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第6讲 对数函数
复习要点 1.通过具体实例，了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探
索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax(a>0，且
a
a≠1)互为反函数．
1．对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图
象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过点(1,0)
在(0，＋∞)上 在(0，＋∞)上
单调性
单调递增 单调递减
函数值 当x＞1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0；
正负 当0＜x＜1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0
2.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的
a
图象关于直线 y ＝ x 对称．
常/用/结/论
如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故
0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．即第一象
限内“底大图右”．
1．判断下列结论是否正确．
(1)对数函数图象都过(0,1)．()
(2)对数函数图象都在y轴右侧．(√)
(3)函数y＝log x在区间(0,2]上的最大值是1.(√)
2
(4)函数y＝log x与y＝log x图象关于y轴对称．()
3
\f(1,32．若a＝50.1，b＝log 3，c＝log 0.8，则a，b，c的大小关系为( )
2 3
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：∵a＝50.1>50＝1，b＝log 3＝log >0且b＝log <log ＝1，c＝log 0.8<log 1＝0，
2 2 2 2 3 3
∴c<b<a.故选A．
答案：A
3．函数y＝ 的定义域是________．
\f(2,3
解析：由log (2x－1)≥0，得log (2x－1)≥log 1，所以0＜2x－1≤1，解得＜
\f(2,3 \f(2,3 \f(2,3
x≤1.故函数y＝ 的定义域为.
\f(2,3
答案：
4．(2024·吉林长春月考)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为________．
解析：设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调
递增，又由函数y＝lg(x2－2x－3)满足x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，根据复合函数的单
调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．
答案：(3，＋∞)
题型 对数函数图象的应用与探究
典例1(1)当 0< x ≤ 时， 4 x <log x，则a的取值范围是( )
a
超越不等式. 两个函数结构不属于同一类，则常采用数形结合法．
A． B．
C．(1，) D．(，2)
(2)函数 f ( x ) ＝ log | x | ＋ 1(0 ＜ a ＜ 1) 的图象大致为( )
a
有几个点应注意：①偶函数；②在(0，＋∞)上单调递减；③过特殊点(1,1)．
(3)已知函数f(x)＝且关于x的方程 f ( x ) ＋ x － a ＝ 0 有且只有一个实根 ，则实数a的取值
范围是________．即y＝f(x)和直线y＝－x＋a只有一个交点．
解析：(1)易知0<a<1，函数y＝4x与y＝log x的大致图象如图，
a
则由题意可知，只需满足log >4，解得a>，∴<a<1，故选B．
a
(2)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y轴对称．设g(x)＝log |x|，
a
先画出当x＞0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出当x＜0时g(x)的图
象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．故选
A．
(3)如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，
其中 a 表示直线在 x 轴、 y 轴上的截距． 由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与
当a≤1时，直线y＝－x＋a与两段函数都有交点，不合题意．
y＝log x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．故答案为(1，＋∞)．
2
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区
间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
对点练1(1)(多选)已知函数f(x)＝log (x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法
a
正确的是( )
A．－1<b<0 B．a＋b>0
C．0<a<1 D．log |b|<0
a
(2)已知f(x)＝lg x，作出函数y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y
＝f(x＋1)的图象．
(1)解析：由图象可知f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，故C错误；令f(x)＝log (x－
ab)＝0，即x＝b＋1，所以函数f(x)的零点为b＋1，结合函数图象可知0<b＋1<1，所以－
1<b<0，故A正确；因此a＋b>0，故B正确；因为0<|b|<1，所以log |b|<log 1，即log |b|
a a a
<0，故D正确．
答案：ABD
(2)解：
题型 对数函数性质的多维研讨
维度1 对数式的大小比较
典例2(1)(2024·河南洛阳模拟)若 a ＝ 0.5 0.3 ， b ＝ log 3 ， c ＝ log 0.2，则( )
0.5 0.3
先定符号，a，c插入中间量1.
