用夹逼法则
25《数学》三色速记手册
定理2：如果数列xn，yn及zn满足下列条件
五、利用定义
【考点三】间断点的类型
定义：函数不连续的点称为间断点，若x0是函数的间断点，则必是下列三种情况之一
1、f（x）在x0点无定义，即f（x0）不存在。
第一类间断点（左右极限都存在）——可去间断点ⅰ
第一类间断点（左右极限都存在）——可去间断点ⅱ
第一类间断点（左右极限都存在）——跳跃间断点
左右极限存在但不相等
第二类间断点（左、右极限至少有一个不存在）
26《数学》三色速记手册
——无穷间断点
第二类间断点——震荡间断点
f（x）在x=x0处无定义，且极限不存在（也不为∞）
【考点四】函数的连续性性质
一、最值定理
在闭区间[a，b]上连续的函数，一定能取得它的最大值和最小值。
说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。
二、介值定理
3、根的存在定理（零点定理）
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，那么，在开区间（a，b）
内至少存在一点ξ，使得
几何解释：连续曲线弧y=f（x的两个端点位于x轴的不同侧，则曲线弧与x轴至少有一个
交点。
27《数学》三色速记手册
【考点五】导数公式
【考点六】导数的应用
一、函数单调性的判定
设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导
1、如果在（a，b）内f’（x）>0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；
2、如果在（a，b）内f’（x）<0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少。
二、函数的极值
定义：设函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x 是（a，b）内的一个点，如果存在着点
0
28《数学》三色速记手册
x 的一个领域，对于这领域内的任何点x，除了点x 外，f（x）f（x）均成立，就称f（x）是函数f（x）的一个极小值。
0 0 0
使函数取得极值的点称为极值点。
最值的求法
若函数f（x）在[a，b]上连续，除个别点外处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，
则f（x）在[a，b]上的最大值与最小值存在。
步骤：1、求驻点和不可导点；
2、求区间端点即驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪
个小哪个就是最小值。
【考点七】微分中值定理
29《数学》三色速记手册
【考点八】不定积分定义
30《数学》三色速记手册
2、第二换元积分法
解决对象；被积函数含有根号
解决思路；去掉根号
解决方法；简单根式代换
【考点九】定积分的概念
31《数学》三色速记手册
32《数学》三色速记手册
【考点十】定积分的计算
【考点十一】定积分的性质
33《数学》三色速记手册
【考点十二】面积与体积
【考点十三】级数的概念
34《数学》三色速记手册
35《数学》三色速记手册
【考点十四】正项级数的审敛法
【考点十五】交错级数的审敛法
36《数学》三色速记手册
【考点十六】幂级数定义、收敛半径、收敛域
【考点十七】多元函数的定义
【考点十八】偏导数及全微分的求法
【考点十九】多元函数极值
37《数学》三色速记手册
【考点二十】几何应用
【考点二十一】二重积分
38《数学》三色速记手册
39《数学》三色速记手册
第三章 高等代数
【考点一】多项式的整除法
【考点二】行列式的概念
40《数学》三色速记手册
【考点三】行列式的性质
【考点四】行列式的计算方法
一、特殊的行列式—上、下三角行列式计算
（主对角线以上或者以下都是0）
（副对角线以上或者以下都是0）
一、特殊的行列式—范德蒙德行列式
41《数学》三色速记手册
证明：（略）
二、克莱姆法则
则该方程组有唯一解，而且解为：
其中
【考点五】矩阵的计算
一、矩阵的加法
二、数与矩阵的乘积
42《数学》三色速记手册
三、矩阵与矩阵相乘
注意：矩阵乘法不满足交换律，即：AB≠BA
若AB=0，不能推出A=0或B=0
矩阵乘法不满足消去律即：
若AB=AC且A≠0不能推出B=C
【考点六】几种特殊的矩阵
一、转置矩阵
二、方阵的行列式
三、奇异矩阵与非奇异矩阵
43《数学》三色速记手册
四、对称矩阵与反对称矩阵（二次型）
五、伴随矩阵—A必须是方阵
【考点七】逆矩阵定义及其求法
可逆矩阵定义：
设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使
AB=BA=E
成立，则称方阵A可逆，并称B是A的逆矩阵,简称逆阵，记作A-1=B。于是有
AA-1=A-1A=E
可逆矩阵说明：
1、可逆矩阵一定是方阵，且适合其逆阵B也一定是方阵；
2、若矩阵A与B满足AB=BA=E，则A与B都可逆，并且互为逆矩阵，即A-1=B，B-1=A；
3、零矩阵是不可逆矩阵；单位矩阵E是可逆矩阵，且其逆矩i阵是其本身。
可逆矩阵具有下列性质：
【考点八】矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵A的初等行（列）变换：
44《数学》三色速记手册
矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。
显然，矩阵的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。
新概念-等价矩阵：
（2）性质
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：
新概念---行阶梯形矩阵
从第一行画出一条阶梯线，下方全是零，（1）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；
（2）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。
具备这样特点的矩阵叫做行阶梯型矩阵。
新概念---行阶梯型矩阵—判定
（1）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；
（2）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。
新概念---行阶梯型矩阵—化简具体步骤
1、判定第一行第一列元素是否为1，不是先用初等变换为1或者把首行是1的那一行换过
来；
2、以第一行为基础，把每行的首元素化0；
3、画阶梯线，每个阶梯只有一个非0行，如不满足，再以每个台阶为基准，将下面阶梯元
45《数学》三色速记手册
素化为0；
4、出现0多的某行在上方，也可以先换到下面再进行2-3步。
