讲义答案_教资_33教资笔试历年真题汇总（科一+科二+科三）_科三真题_02高中科三各科电子资料包合集_数学（资料文档）_高中数学_05讲义书电子版-Z

目 录 第二章 高中数学课程标准 .................................................. 1 第三章 教学知识 .......................................................... 4 第四章 中学数学课堂教学设计 .............................................. 7 第二节 教学过程的设计 ................................................ 7 第五章 教学评价 ......................................................... 13 第六章 数学案例分析 ..................................................... 13学员专用 请勿外泄 第二章 高中数学课程标准 【经典例题】 一、选择题 1.【答案】C。解析：《普通高中数学课程标准（实验）》提出了五项基本能力，包括：抽象概括、推 理论证、数据处理、空间想象、计算能力。 2.【答案】D。解析：中国古代数学以实用为目的,直观性和机械化、程序化是它的的算法特点.所以 中国古代是有算法思想的.故选D。 3.【答案】A。解析：费尔马是微积分的先驱者，早在牛顿、莱布尼茨之前，他就提出用微分子法求 极大、极小的步骤，并给出求曲线围成图形的面积的方法。埃瓦里斯特ꞏ伽罗华（Évariste Galois，公元 1811年~公元1832年。从民国起至今，其中文译名为伽罗瓦的情况更多）是法国对函数论、方程式论和 数论作出重要贡献的数学家。 曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。费马建 立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。故选A。 4.【答案】A。解析：选修1－1的内容是：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 1－2的内容是：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。矩阵变换属于选修系列4的内 容。所以选A。 5.【答案】B。 6.【答案】D。解析：五种基本能力为空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理。 二、简答题 1．【参考答案】二分法求解方程近似解的适用范围：对于函数 y  f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足 f(a)ꞏ f(b) 0的函数. 步骤：给定精度，用二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤如下： 1）确定区间[a，b]，验证 f(a)ꞏ f(b) 0，给定精度； 2）求区间(a，b)的中点x ； 1 3）计算 f(x )：①若 f(x )=0，则x 就是函数的零点； 1 1 1 ○2若 f(a)ꞏ f(x )<0，则令b=x （此时零点x (a,x )）； 1 1 0 1 ○3若 f(x )ꞏ f(b)<0，则令a=x （此时零点x (x ,b)）； 1 1 0 1 4）判断是否达到精度； 即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4． 高中数学新课程中引入二分法的意义：首先，“二分法”简便而又应用广泛，它对函数没有要求，任 何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具。 其次，它体现现代而又根植传统，算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增 的内容安排在数学必修1中进行教学，“二分法”是数学教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数 知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”。再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼 近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可 以让学生感受“整体→局部”、“定性→定量”、“精确→近似”、“计算→技术”、“技法→算法”这些数学思想 发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值。 2．【参考答案】必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习 提供必要的数学准备。 中公教育学员专用资料 1 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高 数学素养奠定基础。其中，系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，系列2 则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1、系列2内容是选修系列课程中的基 础性内容。系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内 容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发 展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。 3.【参考答案】高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本 的内容，是培养公民素质的基础课程。高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系， 认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和 创新意识具有基础性的作用。 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。高 中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形 成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。 4.【参考答案】（1）选择性是整个高中课程的基本理念，也是本次高中课程改革的最大变化之一。 高中阶段是培养学生选择能力的最佳时期。新的高中课程方案提出了在高中阶段培养学生的人生规划能 力的目标。学会选择正是培养学生人生规划能力的需要。在数学教学大纲中，将普通高中的课程分为必 修课和选修课两部分，设置了文科系列和理科系列的课程。在新课程标准中，加大了培养选择性的力度， 这是本次课程改革最大的变化之一。 （2）高中数学课程中选修课的设置体现了选择性。新课程标准中将高中数学课程知识内容分为必 修和选修两大部分。对于选修部分，包括4个系列。系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展 的学生而设置的；系列2则是为了那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。