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3.4 对数运算及对数函数（精讲）
一．对数的概念
（1）一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫做对
a
数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log N记为lg N
10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】自然对数 将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数 把logN记为lnN
e
二．对数的性质与运算性质
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么
①log (MN)＝log M＋log N；②log＝log M－log N；③log Mn＝nlog M (n∈R)；④log Mn＝log M．
a a a a a a a a am a
(2)对数的性质：①alog N＝N；②log aN＝N(a>0且a≠1)．
a a
(3)对数的重要公式
①换底公式：log N＝ (a，b均大于零且不等于1)；
b
②log b＝，推广log b·log c·logd＝log d．
a a b c a
三．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 01时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
四.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
a
一．对数运算
1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
2.将同底对数的和、差、倍合并．
3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
二．对数函数的图象
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
三．比较对数值大小的方法
单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法 根据图象观察得出大小关系
四．简单对数不等式
1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化
为一般不等式求解．
2.对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
五．盘点易错易混
1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；
2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．
考法一 对数的运算
【例1-1】（2023·广东潮州）求值：
(1) ；
(2)
(3) ；
(4) .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) (2)6 (3)2 (4)4
【解析】（1） .
（2）
，
因为 ，所以 .
（3）
.
（4） .
【例1-2】已知log 3＝a，3b＝7，则log 的值为________．
2 32
【答案】
【解析】由题意3b＝7，所以log 7＝b．
3
所以log ＝log ＝＝＝．
32 ＝
【一隅三反】
1．（2023广东湛江）计算：
(1) ；
(2)
(3)
(4)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(5) ．
(6)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1) (2) (3)3 (4) (5) (6)
【解析】（1） ；
（2）
．
（3）原式
（4）原式=
（5）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
（6） ..
考法二 对数函数的三要素及定点
【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·全国·高三对口高考）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）函数 有意义，则有 ，即
解得 ，所以函数 的定义域是 .故选：D
（2） 有意义满足 ，即 ， ，
解得 ，故选：D
【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 值域是_______
（3）（2023·山东）已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为函数 的值域为 ，
所以， 为函数 的值域的子集，所以， ，解得 .
（2）设 ，则 ，于是 .
设 ，根据二次函数性质， 时， 关于 单调递减；
根据对数函数性质， 在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质， 在 上单调递减，
而 ，于是 值域是： .
故答案为：
（3）∵函数
∴当 时， 的范围是 ；当 时， ， ，
由题意 存在最小值，则 ，解得 .故选：D．
【例2-3】（2023·山东德州）函数 的图象恒过点P，若角 的终边经过点P，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】令 ，则 ，即 ，所以 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数 恒过定点 ，则
的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意可知 ，则 ，
当且仅当 ， 时， 的最小值为 ，故选:A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】要使 有意义，则 ，
即 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，
要使 有意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·湖北）已知函数 （ ，且 ）在 上的值域为 ，则实数a的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若 ，则 在 上单调递减，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递增，则 ，
又因为 的值域为 ，所以 ，解得 ．
故选：A．
4．（2023·浙江）已知函数 且 ，若函数 的值域是 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，函数在 上单调递增，
在 上单调递减，所以 ，即 ；
若函数 的值域是 ，则需当 时， ．
当 时， 在 上单调递增，
此时 ，不合题意；
当 时， 在 上单调递减，
此时 ，即 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，显然 ，解得 ，又 ，所以 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选：B
考法三 对数函数的单调性及应用
【例3-1】（2023·安徽）函数 的单调递减区间为_________
【答案】
【解析】函数分为内外层函数，设 ， ，
令 ，得 ，内层函数 ，在区间 单调递增，在区间 单调递减，
外层函数 单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知，
函数在区间 单调递减.故答案为：
【例3-2】（1）（2023春·云南）已知函数 在 上为减函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·山西）函数 在 上是单调递增的，则此函数在 上是（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
（3）（2023·北京）若函数 对任意 都有 ，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】（1）C （2）B （3）D
【解析】（1）令 ，对称轴为 ，
因为函数 是正实数集上的减函数，
所以要想函数 在 上为减函数，
只需函数 在 上为增函数，且 在 上恒成立，
所以 ，且 ，解得 .故选：C
（2）当 时， ，设 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，函数 在 上是单调递增的，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
当 时， ，
设 ，则 ， ，
因为 在 上单调递增，
函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，故选：B.