又一个新概念---行最简形矩阵
行阶梯形矩阵中非零行的第一个元素均为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。具
有这样特点的矩阵叫做行最简形矩阵。
【考点九】矩阵的秩
定义：若矩阵A中有一个非零r阶子式，且所有r+1阶子式全为零，则矩阵A的秩为r，记
做R（A）=r。
求法：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，则其中非零行的行数即为给定矩阵的
秩。
性质：乘积的秩不超过其因子的秩。矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。其本质是线性方程
组中有效方程的数目。
求法：
1、行阶梯形变换：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，则其中非零行的行数即
为给定矩阵的秩。
2、方阵，求行列式的值。
【考点十】n维向量
一、n维向量的概念
46《数学》三色速记手册
4、列向量组与行向量组的概念
n维向量的运算
满足的运算法则：
【考点十一】线性相关
【考点十二】极大线性无关组及其求法
极大线性无关组的求法-列摆行变换
1、构成
2、对A初等行变换，化成阶梯型矩阵B
3、在B的每一个台阶上去一个非零元所在列对应的向量，构成向量组即极大线性无关组。
（一般规则：同一个台阶取左边第一列）
47《数学》三色速记手册
极大线性无关组不唯一
【考点十三】线性表示及其求法
定义：设有两个向量组
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向
量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
定理：设有两个向量组
向量组B能用向量组A表示的充分必要条件
则
定理：设有两个向量组
向量组B能用向量组A表示的充分必要条件
则
已知：
48《数学》三色速记手册
第三步：用消元法解线性方程组
【考点十四】齐次线性方程组
线性方程组的一般形式为
当b≠0时，称（1）为非齐次线性方程组。
当b=0时，称（1）为齐次线性方程组。
若线性方程组有解就称其为相容。
若线性方程组无解就称其为不相容。
考点：
1、是否有解；
2、基础解系；
3、通解；
4、解的性质。
（1）齐次线性方程组定义
设n元齐次线性方程组
2、基础解系
2、齐次线性方程组的具体求法
49《数学》三色速记手册
①系数矩阵A化简成行最简形，判断是否有非零解；
②若有非零解，确定基础解系含有的向量个数n-R(A)；
③写出同解方程组，给自由未知数赋值，求出其他解；
④写出其解：通解形式
3、解的性质
（1）方程组（a）的两个解的和还是方程组（a）的解；
（2）方程组（a）的一个解的倍数还是方程组（a）的解。
【考点十五】非齐次线性方程组
考点：
解的情况
基础解系
2、线性方程组有解的判别定理
线性方程组（b）有解的充分必要条件为它的系数矩阵
2、方程组Ax=b（A为m×n矩阵）解的情况：
3、非齐次线性方程组的具体求法
①系数矩阵A化简成行最简形，判断是否有解；
②若有解，先求其齐次线性方程组的通解
4、解的性质
（1）非齐次线性方程组（b）的两个解的差是它的齐次线性方程组（a）的解；
（2）非齐次线性方程组（b）的一个解与它的齐次线性方程组（a）的一个解之和还是非齐
次线性方程组（b）的解。
【考点十六】特征值与特征向量
特征值与特征向量
一般给定矩阵M（方阵），若存在一个非零向量α（列向量）和实数λ，满足Mα=λα，则
称λ为矩阵M的特征值，α为方阵M的属于特征值的特征向量。
条件：Mα=λα
50《数学》三色速记手册
结论：n阶矩阵的特征值的个数为n个（包括重根）
特征多项式定义：
特征值与特征向量的解法（针对简答题）：
【考点十七】相似矩阵
相似矩阵定义：
若A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称矩阵A与B相似，可逆矩阵P被
称为把A和变成B的相似变换矩阵。
性质：判定是否相似
若n阶矩阵A与对角矩阵 相似，则λ就是A的n个特征值。
定理1：
若n阶方阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A的n个线性无关的特
征向量。
推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互相不相等，则A与对角矩阵相似。
定理2：若n阶方阵A与对角矩阵（即A能对角化）相似的充分必要条件是A的每个特征值
中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。
判定相似对角化步骤：
①求A的特征值；
【考点十八】内积、施密特正交化、正交矩阵
说明：
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基。
（2）若把向量空间V看作向量组，那么V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向
量组的秩。
向量的内积定义：
51《数学》三色速记手册
内积的运算性质：
向量的长度
向量的夹角：
正交的概念
【考点十九】斯密特正交化
向量组正交化方法
52《数学》三色速记手册
【考点二十】正交矩阵
定义：设A为n阶矩阵，若AAT=E或者E=AAT（I为单位矩阵），则称A为正交矩阵。
正交矩阵判定方法
①定义法；
②同时满足以下两个条件：
□正交矩阵的每一行（列）的N个元素的平方和为1；
□两个不同行（列）的对应元素乘积之和为0。
【考点二十一】二次型
二次型定义
正定二次型判定
正定二次型的充分必要条件：
（1）A的特征值全为正；
（2）A的各阶主子式都是正；
即
负定二次型判定：奇负偶正
负定二次型的充分必要条件：
（1）A的奇数阶主子式全为负；
（2）A的偶数阶主子式全为正；
即
【考点二十二】矩阵与线性变换的关系
（一）矩阵与线性变换
53《数学》三色速记手册
在平面直角坐标系x0y内，很多几何变换都具有下列形式：
其中系数a，b，c，d均为常数。我们把形如（3）的集合变换叫做线性变换，（3）式叫做这
个线性变换的坐标公式。P1（x1，y1）是P（x，y）在这个线性变换作用下的像。
54《数学》三色速记手册
第四章 空间解析几何
【考点一】空间的坐标表示
基向量
【考点二】向量运算的坐标表示
1、向量的加减法与数乘的坐标表示
55《数学》三色速记手册
2、数量积（内积、点乘积）的坐标表示---结果是一个数字
3、向量积的坐标表示---外积、叉积---一个向量（有大小和方向）
方向：满足右手定则，四指从a转变b
拇指的方向就是c的方向。C垂直于a，b。
4、向量的混合积
几何意义：在数值上等于以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积---用途：判定三个边是