除此之外，为对 数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置了系列3和系列4。 高中数学课程中选修课的设置就是希望从不同的角度激发学生学习数学的兴趣，帮助学生发现、培 养自己的兴趣、特长，希望数学能为学生的发展提供帮助，这是高中数学新课程的最高追求。 5.【参考答案】在普通高中课程标准中规定 必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学 准备。 选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高 数学素养奠定基础。 在仔细研读课程标准以及普通高中教材结合自身的教学经验，我认为确定教学内容的依据 数学课程标准、单元目标和具体数学知识点三者的结合。确定教学内容时，特别要注意以下三点： 一是数学知识的主要特征。一个数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择该数学知识点最本质 的东西作为教学的重点 二是学生的需要。确定知识点的教学内容也不是由教材一个要素决定的，还涉及到学生认知发展 阶段性的问题。因此也不可能是教材有什么我们就教什么、学什么，我们只能选择教材内容与学生认知 发展相一致的内容作为教学内容。 三是编者的意图。编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。数学例题以及课后练习 题的重要性在数学课程中要远远高于其他学科，因为数学例题以及练习题是数学课程内容建设一个不可 或缺的组成部分。在其他课程中，练习题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教 学手段，对课程本身并没有很大影响。但数学课不是这样，数学课“教什么”在相当程度上是由练习题或 明或暗指示给教师的。 6.【参考答案】了解即为再认或回忆认识，识别、辨认事实或证据，能够举出例子，并能够描述函 中公教育学员专用资料 2 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 数的奇偶性。“了解函数的奇偶性”的含义：学生能够知道函数奇偶性的定义，奇函数定义域关于原点对 称，函数图像关于原点对称，满足 f(x)f(x)；偶函数定义域关于原点对称，函数图像关于y轴对 称，满足 f(x) f(x)。能够通过解析式或图像判断函数的奇偶性，那些函数是奇函数，那些函数是偶 函数，以及非奇非偶函数。并能够举出一些函数奇偶性的例子。 7.【参考答案】（1）学生在学习数列这一章的时候应该掌握数列的概念，等差数列、等差数列的通 项公式及前n项和，等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和。在设计题型的时候，考查的知 识点应包括以上知识点，达到全面性，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度； （2）题型练习多样化，可以设置选择、填空、判断、解答多种形式；试题的难度要有梯度，照顾到 不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作。 （3）题目设置在检测学生掌握本章知识的基础上，应有对重难点、易错点的考查。比如说“倒序相 加法”“错位相减法”“裂项相消法”。 8．【参考答案】见解析． 解析：评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学， 应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系．对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注 他们学习的过程；要关注学生学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助 学生认识自我，建立信心．对于课程标准提出的评价理念可以从以下三个方面理解． （1）评价目标多元化 新课程提出多元化的评价目标，评价的对象既包括学生，也包括教师．以往的评价更多的关注学生 的成就，关注学生的表现，忽视对教师教学过程的评价．通过教学过程和学生学习状况的考查，不只是 看学生的表现，还促使教师认识教学中存在的问题，及时改进教学方式，调整教学进度和教学目标． （2）评价内容多维性 数学课程的总体目标，对义务教育阶段学生的数学素养提出四个方面的具体要求，包括知识与技能、 数学思考、解决问题、情感与态度．评价的具体内容应围绕这些方面展开，形成多维度、全面性的评价 内容体系．对不同内容的评价可以通过设计反映不同内容的问题，如对某一方面知识与技能的评价；也 可以在综合的问题情境中进行评价，如在一项调查活动中，对知识的理解与运用、学生解决实际问题的 能力以及学生参与投入的态度进行评价；还可以通过对学生平时学习情况的考查来评价． （3）评价方法多样化 评价中应针对不同学段学生的特点和具体内容的特征，选择恰当有效的方法．对学生知识技能掌握 情况的评价，应当将定量评价和定性评价相结合，结果评价与过程评价相结合．不同的评价方法在教学 过程中起着不同的作用，不能希望一种评价方法会解决所有的问题．封闭式的问题、纸笔式的评价可以 简捷方便的了解学生对某些知识技能的掌握情况，而开放式问题、综合性的、在丰富的情境中的评价有 助于了解学生的思考过程和学习过程． 9．【参考答案】见解析． 解析：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响．数学课程 的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实 效．要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信 息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入 到现实的、探索性的数学活动中去． 在数学教学中信息技术可以结合其他多种教学手段，并能起到互补的作用．如不借助信息技术的情 况下去利用创设情境的方式去模拟实际情境，学生可能很难想象出相应的实际情景，这里就可以结合信 息技术手段直接呈现图片或视频；或者在处理图形的动态变化时，如仅通过板书的形式一步步变化，一 中公教育学员专用资料 3 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 是作图比较繁琐，二是连贯性不强，这里就可以结合几何画板等工具直接呈现． 第三章 教学知识 【高中经典例题】 1.【参考答案】本学段对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以本学段的知 识与技能目标为标准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。应当强调的是，学段目标是 本学段结束时学生应达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着数学知识与技能的积累 逐步达到。对此，教师可以选择推迟作出判断的方法。如果学生自己对某次测验的答卷觉得不满意，教 师可鼓励学生提出申请，并允许他们重新解答。当学生通过努力，改正原答卷中的错误后，教师可以就 学生的第二次答卷给以评价，给出鼓励性的评语。这种“推迟判断”淡化了评价的甄别功能，突出反映了 学生的纵向发展。特别是对于学习有困难的学生而言，这种“推迟判断”能让他们看到自己的进步，感受 到获得成功的喜悦，从而激发新的学习动力。 评价应结合实际背景和解决问题的过程进行，对概念、公式和法则的评价应当更多地关注对知识本 身意义的理解和在理解基础上的应用。 对数与代数学习的评价，应主要考察学生对数与运算意义的理解和应用。