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
(2)设a，b，c均为正数，且 2 a ＝ log a ， b ＝ log b ， c ＝ log c，则( )
2
\f(1,2 \f(1,2
三组方程，都是指数函数和对数函数的交点，结合数形结合法，思考交点的位置．
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
解析：(1)因为 0<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log 3<0，c＝log 0.2>log 0.3＝1，所以
0.5 0.3 0.3
b<a<c.故选D．
(2)因为a，b，c均为正数，将a，b，c分别看成是函数图象的交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系内分别画出y＝2x，y＝x，y＝log x，y＝log x的图象如图．
2
\f(1,2
由图可知a<b<c.故选A．
比较对数值大小的方法对点练2(1)(2024·重庆南开中学月考)若a＝log 3＋log 2，b＝2，c＝＋log π，则( )
2 3 3
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>c>a
(2)(2024·广东广州调研)设x ，x ，x 均为实数，且e－x ＝ln x ，e－x ＝ln(x ＋1)，e－x
1 2 3 1 1 2 2 3
＝lg x，则( )
3
A．x<x<x B．x<x<x
1 2 3 1 3 2
C．x<x<x D．x<x<x
2 3 1 2 1 3
解析：(1)因为a＝log 3＋log 2>2＝2，所以a>b，因为f(x)＝log x，g(x)＝log x单调递
2 3 2 3
增，所以c＝log π＋log π>log 3＋log 2，所以c>a.故选B．
2 3 2 3
(2)画出函数y＝x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x<x<x.
2 1 3
答案：(1)B (2)D
维度2 解对数方程与不等式
典例3(1)方程log (x－1)＝2－log (x＋1)的解为________．
2 2
(2)已知不等式组log (2 x 2 ＋ 1)<log (3 x )<0 成立，则实数x的取值范围是________．
x x
底数情况不明，分类讨论搞清，从而得到真数的不等关系．
解析：(1)原方程可变形为log (x－1)＋log (x＋1)＝log (x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x
2 2 2
＝ ± ，又 x >1 ，所以 x ＝ . 故答案为 x＝.
对数方程、对数不等式，不可忽略真数大于0的限制条件．
(2)由题意知，①
或②
解不等式组①得<x<，不等式组②无解，所以实数x的取值范围为.故答案为.
解对数方程、不等式时需注意以下两个方面
(1)注意方程或不等式要有意义，即真数大于0.
(2)根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性，进而解不等式．
对点练3(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－
5))>f(log 8)的解集为________．
3
解析：(1)当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，∴0≤x≤1；当x＞1时，由1－log x≤2，得
2
x≥，∴x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞)．故选D．
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在
(0，＋∞)上单调递增，将f(log (2x－5))>f(log 8)化为|log (2x－5)|>|log 8|，即log (2x
3 3 3
\f(1,3 \f(1,3
－5)>log 8或log (2x－5)<－log 8＝log ，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或<x<.
3 3 3 3
答案：(1)D (2)∪
维度3 探究对数型复合函数的单调性
典例4已知函数f(x)＝log (x2－2ax＋3)．
\f(1,2
(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间．
(2) 是否存在实数 a ，使 f ( x ) 在 ( －∞， 2) 上单调递增 ？若存在，求出a的取值范围；
注意力集中于内层函数，要求：① h(x)＝x2－2ax＋3 在(－∞，2)上单调递减；
②h(2)≥0，即真数须为正值．
若不存在，请说明理由．
解：(1)由f(－1)＝－3，得log (4＋2a)＝－3.
\f(1,2
所以4＋2a＝8，所以a＝2.
这时f(x)＝log (x2－4x＋3)，
\f(1,2
由 x 2 － 4 x ＋ 3>0 ，得 x >3 或 x <1 .
先求定义域，在定义域内思考复合函数的单调区间．
故函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令g(x)＝x2－4x＋3，
则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝log x在定义域上单调递减，
\f(1,2
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)不存在．理由如下：
令h(x)＝x2－2ax＋3， 要使 f ( x ) 在 ( －∞， 2) 上单调递增，应使 h ( x ) 在 ( －∞， 2) 上单调递
减，且恒大于 0 .