否共面，若数值等于0，则体积为0就共面，反之不共面。
56《数学》三色速记手册
【考点三】空间平面
【考点四】平面、空间直线的互相关系
1、两个平面之间的关系—垂直、平行、有夹角；
2、两个直线之间的关系—同面（垂直、平行、有夹角）、
—不同面（距离）；
3、直线和平面的位置关系—平行、垂直、有夹角。
交已知直线的两平面的法向量为
57《数学》三色速记手册
【考点五】曲面及曲线方程
58《数学》三色速记手册
3、旋转曲面
定义：一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，该定直
线称为旋转轴。
总结：绕哪个轴旋转，哪个字母不变
方程中的另外一个字母变为正负根号下其他两个轴字母的平方和。
59《数学》三色速记手册
【考点六】空间曲线及其方程
60《数学》三色速记手册
61《数学》三色速记手册
第五章 概率论与数理统计
【考点一】等可能概型
1、古典概型
古典概型的基本思路：
随机试验的样本空间只有有限个样本点；
每次试验中各个样本点发生的可能性相等；
【考点二】条件概率
【考点三】事件的独立性
62《数学》三色速记手册
【考点四】N次重复试验概率求法
【考点五】随机变量及其分布
63《数学》三色速记手册
【考点六】常用的离散型随机变量
64《数学》三色速记手册
【考点七】常用的连续型随机变量
65《数学》三色速记手册
【考点八】数学期望
66《数学》三色速记手册
【考点九】方差与标准差
67《数学》三色速记手册
68《数学》三色速记手册
69《数学》三色速记手册
第二部分 课程知识
【考点一】影响初中数学课程的主要因素
初中数学课程是一门国家课程，其主要内容包括课程目标、教学内容、教学过程和评价手
段等。
影响初中数学课程的主要因素有：数学学科内涵、社会发展现状和学生心理特征。
【考点二】数学的基本特点
一、抽象性
抽象性可归纳为以下几点：
1、数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象；
2、不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号；
3、数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景；
4、高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化；
5、数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。
二、严谨性
数学的严谨性表现在以下几个方面：
1、数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周
密；
2、即使是一些最基本、最常用，甚至不能用逻辑方法加以定义的原始概念，数学学科也不
满足于直观描述，而要求用公理来加以确定；
3、在新的数学结论的推证过程中，则步步要有根据，处处应合乎逻辑理论的要求；
4、在数学内容的系统安排上，也必须符合学科内在的逻辑顺序。
三、应用广泛性
数学的应用广泛性表现在以下几个方面：
1、一切科学技术原则上都可以借助于数学的知识和思想方法来解决有关的问题；
2、数学与人的生活、社会的发展、科学技术的进步息息相关；
3、数学为其他学科的建立和发展提供了条件和基础；
除了以上的抽象性、严谨性和应用广泛性外，数学还有简洁性、优美性、对称性等特点。
【考点三】初中数学课程的性质和基本理念
初中数学课程的性质
义务教育阶段的数学课程是培养公民的基础课程，具有基础性、普及型和发展性。数学课程
能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创
新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。
一、基础性
基础性主要指初中阶段的数学课程是学生全面发展的重要基础。
1、初中阶段的数学课程中应当有大量的内容是未来公民在日常生活中必须用到的。
2、初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下
必要的基础。
3、由于数学科学是其他学科的基础，因此数学课程内容（包括相关内容、方法）也是学生
在初中阶段学习其他课程的必要基础。
二、普及性
初中阶段的数学课程“普及性”的含义是：
1、初中阶段的数学课程应当在适龄少年中得到普及。即每一个适龄学生都有充分的机会学
习。
2、初中数学课程内容应当能够为所有适龄学生在具备相应学习条件的前提下，通过自己的
70《数学》三色速记手册
努力而掌握。
三、发展性
初中数学课程是为即将结束义务教育阶段的初中学生谋求明日的发展而设置的。
初中数学课程的基本理念
1、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展
的需要。
2、课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。
它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法；
课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；
要重视直观，处理好直观与抽象的关系；
要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。
3、教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教
师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
4、学习评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程与结果，激励学生和改进教师教学。
应建立评价目标多样化、评价方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重
视学习的过程。
5、信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。
【考点四】初中数学课程的目标
初中数学的总体目标
通过义务教育阶段数学学习
1、学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、
基本活动经验。
☆基础知识：基础知识一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基
本公式等。
☆基本技能：基本技能内容包括基本的运算、测量、绘画等技能。
☆基本思想：数学的三个基本思想：抽象、推理、建模。
☆基本活动经验：是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一，它的产生和形成过程实