包括以下几个方面：能否 运用数与计算的知识描述并解决实际问题；是否能够运用合理的计算策略正确地进行运算；是否有对计 算结果进行估算和验算的习惯；能否有效地利用计算器探求规律。 对空间与图形学习的评价，应结合具体的情境，评价学生对图形基本性质的认识和空间观念的发展。 如，针对“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”这一目标，教师可以设计如下问题。 例如：A，B，C 三个侦察员，从三个方位观察一间房子，分别标出 A，C 两个侦察员看到的情形， B呢？ 对统计和概率学习的评价，重点应放在考察学生是否理解各种统计图表的特征和统计量的意义，能 否选择适当的统计图表和统计量来表达数据，是否体会事件发生可能性大小的意义等。而纯粹的计算题， 如计算给定数据的平均数不应当成为评价的主要内容。 2.【参考答案】 数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如，函 数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根 据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺旋上升是 指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求。 例如，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关 系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。因此，教材对 函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。依据内容标准的要求，教材可以将函数内容 的学习分为三个主要阶段： 第一阶段，通过一些具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系。从学生已掌握的具体函数和 中公教育学员专用资料 4 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函 数的一般概念。 第二阶段，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。引导学 生不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界 的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。 第三阶段，鼓励学生运用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变 化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等，在这个过程中反复体会函数的概念，才能真正掌握，灵 活应用。 3.【参考答案】平面向量是高中数学引入的一个新概念。利用平面向量的定义、定理、性质及有关 公式,可以简化解题过程,便于学生的理解和掌握。 向量运算可以提高学生针对数学运算的理解层次，学生从最初接触运算都是数与数之间的运算，而 加入向量运算之后，向量运算涉及的数学元素更高，比如说实数、字母、甚至向量，甚至还可以把几何 图形加入运算当中，这本身是对数学层次更大的一个提高。而且向量运算对数学的思想也体现的比较多， 比如在解析几何当中，或者是在平面几何当中，向量应用确实很方便，一个运算既有代数意义又有几何 意义，但是到了立体几何时，我觉得向量运算仅仅就变成算术了，算术对立体几何本意是没有一点想像 的，就是它到底让学生重点掌握什么，掌握运算还是掌握思维和想像。 一、向量在代数中的应用 根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。这样复数的 加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数 事实上已没有太多的实质性内容。因而变选学内容也就不难理解了。另外向量所建立的数形对应也可用 来证明代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数学模型，可以较灵活地给出证题方法。 二、向量在三角中的应用 当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是 平面向量。利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的， 这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定 理的证明：只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论， 它比用综合法提供的证明要简便得多。 三、向量在平面解析几何中的应用 由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且 向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着 一种天然的联系。平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条 线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；用直线的方向向量（a , b ）表示直线 方向比直线的斜率更具有一般性，且斜率实际是方向量在 a = 0时的特殊情形。另外向量的平移也可用 来化简二次曲线，即通过移动图形的变换来达到化简二次曲线的目的，实际上与解析几何中移轴变换达 到同样的效果。 四、向量在几何中的应用 在解决几何中的有关度量、角度、平行、垂直等问题时用向量解决也很 方便。特别是平面向量可以推广到空间用来解决 立体几何问题。例如在空间直线和平面这部分内容中， 解决平行、相交、包含以及计算夹角、距离等问题用传统的方法往往较为繁琐，但只要引入向量，利用 向量的线性运算及向量的数量积和向量积以后，一切都归结为数字式符号运算。这些运算都有法则可循， 比传统的方法要容易得多。 总之，平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法代替传统教学方法已成为现代数学发展的 必然趋势。向量法是一种值得学生花费时间、精力去掌握的一种新方法，学好向量知识有助于理解和掌 握与之有关联的学科。 因此在中学数学教学中加强向量这一章的教学，可以更好地为学习其他知识做必要的准备。但传统 教学思想对向量抵触较大，许多教师认为向量法削弱了学生的空间想象能力，且学生初学向量时接受较 中公教育学员专用资料 5 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 为困难，这就要求我们不断探索，找出最佳的教和学的方法，发挥向量的作用，使向量真正地成为现代 数学的基础。 4.【参考答案】（1）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、 联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。简言之， 演绎推理是由一般到特殊的推理。 （2）合情推理：例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于求与圆在形状上都有类似的地 方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球 也可能具有。圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类比：对于球，我们 推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点 确定一个圆，类比：猜想空间中不共面的4个点确定一个球等等。 