此两个条件，转化为关于a的两个不等式．
因此即此不等式组无解．
所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上单调递增．
求解对数型复合函数的单调性问题时，要注意在定义域的基础上，弄清楚复合函数的
构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，然后依据复合函数的单调性规律确定该函数的单调性．
对点练4(多选)(2024·湖南湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln x，a>0，则下列结论中正确的是(
)
A．函数y＝f(a＋x)－f(x)是其定义域上的减函数
B．函数y＝f(a－x)＋f(－x)是其定义域上的减函数
C．函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)是其定义域上的增函数
D．函数y＝f(a＋x)－f(a－x)是其定义域上的增函数
解析：对于A，因为函数y＝f(a＋x)－f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数y＝f(a＋x)－f(x)
＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以A正确；对于B，因为函数y＝f(a－x)＋f(－x)的定义域
为(－∞，0)，函数y＝f(a－x)和y＝f(－x)在(－∞，0)上单调递减，所以函数y＝f(a－x)＋
f(－x)在(－∞，0)上单调递减，所以B正确；对于C，因为函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)的定义
域为(－a，a)，函数y＝ln(a2－x2)是偶函数，所以函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)在(－a，a)上不可
能是单调函数，所以C错误；对于D，因为函数y＝f(a＋x)－f(a－x)的定义域为(－a，a)，
函数y＝f(a＋x)和y＝－f(a－x)在(－a，a)上单调递增，所以函数y＝f(a＋x)－f(a－x)在(－
a，a)上为增函数，所以D正确．故选ABD．
答案：ABD
维度4 对数函数性质的综合问题
典例5已知函数f(x)＝log [(m2 －1)x2＋(m＋1)x＋1]．
\f(1,2
(1)若m＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(3)若 f ( x ) 的值域为 R ，求实数m的取值范围．
转化为真数值域包含(0，＋∞)的一切实数，因此满足三个条件：①开口向上；②二次
函数与x轴有交点；③特殊情形，m＝1时，真数为一条直线，值域包含(0，＋∞)．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝log (－x2＋x＋1)，
\f(1,2
设真数u(x)＝－x2＋x＋1，
且要满足u(x)＝－x2＋x＋1>0，
即<x<，
∴f(x)的定义域为.
∵u(x)＝－x2＋x＋1图象的对称轴为直线x＝，
∴u(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
又∵函数y＝log x为减函数，
\f(1,2
∴根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，
可得f(x)＝log (－x2＋x＋1)的单调递减区间是，单调递增区间是.
\f(1,2
(2) 要使 f ( x ) 的定义域为 R ，只需真数 u ( x ) ＝ ( m 2 － 1) x 2 ＋ ( m ＋ 1) x ＋ 1>0 对一切实数 x 恒成
立．
不等式恒成立求参数，由参数出现的位置，展开对参数的讨论．①当m2－1＝0，即m＝±1时，
若m＝1，u(x)＝2x＋1，显然，只有x>－时，才有u(x)>0，不符合题意，∴m≠1；
若m＝－1，则u(x)＝1>0对一切实数x都成立，∴ m ＝－ 1 满足题意 ．
此特殊情形，即二次项系数为0，应重视．
②当m2－1≠0时，u(x)>0对一切实数x恒成立的充要条件是
开口向上，二次函数与x轴无交点．
即解得m<－1或m>.
综上，实数m的取值范围是(－∞，－1]∪.
(3)要使f(x)的值域为R，只需真数u(x)＝(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1的值域包含(0，＋∞)．
① 当 m 2 － 1 ＝ 0 ，即m＝±1时，若m＝1，则u(x)＝2x＋1，
二次项系数为零的特殊情形．
显然u(x)的值域包含(0，＋∞)，
∴m＝1满足题意；
若m＝－1，则u(x)＝1，不符合题意，∴m≠－1.
②当m2－1≠0时，
必有
开口向上，与x轴有交点，才满足值域包含(0，＋∞)．
即解得1<m≤.
综上，实数m的取值范围是.
解对数函数综合问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数
形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
对点练5(多选)已知函数f(x)＝ln ，则下列说法正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：f(x)＝ln ，令>0，解得x>或x<－，∴f(x)的定义域为∪，又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln
－1＝－ln ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln ＝ln，令t＝1＋，t>0
且t≠1，∴f(x)＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln x为增函数，∴f(x)在上单调递减，
故C正确；易知f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
答案：ACD
