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§2.7 指数运算与指数函数
课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性
质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、
特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1.分数指数幂
(1)正分数指数幂
给定 数a和正 数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的 数b，使得 ，
则称b为a的次幂，记作b＝_____.这就是正分数指数幂.
(2)负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义 ＝_____＝____，这就是负分数指
数幂.
2.无理数指数幂
一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定a－α＝
____.
3.指数幂的运算性质
aαaβ＝ ；(aα)β＝ ；(ab)α＝ (a>0，b>0，α，β∈R).
4.指数函数及其性质
(1)定义：给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有 的正数y＝ax与之对应，
因此y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域
过定点 ，即x＝0时，y＝1
性质 当x>0时， ；当x<0时， 当x<0时， ；当x>0时，
_____ _____在R上是______ 在R上是______
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)2a·2b＝2ab.( )
(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )
(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( )
2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于( )
A．不确定 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的不等式x－4≥3－2x，则该不等式的解集为( )
A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4,1]
4．(2023·福州质检)＋0＋ ×－4＝________.
题型一 指数幂的运算
例1 计算：
(1)0.5－2× －2×0＋－2；
(2)2×3×.
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跟踪训练1 (多选)下列计算正确的是( )A.＝
B． ＝－9a(a>0，b>0)
C.＝
D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为( )
A．a＝b B．0<b<a
C．a<b<0 D．0<a<b
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________________．
跟踪训练2 (多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，
b的取值范围可能为( )
A．0<a<1，b<0 B．0<a<1,0<b≤1
C．a>1，b<0 D．a>1,0<b≤1
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例3 (2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则( )
A．c<b<a B．a<b<c
C．c<a<b D．b<c<a
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
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思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，
比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(－1,1)
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)为减函数
(2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值
为________．