演绎推理:三角函数都是周期函数， 是三角函数，因此 是周期函数； tanα tanα 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由 一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理 在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。就数学而言，演绎推理是证明数 学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合 情推理与演绎推理是相辅相成的。 【经典例题】 1.【参考答案】数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，所以表现在以下几个方 面： （1）表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律，空间几何的一些证明。 （2）表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是 抽象的，并且大量使用抽象的符号。如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。 （3）它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。数学的抽象是逐级 抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质 的。 （4）高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须 要以具体为基础。 （5）数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会有关的数学术语和符 号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。同时数学有它的精确性，每个数学 概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论错对分明，因此数学阅 读要求认真细致，同时必须勤思多想。 2．【参考答案】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形；定义方式：关系定义（属概念加 种差定义法）；实数的定义：有理数和无理数统称实数；定义方式：外延定义法。 3.【参考答案】数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，所以表现在以下几个方 面： （1）表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律，空间几何的一些证明。 （2）表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是 抽象的，并且大量使用抽象的符号。如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。 （3）它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。数学的抽象是逐级 抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质 的。 中公教育学员专用资料 6 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 （4）高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须 要以具体为基础。 （5）数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会有关的数学术语和符 号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。同时数学有它的精确性，每个数学 概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论错对分明，因此数学阅 读要求认真细致，同时必须勤思多想。 第四章 中学数学课堂教学设计 第二节 教学过程的设计 【高中经典例题】 1.【参考答案】（1）问题情境：某种细胞在分裂过程中，每20 分钟分裂一次（一个变两个），那么 经过3个小时，这种细胞由一个可以繁殖成多少个？ 解析：这是个等比数列模型，公比为2，3个小时分裂的次数为9次，如果设a 1，那么9次分裂 1 a 后得到 。 10 解：因为该细胞分裂的过程成等比数列，公比q2，a 1，则由等比数列通项公式得a 2n1， 1 n 所以a 2101 29，即3个小时后这个细胞繁殖成29个。 10 讨论反思：对于等比数列问题，要明确公比，首项，以及所求项的下标。例如，本题中，分裂9次 a 后所得项为 。再利用等比数列通项公式求解。 10 （2）探究题： 某种细胞分裂过程中，每20的分钟分裂一次（一个变两个），如果加入某种药品，会使影响细胞的 分裂速度，每克药量会使细胞的死亡率达到20%，药效仅持续10分钟，每20分钟放一次药，每次放入 一克。 问：①现在有10个这样的细胞，问3个小时后还有多少细胞？ ②照此速度，该细胞能否全部死亡，请说明理由？ 备注：利用等比数列知识解决的实际问题一般有生产总值增长率问题、细胞分裂问题、银行利率问 题。 2．【参考答案】(1)实例一：自由落体运动铁球从500米高处自由落体，距离地面高度h随时间t变 1 化的规律是 h 500 gt2 ，（ g 10m/s2 ）。这里，铁球落地时间 t 的变化范围是数集 2 A{t|0t 10}铁球距地面的高度h的变化范围是数集B {h|0h500}。 实例二：气温变化图 中公教育学员专用资料 7 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 根据图中曲线可知，时间的变化范围是A{t|1t 12}，气温的变化范围是B {s|15 s30}， 并且对于数集A中的每一个时刻，在数集B中都有唯一确定的气温与之对应。 实例三：恩格尔系数变化表 年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 城镇居民家庭 48.6 46.2 44.5 41.9 39.2 37.9 恩格尔系数 设计意图：以上三个实例中变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应.例子的选取来自生活，体现出数学来源于生活并应用 于生活，同时也易于学生理解。三个例子呈现出三种函数的表达形式即：解析式法，图像法和列表法。 （2）例题一：判断下列哪一个不是函数？ A. f ( x)  x B. f(x)x C. f(x)|x| D. f (x)0 例题二：下列函数中哪一个与函数y  x相等？ x2 A.y ( x)2 B.y3 x3 C.y x2 D. y  x 设计意图：例题一针对函数的定义中所强调对应关系，可以多对一，可以一对一，但是不可以一对 多.例题二重点突出函数的三要素即定义域，值域和对应法则。在概念教学中，需要教师引导学生从不同 侧面去认识概念，全面把握概念的本质。 （3）高中函数概念与初中概念相比更具有一般性．实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质 上是一致的．不同点在于，表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法．