文档内容
第6讲 对数函数
复习要点 1.通过具体实例，了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探
索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax(a>0，且
a
a≠1)互为反函数．
1．对数函数的图象与性质
a>1 0b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：∵a＝50.1>50＝1，b＝log 3＝log >0且b＝log 0，解得x<－1或x>3，根据复合函数的单
调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．
答案：(3，＋∞)
题型 对数函数图象的应用与探究
典例1(1)当 0< x ≤ 时， 4 x 4，解得a>，∴1时，直线y＝－x＋a与
当a≤1时，直线y＝－x＋a与两段函数都有交点，不合题意．
y＝log x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．故答案为(1，＋∞)．
2
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区
间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
对点练1(1)(多选)已知函数f(x)＝log (x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法
a
正确的是( )
A．－10
C．01，故C错误；令f(x)＝log (x－
ab)＝0，即x＝b＋1，所以函数f(x)的零点为b＋1，结合函数图象可知00，故B正确；因为0<|b|<1，所以log |b|b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
(2)设a，b，c均为正数，且 2 a ＝ log a ， b ＝ log b ， c ＝ log c，则( )
2
\f(1,2 \f(1,2
三组方程，都是指数函数和对数函数的交点，结合数形结合法，思考交点的位置．
A．alog 0.3＝1，所以
0.5 0.3 0.3
bb>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>c>a
(2)(2024·广东广州调研)设x ，x ，x 均为实数，且e－x ＝ln x ，e－x ＝ln(x ＋1)，e－x
1 2 3 1 1 2 2 3
＝lg x，则( )
3
A．x2＝2，所以a>b，因为f(x)＝log x，g(x)＝log x单调递
2 3 2 3
增，所以c＝log π＋log π>log 3＋log 2，所以c>a.故选B．
2 3 2 3
(2)画出函数y＝x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x1 ，所以 x ＝ . 故答案为 x＝.
对数方程、对数不等式，不可忽略真数大于0的限制条件．
(2)由题意知，①
或②
解不等式组①得f(log 8)的解集为________．
3
解析：(1)当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，∴0≤x≤1；当x＞1时，由1－log x≤2，得
2
x≥，∴x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞)．故选D．
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在
(0，＋∞)上单调递增，将f(log (2x－5))>f(log 8)化为|log (2x－5)|>|log 8|，即log (2x
3 3 3
\f(1,3 \f(1,3
－5)>log 8或log (2x－5)<－log 8＝log ，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或0 ，得 x >3 或 x <1 .
先求定义域，在定义域内思考复合函数的单调区间．
故函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令g(x)＝x2－4x＋3，
则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝log x在定义域上单调递减，
\f(1,2
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)不存在．理由如下：
令h(x)＝x2－2ax＋3， 要使 f ( x ) 在 ( －∞， 2) 上单调递增，应使 h ( x ) 在 ( －∞， 2) 上单调递
减，且恒大于 0 .
此两个条件，转化为关于a的两个不等式．
因此即此不等式组无解．
所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上单调递增．
求解对数型复合函数的单调性问题时，要注意在定义域的基础上，弄清楚复合函数的
构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，然后依据复合函数的单调性规律确定该函数的单调性．
对点练4(多选)(2024·湖南湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln x，a>0，则下列结论中正确的是(
)
A．函数y＝f(a＋x)－f(x)是其定义域上的减函数
B．函数y＝f(a－x)＋f(－x)是其定义域上的减函数
C．函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)是其定义域上的增函数
D．函数y＝f(a＋x)－f(a－x)是其定义域上的增函数
解析：对于A，因为函数y＝f(a＋x)－f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数y＝f(a＋x)－f(x)
＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以A正确；对于B，因为函数y＝f(a－x)＋f(－x)的定义域
为(－∞，0)，函数y＝f(a－x)和y＝f(－x)在(－∞，0)上单调递减，所以函数y＝f(a－x)＋
f(－x)在(－∞，0)上单调递减，所以B正确；对于C，因为函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)的定义
域为(－a，a)，函数y＝ln(a2－x2)是偶函数，所以函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)在(－a，a)上不可
能是单调函数，所以C错误；对于D，因为函数y＝f(a＋x)－f(a－x)的定义域为(－a，a)，
函数y＝f(a＋x)和y＝－f(a－x)在(－a，a)上单调递增，所以函数y＝f(a＋x)－f(a－x)在(－
a，a)上为增函数，所以D正确．故选ABD．
答案：ABD
维度4 对数函数性质的综合问题
典例5已知函数f(x)＝log [(m2 －1)x2＋(m＋1)x＋1]．
\f(1,2
(1)若m＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(3)若 f ( x ) 的值域为 R ，求实数m的取值范围．
转化为真数值域包含(0，＋∞)的一切实数，因此满足三个条件：①开口向上；②二次
函数与x轴有交点；③特殊情形，m＝1时，真数为一条直线，值域包含(0，＋∞)．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝log (－x2＋x＋1)，
\f(1,2
设真数u(x)＝－x2＋x＋1，
且要满足u(x)＝－x2＋x＋1>0，
即0 对一切实数 x 恒成
立．
不等式恒成立求参数，由参数出现的位置，展开对参数的讨论．①当m2－1＝0，即m＝±1时，
若m＝1，u(x)＝2x＋1，显然，只有x>－时，才有u(x)>0，不符合题意，∴m≠1；
若m＝－1，则u(x)＝1>0对一切实数x都成立，∴ m ＝－ 1 满足题意 ．
此特殊情形，即二次项系数为0，应重视．
②当m2－1≠0时，u(x)>0对一切实数x恒成立的充要条件是
开口向上，二次函数与x轴无交点．
即解得m<－1或m>.
综上，实数m的取值范围是(－∞，－1]∪.
(3)要使f(x)的值域为R，只需真数u(x)＝(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1的值域包含(0，＋∞)．
① 当 m 2 － 1 ＝ 0 ，即m＝±1时，若m＝1，则u(x)＝2x＋1，
二次项系数为零的特殊情形．
显然u(x)的值域包含(0，＋∞)，
∴m＝1满足题意；
若m＝－1，则u(x)＝1，不符合题意，∴m≠－1.
②当m2－1≠0时，
必有
开口向上，与x轴有交点，才满足值域包含(0，＋∞)．
即解得10，解得x>或x<－，∴f(x)的定义域为∪，又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln
－1＝－ln ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln ＝ln，令t＝1＋，t>0
且t≠1，∴f(x)＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln x为增函数，∴f(x)在上单调递减，
故C正确；易知f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
答案：ACD