质上是学生经历数学活动的过程。
数学基本活动经验的积累要和过程性目标建立联系，过程性目标和内容实现的主要标志就是
学生形成活动经验，学生在经历相关的数学活动中，了解数学知识发生发展的过程，体会数
学知识和方法的探究。
2、体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方
式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；
3、了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，
具有初步创新意识和实事求是的科学态度。
总目标从四个方面具体阐述：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
目标的基本关系
一、“总体目标”与“学段目标”
“总体目标”是学生经历整个义务教育阶段的数学学习以后，应当达到的最终目标。它是实
现义务教育阶段数学课程价值的最主要途径。“总体目标”的达成需要分阶段逐步落实，而
每一个阶段性目标就是“学段目标”。
所以，“总体目标”是义务教育阶段数学课程的终极目标，而“学段目标”则是“总体目标”
的细化和学段化。
二、四类目标彼此相关
71《数学》三色速记手册
“总体目标”由“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四个方面体现。显然，
这四个方面不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体：一方面，“知
识技能”目标的达成不能视为数学教学的终极目的；另一方面，“数学思考”、“问题解决”、
“情感态度”目标的达成应当以数学知识技能和方法的学习作为载体，更为重要的是，数
学知识技能与方法的学习必须有利于这三个目标的实现。
因此，在具体的教学过程中，课程目标的这四个方面应当同时成为“教学目标”，而不能仅
仅关注其中的某几个。事实上，只有这四方面目标的整体实现，才是学生受到良好数学教育
的标志。
【考点五】教学建议
一、数学教学活动要注重课程目标的整体实现
二、重视学生在学习活动中的主体地位
1、学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
2、教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和
条件。
教师的“组织”作用主要体现在两个方面：
第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，
设计一个好的教学方案。
第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，努力营造师生互动、生生互动、生动
活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。
教师的“引导”作用主要体现在：从学生熟悉的生活经验中寻找有意义的生活素材，创设有
助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、
发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动富有个性地学习。在数学课
堂教学中教师应从以下方面去引导探究学习知识：
（1）创设丰富有趣的数学情境
（2）充分发挥课堂教学作用
（3）加强知识的应用
教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，
启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。
3、处理好学生主体地位和教师主导作用的关系
好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真
正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是
学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。
三、注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
1、数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联，数学知识
的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系
中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系。
2、在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序
和步骤的道理。
四、引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽
象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学
教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。
教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过
72《数学》三色速记手册
程，是学生积累数学活动经验的重要途径。
五、关注学生情感态度的发展
六、合理把握“综合与实践”的实施
积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学
课程之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体。“综合与实践”的教学，
重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生
积极动脑、动手、动口。重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、
数学内部知识的联系和综合应用。
实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之
间的合作交流，并照顾到所有的学生。
七、教学中应当注意的几个问题
1、“预设”与“生成”的关系
教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和
再创造。
实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。
2、面向全体学生与关注学生个体差异的关系
教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每