初中虽然没有明确定义域、 值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点．与初中相比，高中引入了抽象的 符号f（x）．f（x）指集合B中与x对应的那个数．当x确定时，f（x）也唯一确定．另外，初中并没有 明确函数值域这个概念． （另附初中建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的 每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量．这 个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系． 高中函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数，记作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相 对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f（x）|x∈A 叫做函数的值域．） 教学重点：在研究已有函数实例的过程中，感受在两个数集 A，B 之间所存在的对应关系 f，进而 用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．然后再进一步理解它． 教学难点：对抽象符号y＝f（x）的理解． 教学重难点设置理由：函数是中学数学的核心概念，而函数概念的核心是“对应”，正确理解函数的 概念是基础。从具体到抽象才符合学生在学习的过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。抽象 中公教育学员专用资料 8 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 符号在数学中广泛使用，因此对于它的理解是难点也是重点。 3.【参考答案】 （1）向量是沟通代数与几何的桥梁，为研究几何问题提供了新的工具和方法，同时对更新和完善中 学数学知识结构起着重要的作用。向量集数、形于一身，有着极其丰富的实际背景。 （2）教材按照从抽象到具体的认知过程，通过实际模型（或物理模型），形成概念，使学生在材料 的基础上获得对向量概念的直观感知，并上升到对向量概念及实际背景的理解。 （3）教学目标： ①知识与技能：通过实例分析，形成平面向量的概念，了解向量的实际背景，理解平面向量的几何 表示，理解向量相等与共线的含义。 ②过程与方法：引导发现与讨论相结合，通过学生互动参与到课堂教学活动中，通过联系、类比的 方法研究向量。 ③情感、态度与价值观：通过对向量和数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，意 识到数学来源于生活。 重点：理解向量的概念，向量的几何表示、向量相等与共线的含义。 难点：向量、向量共线与相等概念的形成过程。 （4）教学片段： 师：同学们，老师问大家一个问题，在物理中，力有什么特点？ 生：有大小，有方向。 师：在物理中，我们学到力是既有大小又有方向的量，同学们还能举出其他的例子吗？ 生：位移、加速度 师：路程和位移是一回事吗？ 生：不是，路程没有方向。 师：在物理中，我们把这些既有大小又有方向的量叫做矢量。在数学中，我们把这种既有大小，又 有方向的量叫做矢量，而把那些只有大小没有方向的量叫做标量。 4.【参考答案】 （1）我更赞同第二种方案，理由如下： 本节课定位为“基本不等式”的起始课，它是在学生已经系统地学习了不等式关系和不等式性质， 掌握了不等式性质的基础上进行教学的。学生对于“基本不等式”还处于初步感知阶段，不能一步就理解 如何实现基本不等式在求解简单最大（小）值当中的应用，因此，在“基本不等式”的起始课当中，应当 先让学生结合基本不等式的背景和意义进行自主探索，了解不等式的证明过程，加深印象及存在原因后 再学习应用会更好。 从新课程标准的要求出发，高中数学课程标准是指导教师进行课程安排、课程设计难易度的标尺， 高考阶段的要求也是依据新课程标准来制定的，数学必修5当中，高中数学课程标准明确说明，基本不 ab 等式 ab (a,b0)在开始阶段，应将探索并了解基本不等式的证明过程放在重点位置。 2 从教材的编写来看，在基本不等式的这节一开始，是以北京召开的第 24 届国际数学家大会的会 标为问题的背景，提问学生“你能在这个图中找到一些相等关系或不等关系吗？”利用面积间存在数量关 系，抽象出不等式 a2 b2  2ab ，并在此基础上，从三个角度引导学生认识、证明不等式 ab ab (a,b0)，在之后的例题应用当中，才提及“基本不等式”在解决实际问题当中是解决最大（小） 2 值问题的有力工具。 因此，从这三点来看，基本不等式的起始课的教学重点应该采用第二种方案，即强调基本不等式的 中公教育学员专用资料 9 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 背景、过程及意义，将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为教学重点。 （2）a2 b2  2ab的几何解释是：大正方形的面积大于四个三角形的面积和，当且仅当a b时， 等号成立（即正方形的对角线将正方形分成4个等腰直角三角形，正方形的面积等于四个等腰三角形的 面积和）。（如图所示） a b  ab 的几何解释是：以ab为直径的半圆，在直径 AB 上任一点 C，过 C 作直径 AB 的 2 垂线与半圆交于 D点。由射影定理可得 CD ab ,由图示显然可得CDOD（即一个圆的半径大于 a b 等于垂直该直径的弦的一半），即得  ab 。 2 ab （3）从“数及其运算”的角度看， 是两个正数a，b的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是 2 ab 长为a、宽为b的矩形面积， 就叫做两个非负数a，b的“几何平均数”。因此，不等式中涉及的是 代数、几何中的“基本量”，而且有多种等价形式。 代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在 对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式。 几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角 三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；…… 函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数y 1 ，y x， yx2 等学生最 x 熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作 曲线y x的切线，切线方程为y  1 x1，曲线y x总位于切线的下方，故有， x ≤ 1 x 1。 2 2 a 令x  ，代入化简即得重要不等式。 b 也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画图可 看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（A，A）的那条曲线，这时c=A2， 2 x y 于是xy≤  。  2  中公教育学员专用资料 10 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 ab 另外，掌握最简单的形式 ab  (a,b  0)，推广到三维，再推广到多维形式，就是n个正数 2 的几何平均值不大于算术平均值的定理。 abc 三维形式：对于三个正数a,b,c，有  3 abc ，当且仅当abc时，等号成立。 