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3.4 对数运算及对数函数（精讲）
一．对数的概念
（1）一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫做对
a
数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log N记为lg N
10自然对数 将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数 把logN记为lnN
e
二．对数的性质与运算性质
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么
①log (MN)＝log M＋log N；②log＝log M－log N；③log Mn＝nlog M (n∈R)；④log Mn＝log M．
a a a a a a a a am a
(2)对数的性质：①alog N＝N；②log aN＝N(a>0且a≠1)．
a a
(3)对数的重要公式
①换底公式：log N＝ (a，b均大于零且不等于1)；
b
②log b＝，推广log b·log c·logd＝log d．
a a b c a
三．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 01时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
四.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
a
一．对数运算
1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
2.将同底对数的和、差、倍合并．
3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
二．对数函数的图象
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
三．比较对数值大小的方法
单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法 根据图象观察得出大小关系
四．简单对数不等式
1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化
为一般不等式求解．
2.对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
五．盘点易错易混
1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；
2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．
考法一 对数的运算
【例1-1】（2023·广东潮州）求值：
(1) ；
(2)
(3) ；
(4) .【例1-2】已知log 3＝a，3b＝7，则log 的值为________．
2 32
【一隅三反】
1．（2023广东湛江）计算：
(1) ；
(2)
(3)
(4)
(5) ．
(6)已知 ， ，求 的值．考法二 对数函数的三要素及定点
【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·全国·高三对口高考）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（2）（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 值域是_______
（3）（2023·山东）已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是
【例2-3】（2023·山东德州）函数 的图象恒过点P，若角 的终边经过点P，
则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数 恒过定点 ，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． 或 B．
C． D．
3．（2023·湖北）已知函数 （ ，且 ）在 上的值域为 ，则实数a的值是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江）已知函数 且 ，若函数 的值域是 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考法三 对数函数的单调性及应用
【例3-1】（2023·安徽）函数 的单调递减区间为_________
【例3-2】（1）（2023春·云南）已知函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·山西）函数 在 上是单调递增的，则此函数在 上是（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
（3）（2023·北京）若函数 对任意 都有 ，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例3-3】（1）（2023·广东汕头·统考三模）已知 ， ， ，则a，b，c大小为
（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3-4】（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知 ，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．【一隅三反】
1．（2023春·河南·）已知函数 ，则 的单调增区间为_______.
2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递
增，则 的取值范围为______．
3．（2023·河北）已知 在 上单调递减，则 的取值范围是__________．
4．（2023·北京·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·河南）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
考法四 对数函数的奇偶性及应用
【例4】（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 为奇函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【一隅三反】1．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）“ ”是“函数 是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）若 为奇函数，则 （ ）
3．（2023·甘肃）已知函数 ，则 ______．
考法五 对数函数的图像问题
【例5】8（2023·全国·模拟预测）函数 在区间 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·四川自贡·统考三模）函数 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
2（2023·广东广州·统考三模）函数 的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．考法六 对数函数的综合运用
【例6-1】（2023·四川凉山）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程
度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认
识与了解．例如：地震时释放出的能量 （单位： ）与地震里氏震级 之间的关系为 ，
年 月 日，我州会理市发生里氏 级地震，它所释放出来的能量是 年年初云南省丽江市宁蒗
县发生的里氏 级地震所释放能量的约多少倍（ ）
A． 倍 B．0.56倍 C． 倍 D．0.83倍
【例6-2】（2023春·湖北）（多选）已知函数 ,下列说法正确的是( )
A．若 定义域为R,则 B．若 值域为R,则
C．若 最小值为0,则 D．若 最大值为2,则
【一隅三反】
1．（2023春·四川宜宾）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．
例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为： ． 年
月 日，我国汶川发生了里氏 级大地震，它所释放出来的能量约是 年 月 日我国泸定发生的里
氏 级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东清远）（多选）已知函数 ，则（ ）A． 的定义域为
B． 的单调递减区间为
C． 是增函数
D． 的值域为
3．（2023·高一课时练习）关于函数 ，有以下四个命题：①函数 在区间 上是
单调增函数；②函数 的图象关于直线 对称；③函数 的定义域为 ；④函数 的值
域为 .其中所有正确命题的序号是________.
4（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆 与直线 相切，函数
过定点 ，过点 作圆 的两条互相垂直的弦 ，则四边形 面积的最
大值为__________.