个学生在原有基础上的发展。
3、合情推理与演绎推理的关系
推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通
过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推
理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的
年龄特征提出不同程度的要求。
应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相
成的两种推理形式。
4、使用现代信息技术与教学手段多样化的关系
积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的
整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。
现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难
以达到甚至达不到的效果。
在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学
生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。
【考点六】数与式
实数的相关概念
1、数轴
数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的。
2、绝对值
绝对值的代数意义
绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
3、相反数、倒数
若a、b两个数互为相反数，则a+b=0。
73《数学》三色速记手册
实数a的相反数记为-a，非零实数a的倒数记为 ，0没有倒数。
实数的分类
【考点七】方程
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式。使方程左
右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
一元一次方程的解法：
去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1
一元二次方程的解法：
a.直接开方法 b.配方法 c.公式法 d.分解因式法
一元二次方程根与系数之间的关系
分式方程及其解法
1、定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：分式方程 整式方程 →解整式方程→验根→确定
原方程的根。
3、分式方程的增根：
去分母后整式方程的根，使分式方程分母为0的根不是原分式方程的根，叫做原分式方程
的增根。
【考点八】函数
函数的图像与性质
【考点九】简单的平面图形
三角形
三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线，外心，三角形两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边。
三角形全等与相似的判定
74《数学》三色速记手册
定理 相似 全等
SSS √ √
SSA ╳ ╳
三角形 SAS √ √
AAS √ √
AAA √ ╳
直角三角形 HL √ √
多边形的性质
1、多边形的内角和与外角和：任意n 边形（n ≥3）内角和等于（n -2）·180°；外角和
等于360°
2、从n边形的一个顶点出发可以引n -3条对角线，n 边形对角线总条数为 条。
平行四边形的性质和判定
1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
如图，当四边形ABCD为平行四边形时，
（1）边的关系：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC
（2）角的关系：∠ABC=∠ADC、∠BAD=∠BCD；
∠ABC+∠BCD=180°；
（3）对角线的关系：AO=CO，BO=DO；
（4）是中心对称图形。
2、根据上述结论写出平行四边形的判定：
（1）若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形；
（3）若AB=CD，AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形；
（4）若∠ABC=∠ADC、∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD为平行四边形；
（5）若AO=CO，BO=DO，则四边形ABCD为平行四边形。
矩形的性质与判定
名称 性质 定义与判定
1、四个角都是直角
1、有一个角是直角的平行四边形
2、对角线相等
矩形 2、有三个角是直角的四边形
3、既是中心对称图形又是轴对称图形
3、对角线相等的平行四边形
4、S=ab（a、b表示长和宽）
菱形的性质与判定
名称 性质 定义与判定
1、四条边都相等
1、有一组邻边相等的平行四边形
2、对角线互相垂直，并且每条对角线平
菱形 2、四条边都相等的平行四边形
分一组对角
3、对角线互相垂直的平行四边形
3、菱形的面积等于两条对角线乘积一半
75《数学》三色速记手册
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形
正方形的性质与判定
名称 性质 定义与判定
1、有一个角是直角，一组邻边相等的
1、四条边都相等，四个角都是直角 平行四边形
正
2、对角线相等且互相垂直平分每条对角 2、一组邻边相等的矩形
方
线平分一组对角 3、一个角是直角的菱形
形
3、面积等于边长的平方 4、对角线相等互相垂直平分的平行四
边形
【考点十】图形变换
轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形。
中心对称图形
在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定单位距离，这样的图形运动称为平移。
平移的特点：平移不改变图形的形状和大小。
旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这
个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
图形旋转的特点：旋转不改变图形的形状和大小。
【考点十一】视图
三视图
1、三视图：从正面看到的图形称为主视图；从上面看到的图形称为俯视图；从左侧面看到
的图形称为左视图。
2、画三视图方法：
（1）观察方向：正面、左侧面、上面；
（2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等；