3 多 维 形 式 ： 若 a,a ,a ,,a R , 则 a a a a  n aa a 当 且 仅 当 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 n a a a a 时，等号成立。 1 2 3 n 认识“基本”二字，是学习基本不等式这一节内容的前提，事实上，该不等式反映了实数的两种基本 运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由 此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。因此，必须从基 本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。 5．【参考答案】 （1）实例：假设有地区高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人．此地区教育部为了了 解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取 1%的学生进行调查．你认 为应当怎样抽取样本？ 分层抽样的实施步骤如下： ①根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层； n ②根据总体中的个数N和样本容量n计算抽样比k  ； N ③确定第i层应该抽取的个体数目n Nk（N为第i层所包含的个体数），使得各n 之和为n； i i i i ④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本。 设计意图：通过对实例的探究，引导学生体会：①不同的年龄阶段，影响近视的因素是不一样的， 利用简单的随机抽样不具有代表性。所以调查者应利用事先掌握好的各种信息对总体进行分层，这可以 保证每一层一定有个体被抽到，从而使样本更具有代表性．②对小学、初中、高中抽样个数的探究，体 会含有个体多的层，在样本中的代表也应该多，即样本从该层中取的个体数也应该多。这样的样本才更 具有代表性。 在整个的探究过程中，根据简单随机抽样和系统抽样的基础，提升学生对分层抽样的理解．感受分 层抽样的必要性以及它的特点。 通过实例以及问题的引导，提高学生对分层抽样步骤的理解。提升对分层抽样适用范围的理解。 （2）①简单随机抽样： 优点：操作简单易行。 缺点：适合总体个数较少，当总体个数较多时，不快捷．“搅拌均匀”也比较困难，容易导致样本的 代表性差。 适用范围：总体的个数不多时。 ②系统抽样： 优点：简单易行；当对总体结构有了一定的了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后 再抽样，可提高抽样效率；当总体中的个体存在一种自然编号（如生产线上产品的质量监控）时，便于 试行系统抽样法。 缺点：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差。 适用范围：总体个数较多时。 ③分层抽样： 中公教育学员专用资料 11 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 优点：根据总体几个部分的明显差异，按照比例进行抽取样本，样本的代表性高。 缺点：总体的几个部分差异不明显时，不适合使用分层抽样．分层抽样需要和简单随机抽样或系统 抽样方法结合使用。 适用范围：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。 6.【参考答案】 （1）教学目标： 知识与技能：理解对数的概念和意义，能说出对数与指数的关系，掌握对数式与指数式的互化转化； 过程与方法：通过事例认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过观察分析得出对数的概念及 对数式与指数式的互化，增强类比、分析、归纳能力。 情感态度与价值观：在学习对数概念的过程中，培养探究意识；理解指数与对数之间的内在联系， 增强分析、解决问题的能力。 （2）教学重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。 教学难点：对数概念的理解。 （3）用多媒体展示细胞分裂的视频：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，由2个分成4个……。 一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系式可表示为y=2x。 提问：①经过多少次分裂后，细胞的个数为256？ ②如果已知细胞个数为N，如何求分裂次数呢？ 教师进行总结归纳学生的回答，引入与指数函数有着密切关系的函数模型—对数函数。 7.【参考答案】 定理学习的一般环节： （1）介绍定理的背景或特殊情形。 例如在讲解二项式定理前这样开始：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=______，(a+b)4=______，… （2）了解定理的内容，理解定理的含义，认识定理的条件和结论，能够解决什么问题。 二项式定理为：(ab)n C0anC1an1bCkankbk Cnbn(nN*)，该定理给出两个数之和的整数次 n n n n 幂展开为类似项之和的恒等式。 （3）定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材 料体会定理规定的合理性。 二项式定理的证明：(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分 步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是an-kbk（k=0, 1, …, n）的形式，对于每 一项an-kbk，它是由k个(a+b)选了b，n－k个(a+b)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个b的组合数Ck ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。 n （4）熟悉定理的使用。循序渐进地应用定理，将定理纳入到已有的知识体系中去。 二项式定理的公式特征： ○1项数：共有 n+1 项。○2次数：字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0； 字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n。各项的次数都等于 n。○3 二项式系数: 依次为 C0,C1,C2,,Ck,,Cn ，这里Ck(k0,1,,n)称为二项式系数。○4二项展开式的通项：式中的 n n n n n n Ckankbk 叫做二项展开式的通项，用T 表示。即通项为展开式的第k+1项：T =Ckankbk 。 n k+1 k+1 n （5）引申和拓展定理的运用。 1 利用二项式定理解决问题。例：求(2 x )6 的展开式。 x 中公教育学员专用资料 12 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 第五章 教学评价 【经典例题】 1.【参考答案】数学学习评价，既要关注学生数学知识与技能的理解和掌握，也要关注学生学习数 学的情感与态度；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习数学过程中的变化和发展；另外 评价是与教学过程并行的同等重要的过程，评价提供的是学生强有力的信息，教师要及时给予学生指导 和反馈，促进学生改进.评价还应体现以人为本的思想，构建个体的发展.具体地说，对学生数学学习过程 评价应关注以下几个方面： （1）评价学生在学习过程中表现出来的对数学的认识、数学思想的感受、数学学习态度、动机和兴 趣等方面的变化，评价学生在学习过程中的自信心、勤奋、刻苦以及克服困难的毅力等意志品质方面的 变化.