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3.4 对数运算及对数函数（精练）
1．（2023·四川）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数 ， ， 的一个是
（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【解析】因为 ，
（3）是 ，（4）是 ，又 与 关于 轴对称，
（1）是 ．故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时 ，即函数图象恒过 .故选：A
3．（2023·陕西）在同一平面直角坐标系中，函数 ， 且 的图象可能是
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于AB，若 图象正确，则 ， 单调递减，
又 时， ，A正确，B错误；
对于CD，若 图象正确，则 ， 单调递增，CD错误.故选：A.
4．（2023·江苏无锡·高三统考期末）函数 的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 变形为 ，定义域为 ，
，故 为偶函数，关于y轴对称．
当 时， ， 时， ，排除BC，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 时， ，故排除D，A正确.故选：A．
5．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 的解集是 ，反之不成立.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．故选：B
6．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）设 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，即 ； ，即 ； ，即
，
则a，b，c的大小关系为 .故选：D．
7．（2023·内蒙古乌兰察布）函数 （ ）在 上的最大值是（ ）．
A．0 B．1 C．3 D．a
【答案】C
【解析】因为 ，所以该函数是单调递增函数，所以 ，故选：C
8．（2023·江西）已知函数 的最大值与最小值的差为2，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意得 在 上为单调递增函数，所以 ， ，
所以 ，解得 ， 又 ，所以 .故选：C
9．（2023·北京海淀·校考三模）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具
有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练
迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为 ，且当训
练迭代轮数为 时，学习率为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（参
考数据： ）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
【答案】C
【解析】由题设可得 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为 次．故选：C．
10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为
“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能
的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型
为 ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练
迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训
练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（
）（参考数据： ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．36 B．37 C．38 D．39
【答案】A
【解析】由已知，得 ，所以 ，则有 ，即 ，即 ，
即 ，因此G至少为36.故选：A.
11．（2023·黑龙江哈尔滨）已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．18
【答案】D
【解析】由题意正实数 满足 ，则 ，
故 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时取得等号，即 的最小值是18，故选：D
12．（2023·云南怒江）（多选）下列函数的图象过定点 的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】根据题意，在每个选项中令 ，
选项A中， ，故函数图象过点 ，A正确.
选项B中， ，故函数图象不过定点 ，B错误.
选项C中， ， ，故 ，故图象不过定点 ，C错误.
选项D中， ，故函数图象过点 ，D正确.故选：AD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023春·内蒙古呼和浩特）（多选）已知 是R上的单调递增函数，
则实数a的值可以是（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】AC
【解析】因为 是R上的单调递增函数，
所以 ，解得 ，即 ，故选项A正确，选项D错误；
因为 ，且 ，所以选项B错误，选项C正确.故选：AC
14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设 ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】AB选项，易知 ， ，
因为 ，所以 ，A错误，B正确；
CD选项，因为 ， ，所以 ，D正确，
故 ，C正确.
故选：BCD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 定义域为 ，则函数 的定义域为
______.
【答案】
【解析】因为函数 定义域为 ，由 得
定义域为
则函数 的定义域满足 ，解得
定义域为 .
故答案为： .
16．（2023·广西）函数 的定义域为 ，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数 的定义域为 ，
得 ， 恒成立．
当 时， ，成立；
当 时，需满足 于是 ．
综上所述，m的取值范围是 ．
故答案为： .
17．（2023·江苏）函数 的值域是__________．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】令 ，则 ，
因为 ，所以 的值域为 ，
因为 在 是减函数，所以 ，
所以 的值域为 ，故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】对任意的 ， ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因为函数 的值域为 ，则 ，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
19．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若函数 的图象不过第四象限，则实数a的取值范围
为________．
【答案】
【解析】函数 的图象关于 对称，其定义域为 ，
作出函数 的大致图象如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可得，要使函数 的图象不过第四象限，
则 ，即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .故答案为： .
20．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，方程 的实根个数为__________．
【答案】2
【解析】由 ，则 ，则令 ， ，
分别作出它们的图象如下图所示，
由图可知，有两个交点，所以方程 的实根个数为2．故答案为：2．
21．（2023春·江苏常州）已知函数 的图象恒过定点 ，若点 在角 的终边
上，则满足条件的 值可以为_________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 （答案不唯一）
【解析】对于函数 ，
令 ，可得 ，此时 ，即 ，则 ，
因为点 在第二象限，故 为第二象限角，故 .
故答案为： （答案不唯一）.