（3）注意实线与虚线的画法。
76《数学》三色速记手册
第三部分 教学知识
【考点一】教学原则
一、抽象与具体相结合原则
在数学教学中既要促使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型。形成鲜明的表象，又
要引导学生在感知材料的基础上进行抽象思维，形成正确的概念、判断和推理。
二、严谨性与量力性相结合的原则
数学的严谨性，就是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格、周密，整个数
学内容被组织成一个严谨的逻辑系统。
所谓量力性，简而言之就是量力而行。这主要是针对数学教学对象的接受能力而提出的，它
要求教师应充分考虑学生的思维发展水平、理解程度和已有的知识技能来组织教学，既不要
求过高，也不要求过低，要使所授的知识可以让学生接受。
运用严谨性与量力性相结合的原则来进行教学
1、认真钻研课程标准、教材，明确把握教材的严谨性要求。
2、在具体的概念和定理等内容的教学中，不要一下子和盘托出所要学习的概念和定理等全
部内容，要体现出逐层逐步严谨的过程。
3、在教学中，要有意识地逐步培养学生言必有据、思考缜密、思路清晰的良好的思维习惯，
这些思维习惯是学生的数学思维严谨性程度高低的主要标志。
4、在平时，要在研究学生的年龄特点、个性特点、智力、能力水平方面下功夫。数学教育
一方面要面向全体学生，不能只顾少数“尖子生”；另一方面学生的能力水平又参差不齐，
差别很大，这就形成了尖锐矛盾。
三、理论与实践相结合的原则
1、这一原则是数学特点所决定的
2、此原则体现了严密的逻辑系统这一数学特点
3、此原则也体现了应用广泛性这一数学特点
4、此原则也是为培养学生分析问题与解决问题能力所需要的
四、巩固与发展相结合的原则
1、这一原则要求教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传授与能力发展的关系。
其含义有二：
（1）要求学生牢固地掌握所学的知识，随时在记忆中再现这些知识。温故而能知新，探新
也可习故，应结合新知识的学习巩固旧知识；
（2）在传授知识的同时使学生能力得到发展。
2、这一原则是符合当前数学教学实际的。在数学知识结构中，某一数学知识常常是多个数
学知识的交叉点，故应在知识与知识的有机联系中去巩固与发展知识，在知识的巩固中发展
能力，以能力的培养求知识的发展。
3、这一原则是适合学生的心理发展规律的，在数学学习中，学生心理发展既有连续不断的
继承性特点，又有产生质变的阶段性特点。
【考点二】教学过程的基本环节
数学教学过程是指数学教师策划、组织、调控数学教学活动，让学生掌握数学知识，获得
数学基本技能，领悟数学思想、方法，形成数学思维能力等数学认识与发展的育人过程。
数学教学过程由备课、上课、课外活动的指导、作业布置与批改、数学教学评价等环节构
成。
一、备课
教师在课前的一系列准备工作叫做备课。备课是教学的基础，备课的主要工作包括：
1、分析教材和课程标准、阅读参考资料。
77《数学》三色速记手册
2、深入了解学生。教师深入了解学生才能有的放矢、因材施教，以取得良好的教学效果。
教师应了解所教学生的知识结构、学习能力、思维特点、心理特征、兴趣爱好、学习习惯等。
3、制订计划（学期计划、单元计划和教案）。
二、课堂教学
课堂教学是数学教学过程中的重要环节，传统阶段教学把教学程序分成四个阶段：明了，
联想，系统和方法，随后其发展为当今的五段教学法：引入（提出问题，说明目的），讲解
（讲解新课程、教材），联系（比较），总结，应用。
具体来说，这五个阶段在中学数学课堂教学中，我们可见的教师实施环节如下：
引入——启发讲授——练习和巩固——小结——作业
三、课外工作
1、作业批改
2、课外辅导
课外辅导分为集体辅导和个别答疑两种形式。
3、数学课外活动
四、成绩的考核与评定
1、成绩考核的目的与作用
2、成绩考核类型
五、教学评价
数学教学评价的主要内容有对数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法与数学活动经
验的掌握程度以及学生数学能力的发展水平。
根据评价的不同目的，数学教学评价可以分为：诊断性评价、形成性评价和总结性评价。
【考点三】常见的数学教学方法
一、讲授法
讲授法是教师运用语言对数学教学内容进行解释、分析和论证的一种讲授方法。该方法在数
学概念引入、定理与公式的论证与推导等新授课运用较多。
优点：突出教师的主体地位，能够保持教师讲授知识的主动性、连贯性，教学时间和进度容
易控制。
缺点：容易形成“满堂灌”的局面，学生的主体性不能得到充分体现。
二、讨论法
讨论式教学法是指在教师的指导下，学生以全班或者小组为单位，围绕中心问题，并通过
学生间的相互交流讨论，进一步完善和深化对问题的理解、评价或者判断而完成既定的教
学任务的教学方法。
优点：
1、体现了学生是学习的主体
2、学生之间取长补短，在合作学习过程中，发现自己的长处和知识漏洞，并从他人那里学
习到很多东西。
3、能够培养学生的学习兴趣
4、能够培养学生的批判精神与言必有据的良好习惯。
缺点：容易使讨论陷于松散，不易控制讨论的话题与讨论的结果。
三、自学辅导法
自学辅导教学法的教学过程分为四个阶段：
78《数学》三色速记手册
第一阶段：领读练习阶段
第二阶段：启发自学阶段
第三阶段：自学辅导阶段
第四阶段：教学研究阶段
优点：能培养学生的研究能力和养成认真钻研课本的好习惯。
缺点：时间不易掌握。
四、发现法
发现式教学法是在一定教学目的指引下，在教师引导或鼓励中；学生通过类比、归纳、质
疑和反思等思维活动，亲自去探索和发现数学的概念、定理、公式和解题方法等的一种教
学方法。
优点：1、提高学生的智慧潜力
2、使学生的学习动机由外在向内在转移
3、使学生学会发现的探究方法
4、有助于学生记忆知识
缺点：不容易把控时间
教学方法的选择依据
1、依据教学目标和任务选择教学方法
2、根据教材内容的特点选择教学方法
3、依据学生的实际情况选择教学方法
4、教师本身的素质选择教学方法
5、依据各种教学方法的职能、适用范围和使用条件选择教学方法
6、依据教学时间和效率的要求选择教学方法
【考点四】中学数学学习基本方法
学习方式是指个体在学习过程中表现出来的相对稳定的行为方式。
一、合作学习
合作学习是指学生为了完成共同的数学任务，有明确的责任分工的互助性学习。
小组合作学习的实施
1、小组合作的准备
2、明确小组合作学习的任务
3、使学生明确合作的规范
4、使学生明确在小组中的责任
二、探究学习
探究学习，亦称发现学习，是指学生在学习情境中通过观察、阅读、发现问题、搜集数据、
形成解释，获得答案并进行交流、检验，从而自主构建知识体系的一种积极的学习方式。
三、自主学习
自主学习是在教师指导下，自觉地制定学习计划、确定学习目标、组织学习活动、自我监控
学习过程与效果、主动选择学习策略、自我评价学习结果、积极创设最优化的学习内部环境