注重学生数学学习的积极情感和良好学习品质的形成过程. （2）评价学生能否理解并有条理地表达数学内容，是否积极主动地参与数学学习活动，是否愿意和 能够与同伴交流、与他人合作探究数学问题.注重学生参与数学学习，和同伴交流、合作的过程. （3）评价学生在学习过程中是否肯于思考、善于思考，能否不断反思自己的数学学习过程，并改进 学习方法.注重学生思考方法和思维习惯的养成过程. （4）评价学生从实际情境中抽象出来的数学知识以及应用数学知识解决问题的意识和能力.（举例 略.） 2.【参考答案】教师、家长、学生、社会；意义：（1）强调评价过程中主体间的双向选择，通过勾 通和协商，能够关注评价结果的认同问题。（2）通过加强自评、互评，能使评价成为教师、管理者、学 生、家长共同积极参与的交互活动。（3）增进双方的了解和理解，形成积极、友好、平等和民主的评价 关系，进而使评价者在评价过程能中有效地对被评价者的发展过程进行监控和指导，帮助被评价者认同 评价结果，最终促进其不断改进，获得发展。 第六章 数学案例分析 二、案例分析试题 【高中经典例题】 1.【参考答案】(1)对于幂函数的性质（单调性、奇偶性）不熟悉，导致a+1<1-2a；分类讨论不全面， 导致遗漏两种情况。 (2)由题意可得函数 f  x   x2 ,xR，根据幂函数的图像和性质可知：函数 f  x  是偶函数且在第 一象限单调递减，在第二象限单调递增。 a10  1 ①12a 0 得：0a . 2  a112a  中公教育学员专用资料 13 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 a10  1 ②12a0 得： a2. 2    a112a  a10  ③12a0 无解.     a1 12a  a10  ④12a0 无解.  a112a   1 1  ∴a的取值范围是0,  ,2。  2 2  （3）数形结合思想、分类讨论思想、转换与化归思想。 2．【参考答案】      （1）学生1在解答过程中只关注了ab 与b 同向与反向时，在两个向量模长相等时a 与b 满足    的关系，但是忽略了ab 与b 两个向量不共线的情况。学生2在解答过程中虽然注意到向量模长的性 2    质即 a  aa。但是在化简过程中把向量的数量积与实数的乘法产生了混淆，忽略了向量数量积的性     质即ab  a  b cos其中为两向量的夹角。学生 3 在解答过程中忽略了向量数量积的性质即     ab  a  b cos其中为两向量的夹角。 （2）向量的线性运算不仅涉及向量的长度还涉及向量的方向。因此提出以下问题串引导学生思考 问题1：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样的运算法则呢？ 问题 2：三角形法则与平行四边形法则，两种方法在计算的过程中应根据向量的何种特征进行合理 的选择呢？   问题3：现在我们将a 与b 分两种情况进行讨论：①两向量共起点时，②两向量首尾相连时。对两   个向量进行减法的线性运算。现在大家动起手来一起在纸上画一画a 与b 满足何种位置关系时候，能    够使得 ab  b 。我们又可以借助那些特殊的图形对两个向量的位置关系进行描述呢？ 问题 4：两种情况最终都可以等腰三角形这样的图形进行概括描述，如：在等腰三角形 ABC 其中             AB=AC，另BCa，AC  b 则ab  BC AC  BA又AB=AC则 ab  b 中公教育学员专用资料 14 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25    那么接下来，大家继续借助等腰三角形ABC，在其基础上画出2 b 与a2b ，那么你可以发现什    么结论呢？继续画出2 a 与2ab ，那么你又可以发现什么结论呢？  结论：根据向量的线性运算法则以及在三角形内角与边长的性质：大边对大角。可以得出2b  。      a2b ，2 a 与2ab 的关系无法判断，则选A。 （3）向量元素与实数运算的本质区别在于，向量运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向。 向量的线性运算与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、结合律、分配律但是向量线 性运算结果为向量，实数的运算结果为实数。 向量的数量积与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、分配律且运算结果均为实数， 单实数的乘法满足消去律，向量的数量积则不满足。      在实数运算中若a 0且ab  0则b  0但在向量运算中若a0且ab 0则有两种情况b 0或   ab。 3．【参考答案】（1）三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些 相交关系中，你认为哪种相交最特殊？”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这 一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行” 的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。 教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显， 学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经 完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识 与方法的联系与借鉴等都很难觉察到。另外，“线面垂直”的说法不好，至少提出得太早。 另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好 情景。 教师丙的引导语“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其 他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学 什么”、“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。 （2）良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如 何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容； 如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。 4．【参考答案】（1）教师可以从以下几个方面引导学生进行解题反思：①引导学生自觉的检查自己 的思维活动；②反思自己是怎样发现和解决问题；③运用了哪些基本的思考方法和技巧；④走过哪些弯 路；⑤有哪些容易发生的错误；⑥错误的原因是什么；⑦应该记住哪些经验教训等。 （2）函数思想、数形结合思想. （3）上述教学过程对以后教学工作的启发： 值得我们学习借鉴的优点有：①要充分尊重学生的主体地位，引导学生主动思考，自主探究；②引 导学生进行解题反思；③评价主体的多元化。 不足之处有：①没有照顾到全体学生；②要发挥教师的主导作用。 5.【参考答案】（1）该教师的这种直接呈现偶函数定义的方法对抽象思维能力较高的学生较容易接 受，使之能够直接进入学习状态并对本节的学习内容有一个总的概念与基本的轮廓，但对于其他抽象思 维能力较差的学生学习有一定的困难.而且不符合新的教学理念，学生并没有参与到偶函数概念的形成 这个活动中来，体现其主体地位，教师也没有起到一个引导者的作用创设出学习偶函数概念的学习环境。 