22．（2023·黑龙江）若函数 在 上是严格减函数，则实数 的取值范围为
________．
【答案】
【解析】因为 在 上是严格减函数，所以要满足： ，解得：
，所以实数 的取值范围是 故答案为：
23．（2023春·河南平顶山）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围是
______．
【答案】
【解析】函数 在 上单调递增，
依题意， ， ，且 在 上单调递增，
因此 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
24．（2023·云南昆明·）函数 的最大值为________.
【答案】
【解析】
，
故当 时， .
故答案为: .
25．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数 是R上的奇函数，则a的值为
_____．
【答案】 ．
【解析】∵ 是奇函数，∴ ，
恒成立，∴ ，
时， 的定义域均为 ，满足题意，
故答案为： ．
26．（2023春·江苏泰州·）化简求值：
(1) ；
(2) ；
(3)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4） .
(5)
(6)
【答案】(1) (2) (3) （4） (5) (6)
【解析】（1）原式
（2）
；
（3） .
（4） .
（5） .
（6） .
1．（2023·山西运城）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】对于函数 ，有 ，解得 且 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，函数 为奇函数，排除CD选项，
当 时， ，则 ，排除B选项.
故选：A.
2．（2023·安徽黄山·统考三模）“ ”是“函数 在区间 上单调递增”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令 ， ，
若 在 上单调递增，
因为 是 上的增函数，
则需使 是 上的增函数且 ，
则 且 ，解得 .
因为 ，故 是 的必要不充分条件，
⫋
故选：C.
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取
值范围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由对数函数的定义可知， 且 ，
当 时， 单调递增， ，故
因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
与 求交集，得到 ，
当 时， 单调递减， ，故 ，
由于当 时， ，故此时无解，
综上：实数 的取值范围是 .
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意 且 ，所以 ，解得 或 ，综
上可得 ，
令 的根为 、 且 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则 在定义域上单调递增， 在 上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
函数不存在最小值，故舍去；
若 ，则 在定义域上单调递减， 在 上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 取得最小值，所以 ；故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，要使函数 有最大值，
则内层函数 要有最小正值，且外层函数 为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数 要有最小正值，
则 ，解得 ．
综合得a的取值范围为 ．
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 在 内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，由 ，可得 ，则 ，
又由 ，此时不等式 不成立，不合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，
此时函数 在 上单调递增，
又由 在 上单调递增，
要使得不等式 在 内恒成立，
可得 ，解得 .
故选：A.
7．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 ，则函数 的图象与两坐
标轴围成图形的面积是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】已知函数 ，定义域为 ，
又 .
因此函数 的图象关于点 成中心对称，
又 ，且点 与点 也关于点 成中心对称，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由基本初等函数的单调性可得函数 在区间 上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是 .
故选：A.
8．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感
与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用 的水泡制，再等到茶水温度降至 时饮用，可以产生
最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初
始温度是 ，经过 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 表
示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是 ，放在 的室温中， 以后茶
水的温度是 ，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？ 结果精确到 ，参考
数据 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得方程组：
，化简可得： ，所以
，
大约需要放置 能达到最佳饮用口感．
故选：B.
9．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】由 可得： ，
则 ，
所以函数 是偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，
又 时， 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
若 ，则 ，
即 ，所以 或 ，解得： 或 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 （a＞0，且 ）的定义域为
，值域为 ．若 的最小值为 ，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
因为函数 在 的值域为 ，则 ，即 ，
由 ，得 ，则有 或 ，
当 时， ，有 ，
当 时， ，有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令方程 的两个根为 ，如图，
因此在 上函数 取得最小值0，最大值1，且 最小时， ，
于是 ，解得 或 ，而 的最小值为 ，
则有 或 ，解得 或 ，
所以实数a的值可以是 或 ，即BC满足，AD不满足.
故选：BC
11．（2023春·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）函数 的值域是实数集
R，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数 的值域是实数集R，则 能取遍 内
所有的数.
，
当 时， ，即 在R上单调递减．
当 时， ；
当 时， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】这表明， 的值域为R，当然可取遍 的所有值．
当 时，令 ，则 ，
由 解得 ；由 解得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 成立，令 ，
在 上单调递增且 ，故 .
综上： .
故答案为： .
12．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的
取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为函数 ，定义域为 ，且 ，
则
，
即 ，即 为奇函数，
当 时 ， ， 均单调递增，所以 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 是奇函数且在 上单调递增，
由 ，可得 ，则 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