与外部环境、自我指导、自我强化来进行高效学习的一种学习方式。
【考点五】概念教学
一、概念的内涵与外延
1、内涵和外延的含义
概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所反映的事物的
总和（或范围）。概念的内涵和外延是分别对事物的质和量的规定。
一元二次方程定义：
79《数学》三色速记手册
内涵：只有一个未知数且未知数最高次数是二次。
外延：
二、概念之间的逻辑关系
1、相容关系
如果两个概念的外延交集是非空集合，即外延至少有一部分是重合的，则二者具有相容关系。
相容关系又分以下三种情形。
①同一关系
如果两个概念A和B的外延完全重合，那么就说这两个概念具有全同关系。
举例：三线合一
②交叉关系—正数与整数
外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称为交叉关系，这两个概念称为交叉概
念。
③从属关系—有理数与实数
如果A概念的外延包含B概念的外延．那么这两个概念间的关系称为从属关系。其中A概念
叫做B概念的属概念（或上位概念），B概念叫做A概念的种概念（或下位概念）。
2、不相容关系
如果两个概念是属于同一属概念下的种概念，并且它们的外延集合的交集为空集，那么称
这两个概念间的关系是不相容关系、全异关系或排斥关系。不相容关系又分为矛盾关系和反
对关系。
①对立关系
在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而且这两个种概
念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立关系。
②矛盾关系
在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而且这两个种概念
具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系。
三、概念教学的基本要求
1、使学生明确概念的内涵和外延，熟悉概念的表达
2、使学生了解概念的来龙去脉，能够正确地使用概念
3、使学生了解概念间的关系，会对概念进行分类，形成概念体系
四、概念教学的一般过程
（一）引入概念
1、以学生的感性认识为基础引入概念
2、在学生原有知识基础上引入概念
（二）明确概念
1、明确概念的内涵，准确地给概念下定义
2、明确概念的外延，正确地给概念分类
3、明确概念的表达及限制条件
（三）巩固概念
1、当堂巩固
2、及时复习，整理所学概念，将概念纳入概念体系中
（四）应用概念
【考点六】命题教学
一、命题教学的基本要求
1、使学生深刻理解数学命题
80《数学》三色速记手册
2、使学生了解命题的来龙去脉，能够灵活运用命题解决问题
3、使学生了解相关命题之间的内在联系，掌握命题的系统
二、命题教学的一般过程
（一）公式、定理的引入
1、发现式引入，即通过实践去发现
2、过渡性引入
（二）公式、定理的明确与理解
1、分清定理的条件和结论
2、分清公式的外形与特点
3、正确理解定理中关键词语的意义
4、注意公式、定理的应用范围
三、命题教学的策略
1、整体性策略
整体性策略是指在数学命题教学中，按知识结构的整体性进行组织教学的一种策略。
2、准备性策略
准备性策略是指在数学命题的教学实施之前，教师准备教学所采用的一项教学策略。
3、问题性策略
问题性策略是指在数学命题获得的教学中，教师为了引起学生注意，激发学生学习动机，
调动学生积极情感，有利于学生利用原有知识和经验学习当前新命题而采取的一种教学策
略。
4、情景化策略
情景化策略是指教学命题引入的教学过程中，教师旨在创设一种有利于引起学生思考、引发
学生积极学习动机、促进学生理解数学命题的教学策略。
5、过程性策略
过程性策略是指在数学命题获得、证明和应用阶段，教师暴露数学命题产生与证明及变化的
“所以然”过程，启发学生感受、体验数学命题产生、发展、演变的动态过程，引导学生在
命题学习过程中积极主动地进行思维活动的一种教学策略。
6、产生式策略
产生式策略是指在数学命题应用的教学过程中，通过变式练习等多种方式，促使学生对命题
成立与应用的前提条件和注意事项做到了如指掌，促进数学命题灵活运用的一种教学策略。
【考点七】数学思想方法的教学
一、中学数学常用的几种思想方法
1、函数思想
所谓函数思想，就是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的
数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而
使问题获得解决。
2、方程思想
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程、方程组或者构造方程，
通过解方程、方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获解。
3、分类思想
数学中的分类，以比较为基础，通过比较识别出研究对象之间的相同点和差异点，然后，根
据相同点将数学对象归并为较大的部分，根据差异点将数学对象归并为较小的部分，从而将
数学对象区分为具有一定从属关系的等级类别。
4、数形结合思想
81《数学》三色速记手册
5、化归思想
解数学题的主要思想过程是化归。通过化归，应该使要解决的问题由难变易，或者变为已经
解决过的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另一数学分支中的问题，以利于问题的解
决。
二、教学中渗透数学思想方法的途径
1、挖掘隐藏于知识中的数学思想方法
2、注重将“方法”提升到“思想”的层面
3、在问题解决方法的探索中激活数学思想方法
4、在知识总结归纳的过程中概括数学思想方法
【考点八】数学化教学
一、数学化教学的概念
人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界
的种种现象，从客观世界的对象及其关系中抽象并形成数学的概念、法则和定理，以及为解
决实际问题而构造出数学模型的过程，就是一种数学化的过程。
二、数学化教学的步骤
步骤一是将现实世界问题模型化为数学问题；
步骤二是在数学范围内解决数学问题，产生数学问题的结果；
步骤三是带着数学问题的结果回到现实世界中去检验、解释、预测，并解决新的问题。
82《数学》三色速记手册
第四部分 教学技能
【考点一】教学设计的基本环节
数学教学目标的构成—模板
1、知识与技能
2、过程与方法
3、情感态度与价值观
知识与技能目标
（学生）了解___（如概念），理解___（如公式推导的过程、算理、含义），掌握___（如计
算方法，公式），能够应用___解决实际问题。
过程与方法目标
（学生）在自主探究，小组讨论交流___（某【考点】）的过程中，提高发现问题，提出问题
分析问题和解决实际问题的能力，培养数学思维。
情感、态度与价值观目标