中公教育学员专用资料 15 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 对于偶函数的定义的讲授建议由具体的函数图像引入，通过观察图像的特点，学生自行归纳总结出 偶函数的定义.学生在这由具体到抽象，表象到概念的学习过程中其观察能力，抽象概括能力也得到相应 的提高。 （2）该教师的课堂提问违背了课堂提问的基本原则：①目的性原则与启发性原则.课堂提问应有效 的引导学生积极思考，启迪学生思维，而该老师的提问太过盲目没有针对性无法达到应有的课堂效果.② 适度性原则与循序渐进原则.课堂提问的涉及要考虑学生的认知顺序，遵循由浅入深由易到难的规律使 学生能够拾级而上从而深刻的理解偶函数的概念，而该老师的提问不符合现阶段学生的认知水平难度过 大.无法达到学习的预期效果，学生能力也无法得到相应的提高。 6.【参考答案】（1）教师1的教法方法是传统的教学方法，比较死板，没有认识到学生的认知水平， 没有考虑到学生之间的个体差异.优点是在一个例题结束后，教师布置一道练习题进行巩固练习.教师 2 的教学完全符合新课标下的教学方式，将课堂交给学生，以学生为主体，老师为主导，引导学生诱发思 考，循环渐进的启发学生，充分考虑到学生的个体差异，帮助学生打开思路.在课堂中，采用师生互动合 作的学习方式，并将学生解答方法展现在黑板上，最后让学生补充其他的解题方法，充分尊重每一个学 生的想法.但是这位老师的不足是在教学设计时没有考虑到用函数的方法解决此不等式，课前没有考虑 到解不等式的函数思想方法。 （2）教师 1 没有辩证的理解“预设与生成”的关系，只有“预设”、完全封闭、一切尽在“教师掌控之 中”的现象，没有结合学生的认知水平和学生间的个体差异，致使造成不适当的“生成”，缺乏教师引导的 责任，影响课堂教学质量。 教师2体现了对教学过程的“预设”，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教 学素材和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求.并把“预设”转化为实际的教学活动，在 这个案例的过程中，师生双方的互动“生成”一些新的教学资源，教师2能够及时把握，因势利导，适时 调整预案，使教学活动收到更好的效果.但是教师2不足的是没有仔细专研教材，忽略了用函数问题解答 此不等式，没有把本节课进行适当拓展和深化。 （3）构造函数 f x x  x9(0 x9)，则 1 1 1 92x  fx     ， 2 x 2 x9 2 x x9 令 fx0，则0 x 9 ； 2 令 fx0，则 9  x9. 2 可知当0 x 9 时，函数 f x 单调递增， 2 所以 f 2 f 3 ，即证 2 7 3 6 . 运用函数证明该不等式的方法，使我们意识到不等式与函数是紧密联系的，很多不等式问题往往有 相关的函数背景，可以利用函数的思想解决.另一方面可以培养了思维能力和逻辑推理能力。 7．【参考答案】 （1）甲教师引入的设计思路是温故知新，带着学生回忆初中在已知数系中遇到解决不了的问题时， 处理方法是引入新数来扩充数集。类比得出高中遇到实数范围内解决不了的问题，也应该想到引入新数 的方法来扩充数集，并解决问题，进而引入新课。这样做能够让学生通过复习旧知来获得解决问题的方 法，对学生解决问题的能力有一定的提高，但该教师的设计方案有些缺乏趣味性。 教师乙，采用数学史导入新课．这种导入既丰富了教材中的素材，又丰富了教学内容，同时激发了 中公教育学员专用资料 16 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 学生兴趣，调动了学生学习复数的积极性，引发了学生的数学思考。能使学生认识数学、理解数学最终 学好数学，体会到数学来源于生活，并应用于生活。有利于激活学生的思维，使学习变成一个生动活泼 的、主动的和富有个性的过程。 （2）复数三角表示法为Z  r(cosisin)(r  0)这样表示的意义如下：复数的三角表示法是彻 底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此， 做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的。 根据已经学习过的复数的另两种表示法：①代数表示法，即Z  abi(a,bR)；②几何表示法，  复数 Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量OZ 来表示。那么如果用复数 Z  在复平面上的向量 OZ 的模和辐角来表示，设其模为 r，辐角为，则得到三角表示法： Z  r(cosisin)(r  0)。 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化，转化关系如 b 下 ： r  a2 b2 ， tan ， arcos ， brsin ， 因 此 Z  abi(a,bR) 可 得 a Z  r(cosisin)(r  0)。复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连．否则不 是三角形式，三角形式中应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值。 8.【参考答案】 （1）教师应该区别对待学生提出的问题。首先，要判断学生问题的价值，依据价值性大小给与回 应。我们把与教学目标相关的问题都归为“正问题”，把偏离或背离教学目标的问题归为“负问题”。如本 案例中学生的提问“能否从等式右边推导出等式左边”这一问题便是“正问题”，对待“正问题”应该给与积 极回应。对学生提出的“负问题”，教师一方面可以启发引导，将其转化成“正问题”进行处理，一方面可 以采取“冷处理”的办法。其次，要依据问题的内容灵活进行，如师生互动讨论或生生小组讨论，也可以 学生的自行探究或课下解决。 （2）如果我是该教师我会将该问题作为一道思考题目，让学生进行小范围的讨论，最后对此三种解 题方式进行分析总结。具体实施方式如下： 问题 1：刚刚这位同学提出了一个很新颖的解题思路，那么我们可不可以从等式右边推导出等式左 边呢？大家同桌之间讨论一下，可不可以，又是如何推导的呢？ 我将在学生讨论的过程中，进行巡视并对有问题的学生加以指导，为了不耽误课堂进度，讨论时间 初步预设为3分钟。 提问，请学生进行结果展示   sin cos 2 2          (sin cos cos sin )(cos cos sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2             sin cos2 cos cos2 sin cos sin2 cos sin sin sin2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         sin cos (cos2 sin2 )sin cos (cos2 sin2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1  sin sin 2 2 ，结果得证。 提问：对比三种解决方法，各自的优点是什么？谈一谈你更倾向于用哪种方法解决问题？ 引导学生共同总结：在解决三角函数公式证明题的时候，①合理的选择诱导公式以及和差化积公式 中公教育学员专用资料 17 报名专线：400-6300-999资 源 公 众 学员专用 请号勿外泄 ： b ig u o 25 非常的重要，如：法三对于两角和差公式的反复运用，虽计算过程稍微复杂，但是方法更加的简单，容 易想到。②能够灵活的运用整体代换的思想方法快速解决问题，如：法一、法二可以精简计算过程，避 免计算出错。 中公教育学员专用资料 18 报名专线：400-6300-999