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§2.9 指、对、幂的大小比较
重点解读 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数
及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及
指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
例1 设 ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
答案 C
解析 因为函数y＝x为增函数，
所以 ，即ab>a.
命题点2 找中间值
例2 (2023·昆明模拟)设a＝ ，b＝ln－ln 3，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．c>a>b
C．c>b>a D．a>b>c
答案 B
解析 因为b＝ln－ln 3＝－＝＝<＝0，
而a＝ >0，c＝ >0，所以b最小．
又ln a＝ ＝<，ln c＝ ＝ln π>，
所以ln c>ln a，即c>a，
因此c>a>b.命题点3 特殊值法
例3 已知a>b>1,0bc，故A错误；
abc＝4× ，bac＝2× ，
∴abc>bac，故B错误；
log c＝log ＝－1，log c＝log ＝－2，
a 4 b 2
alog c＝－8，blog c＝－2，
b a
∴alog clog c，故C正确，D错误．
b a a b
思维升华 利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，
有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，
例如log 3，可知1＝log 2ln＝＝a，b＝ln1，所以a0，c>0，∴b>c；
∵＝1＋log 8<1＋log ＝1＋ ＝，∴c>，
5 5
∵＝log 6＝1＋log 3>1＋log ＝1＋ ＝，∴a<，
2 2 2
∴a0>b B．b>0>a
C．a>b>0 D．b>a>0
答案 B
解析 由3m＝4，得m＝log 4，
3
∵log 3－log 4＝－＝>＝＝>0，
2 3
∴log 3>log 4，
2 3
log 4－log 5＝－＝>＝＝>0，
3 4
∴log 4>log 5，
3 4
∴b＝4m－5＝ －5＝0，
a＝2m－3＝ －3＝0，
∴b>0>a.
命题点2 作商法
例5 已知a＝0.8－0.4，b＝log 3，c＝log 5，则( )
5 8
A．ab>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b答案 D
解析 因为53＝125> ＝81，所以5> ，
所以log 5> ＝，即a>c.
3
因为73＝343< ＝625，所以7< ，
所以log 7< ＝，即bc>b.
5
命题点4 对数法
例7 已知a＝2 023，b＝2 024，则a，b的大小关系为________________．
答案 a0)，
则f′(x)＝ln－，
令g(x)＝ln－(x>0)，
则g′(x)＝－<0，
可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又当x→＋∞时，f′(x)→0，
所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(2 024)>f(2 023)，即ab>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案 B
解析 因为a＝2100，
所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，
因为b＝365，
所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，
因为c＝930＝360，
所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c.
(2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z
C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y
答案 A
解析 令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，
则x＝log k，y＝log k，z＝log k，
2 3 5
所以＝＝·＝>1，则2x>3y，
＝＝·＝<1，则2x<5z.
所以3y<2x<5z.
课时精练
一、单项选择题
1．设 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．b>a>c
答案 D
解析 因为函数y＝x为减函数，
则00＝1，
因为函数y＝ 为减函数，
则c＝ ＝0，因此b>a>c.
2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log 2，b＝log 3，c＝，则下列判断正确的是( )
5 8
A．clog 4＝2log 2＝b，即c>b，
3 3 3 3 3 3
a－c＝log 3＋log 2－2>2－2＝2－2＝0，所以a>c，所以by>z B．y>x>z
C．z>x>y D．x>z>y
答案 A
解析 因为3x＝4y＝10，
则x＝log 10>log 9＝2,1＝log 4y>1，
3 3 4 4 4
从而z＝logyy>z.
x x
5．已知a＝log 2，b＝log 3，c＝sin ，则a，b，c的大小关系为( )
3 4
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．b＞a＞c
答案 D
解析 c＝sin ＝，因为函数y＝log x，y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，
3 4
则a＝log 2>log ＝，b＝log 3>log 2＝.
3 3 4 4
a－b＝－＝，
因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2＋ln 4>2 ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2＝(ln 3)2.
故aa>c. ⇒
6．已知log m＝，log n＝，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为( )
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A．p>m>n B．m>n>p
C．m>p>n D．p>n>m
答案 A
解析 由log m＝，得m＝ <2，
4
由log n＝，得n＝ ，
12
，因此2>m>n；
由0.9p＝0.8，得p＝log 0.8>log 0.81＝2，于是p>m>n，
0.9 0.9所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
7．已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>c>b D．a>b>c
答案 D
解析 令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8，
则f′(x)＝－ln x＋－1，
f′(x)＝－ln x＋－1在[8，＋∞)上单调递减，且f′(8)＝－ln 8＋－1＝－ln 8<－ln e2＝－
2<0，
所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[8，＋∞)上恒成立，
故f(x)＝(18－x)ln x在[8，＋∞)上单调递减，
所以f(8)>f(9)>f(10)，
即10ln 8>9ln 9>8ln 10，即ln 810>ln 99>ln 108，
所以810>99>108，即a>b>c.
二、多项选择题
8．若a＝log 5，b＝ ，c＝eln 2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为( )
4
A．a0 B．a<0 C．b>0 D．b<0
答案 BC
解析 由log m＝，可得m＝ >1，
2
因为 ，所以 ，
则a＝log m－< －＝0，A错误，B正确；
3
又因为 ，所以 ，b＝log m－> －＝0，C正确，D错误．
5
10．已知大于1的三个实数a，b，c满足(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0，则a，b，c的大
小关系可能是( )A．a＝b＝c B．a>b>c
C．b>c>a D．b>a>c
答案 ABC
解析 方法一 ∵三个实数a，b，c都大于1，
∴lg a>0，lg b>0，lg c>0，
∵(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0，
即lg a(lg a－lg b)＋lg b(lg c－lg a)＝0，
∴lg alg ＋lg blg ＝0，
对于A选项，若a＝b＝c，则lg ＝0，lg ＝0，能满足题意；
对于B选项，若a>b>c，则>1,0<<1，∴lg >0，lg <0，能满足题意；
对于C选项，若b>c>a，则0<<1，>1，∴lg <0，lg >0，能满足题意；
对于D选项，若b>a>c，则0<<1,0<<1，∴lg <0，lg <0，∴lg alg ＋lg blg <0，不满足题意．
方法二 令f(x)＝x2－2xlg b＋lg b·lg c，x>0，
则lg a为f(x)的零点，且该函数图象的对称轴为直线x＝lg b，故对于方程x2－2xlg b＋lg
b·lg c＝0，
Δ＝4(lg b)2－4lg b·lg c≥0，
因为b>1，c>1，所以lg b>0，lg c>0，
所以lg b≥lg c，即b≥c，
f(lg b)＝lg b·lg c－(lg b)2＝lg b(lg c－lg b)，
f(lg c)＝(lg c)2－lg b·lg c＝lg c(lg c－lg b)．
当b＝c时，f(lg b)＝f(lg c)＝0，
故lg a＝lg b＝lg c，即a＝b＝c；
当b>c时，f(lg b)<0，f(lg c)<0，
所以lg ac>a或a>b>c.