通过对___（某【考点】）的探索，学生的数学兴趣（学习数学的兴趣/积极性）得以提高（增
加），能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活（数学与生活的密切联系/数学的美/图
形的美）。
教学重点：（学生）了解___（如概念），能够应用___解决实际问题。
教学难点：理解___（如公式推导的过程、算理、含义），的推导或证明过程。
教学过程
教学反思
教学反思，是教师对自己教学活动的回顾、检验与认识，本质上是对教学的一种反省认知
活动。
教学反思的内容
1、对教学设计的反思
2、对教学过程的反思
3、对教学效果的反思
4、对个人经验的反思
教学反思的方法与步骤
1、截取课堂教学片段及其相关的教学设计
2、提炼反思的问题（案例问题）
3、个人撰写反思材料
4、集体讨论
5、个人再反思，并撰写反思论文
教学设计的内容大体包括以下几个方面
1、教材分析
a.本节的作用和地位
b.本节的主要内容
c.重点、难点分析
83《数学》三色速记手册
2、学情分析 3、教学目标
4、教学理念 5、教学策略
6、教学媒体 7、教学过程
8、教学反思
【考点二】课堂导入技能
导入的作用
有效的课堂导入能够牢牢吸引学生的注意力，使学生迅速进入课堂角色；可以强烈地激发学
生的学习兴趣和求知欲，使学生迅速做好学习新知识的心理准备，并产生学习期待；能够使
学生明确学习目标，建立新旧知识之间的联系，营造和谐的课堂氛围等。
导入技能要遵循的原则
1、要具有针对性和目的性
2、要具有科学系统性
3、要具有启发趣味性
4、要具有操作简洁性
5、要有关联时效性
常见的导入方法
1、直接导入法
直接导入就是开门见山紧扣教学目标要求直接给出本节课的教学目的，以引起学生的有意
注意，诱发探求新知识的兴趣，使学生直接进入学习状态。它能提高学生自学的效率和质
量，适合条理性强的教学内容。
2、复习导入法
复习导入法即所谓“温故而知新”，主要是利用新旧知识间的逻辑联系，即旧知识是新知识
的基础，新知识是旧知识的发展与延伸，从而找出新旧知识联结的交点，由旧知识的复习
迁移到新知识的学习上导入新课。通过这种方法导入新课，可以淡化学生对新知识的陌生感，
使学生迅速将新知识纳入原有的知识结构中，能有效降低学生对新知识的认知难度。
3、趣味导入法
趣味导入就是把与课堂内容相关的趣味知识，如数学家的故事、数学典故、数学史、游戏、
谜语等传授给学生来导入新课。趣味导入可以避免平铺直叙之弊，可以创设引人入胜的学习
情境，有利于学生从无意注意迅速过渡到有意注意。
4、悬念导入法
悬念导入是教师从侧面不断巧设带有启发性的悬念问题，创设学生的认知矛盾，唤起学生
的好奇心和求知欲，激起学生解决问题的愿望来导入新课。这种导入类型能使学生由“要
我学”转为“我要学”，使学生的思维活动和教师的讲课交融在一起，使师生之间产生共振。
【考点三】课堂提问技能
课堂提问的原则
1、目的性原则
2、启发性原则
3、适度性原则
4、兴趣性原则
5、循序渐进性原则
6、全面性原则
7、及时评价性原则
课堂提问的类型
1、复习、回忆提问
84《数学》三色速记手册
教师在课堂上要提一些复习、回忆性的问题，为新的学习做好准备。另一方面，通过复习、
回忆提问，使新旧知识相互连贯，强化了所学知识，而且还能检查学生的复习情况。
2、理解提问
a.一般理解
学生学习了某一概念、定理、法则或公式后，能用自己的话对所提问题进行回答。
b.深入理解
要求学生能用自己的话讲述概念、定理、性质等的实质，要求学生对已知信息形式或结构做
出改变而不是简单的复述。
c.对比理解
把相似或相近的两个概念组合在一个问题中，要学生区别异同，达到更深入、更本质的理解。
3、应用提问
a.一般应用
会使用新知识解决一般性问题。
b.灵活应用
应用新知识解决较复杂的问题。
4、归纳提问
通过观察积累了一定的实际材料后，就可以进行归纳提问。
5、比较提问
比较提问是教师针对所研究的某一数学对象联系相近或相似的几个方面要学生研究它们的
异同的提问。
6、分析、综合提问
为了认识研究对象，把它分解成若干个不同的部分加以考查，这是分析；将分析出的各部分
再结合起来进行考虑就是综合。
7、评价提问
评价提问是要求学生对分析问题的理由是否充分、结论是否正确、方法的优劣等做出评价
性回答的提问。
【考点四】有效的数学教学
有效的教学设计
1、站在系统的高度设计教学
a.数学知识的本质要求 b.学生学习规律的要求
c.多维教学目标的要求
2、有效教学设计的环节：
a.问题和情境 b.初始问题的设置
c.解决问题的过程 d.学生活动
e.反思活动
【考点五】现代信息技术教学技能
多媒体技术教学是具有优越性的
1、有利于学生学习积极性的提高
2、有利于问题的探索和发现
3、有利于课堂教学质量的提高
运用多媒体教学时的注意事项
1、多媒体的辅助性
2、多媒体对教学内容的选择性
3、多媒体使用过程的适时性
85《数学》三色速记手册
【考点六】数学教育评价的功能
1、数学教育评价具有管理功能。
数学教育评价以国家数学课程标准为基础，评价的目的是为了实现国家数学课程标准的各
项要求，达到教育目标。
2、数学教育评价具有导向功能。
数学教育评价的导向功能实质是数学教育和教学上的指导意向作用。
3、数学教育评价具有调控功能。
所谓调控功能是指调节与控制教学的功能。
4、数学教育评价具有激发功能。
数学教育评价的激发功能建立在调控功能的基础之上。
5、数学教育评价具有诊断功能。
数学评价的诊断功能，是为了补救和改善。
【考点七】数学教学评价的类型
根据评价功能进行的分类
1、诊断性评价
诊断性评价是在教育活动开展之前或教育活动进行之中实施的，其作用是确定学生学习准备
情况，明确学生起点水平。
2、形成性评价
形成性评价也称过程性评价，是教学过程中为调节和完善教学活动而对学生学习结果所采取
的评价。
3、终结性评价
终结性评价也称为结果评价，是在某一相对完整的教育阶段结束后对整个教育目标实现的程
度做出的评价，一般在学期中或学期结束时进行。大家比较熟悉的期中、期末考试、毕业会
考及升学考试等均属此类。
根据评价标准进行的分类
1、相对评价
相对评价也称为教育常模参照评价，是在评价对象的群体中为了对每个个体在群体所处的相
对位置作出区分而进行的评价。从评价对象集合中选取一个对象（如考试的平均分）作为基
准，将余者与基准作比较，从而排出名次、优劣。
2、绝对评价
绝对评价也称为教育目标参照评价，是以教育目标为基准，对每一个评价对象达成目标的程
度作出的判断。在评价对象的集合之外确定一个客观标准，然后将每一个评价对象的发展状
况与这一客观标准相比较，判断其达到程度。
3、个体内差异评价
个体内差异评价也称为个人发展参照评价，是以评价对象自身状况为基准，就自身的发展情
况进行纵向或横向比较而作出的判断。
根据评价者进行的分类
1、自我评价
自我评价是指被评价者自己参照评价指标体系对自己的活动状况或发展状况进行自我鉴定。
2、他人评价
他人评价是指由其他有关方面的人员对评价对象所实施的评价。
86