（3）由 得， 在R上是减函数，则有 ，解得 .故选：D.
【例3-3】（1）（2023·广东汕头·统考三模）已知 ， ， ，则a，b，c大小为
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
（2）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D （2）A
【解析】（1） 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，
画出函数的图象如下图所示，
由图象可知， .故选：D.
（2）因为 ，
所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .故选：A.
【例3-4】（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知 ，则实数a的取值范围
是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，即 ，即 ，
又 ，即 ，故 ，即 ，
当 时，由 ，无解，综上，实数a的取值范围是 ．故选:A．
【一隅三反】
1．（2023春·河南·）已知函数 ，则 的单调增区间为_______.
【答案】
【解析】令 ，即 ，
由 ，则 在 上递增，在 上递减，
综上， 在 上递增，在 上递减，而 在定义域上递增，
所以 的单调增区间为 .
故答案为：
2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递
增，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】令 ，则 在 为减函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以由复合函数的单调性可知 在 上为减函数，则 ，解得 ，
即 的取值范围为 ．故答案为：
3．（2023·河北）已知 在 上单调递减，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】若函数 在 上是单调减函数，则 ，解得 ，
即 ，故答案为： ．
4．（2023·北京·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
又 ， ，所以 ，
且 ，所以 ，所以 .故选：A
5．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，所以 ，
由 ，而 ，则 ，所以 ，
综上： ，故选：A.
6．（2023·河南）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ,所以 ，
故
由 ，可得 ，
故 ，故选：B
考法四 对数函数的奇偶性及应用
【例4】（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 为奇函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
因为 为奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，
经检验， 满足题意,
所以 ，所以 .
故选：B.
【一隅三反】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）“ ”是“函数 是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当函数 为奇函数，
则 ，解得 .
所以“ ”是“函数 为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.
2（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）若 为奇函数，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 为奇函数，所以 的定义域关于原点对称，
显然当 时， 没意义，所以当 时， 也没意义，但 是有意义的，所以
必定是 ，即 ，
， ，
即 ，
则 ，是奇函数，
；故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·甘肃）已知函数 ，则 ______．
【答案】2
【解析】因为 （ ），
所以
，
所以 ，
故答案为：2
考法五 对数函数的图像问题
【例5】8（2023·全国·模拟预测）函数 在区间 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，且 ，所以函数 为奇函数，
故排除A，B．
当 时， ， ， ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， ， ，所以 ．故排除D．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023·四川自贡·统考三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于函数 ，有 ，解得 ，故函数 的定义域为 ，排除AB选项，
令 可得 ，解得 ，即函数 只有两个零点，排除C选项.
故选：D.
2（2023·广东广州·统考三模）函数 的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】易知函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为非奇非偶函数，排除A；
易知当 时， ，故排除C；
因为 ， ，所以 ，所以排除D．
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 得 即 ，此有方程有两根，故 有两个零点，排除A
选项；
函数 有意义满足 解得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当 与及 时，函数 单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数 单调递增，故单调性也符合，所以 的图象可能是
D；
故选：D
考法六 对数函数的综合运用
【例6-1】（2023·四川凉山）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程
度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认
识与了解．例如：地震时释放出的能量 （单位： ）与地震里氏震级 之间的关系为 ，
年 月 日，我州会理市发生里氏 级地震，它所释放出来的能量是 年年初云南省丽江市宁蒗
县发生的里氏 级地震所释放能量的约多少倍（ ）
A． 倍 B．0.56倍 C． 倍 D．0.83倍
【答案】A
【解析】设里氏 级、 级地震所释放的能量分别为 、 ，则 ，
上述两个等式作差可得 ，则 ，故 .故选：A.
【例6-2】（2023春·湖北）（多选）已知函数 ,下列说法正确的是( )
A．若 定义域为R,则 B．若 值域为R,则
C．若 最小值为0,则 D．若 最大值为2,则
【答案】BCD
【解析】对于A，若函数 定义域为R,则 恒成立,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时, 恒成立,满足题意,
当 时,则有 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 ,故选项A错误；
对于B，若函数 值域为R,则 能取尽大于零的所有实数，
当 时, ,不满足题意，
当 时,则有 ,解得 ，
所以若 值域为R,则 ,故选项B正确；
对于C，若函数 最小值为0,则 有最小值1，
由二次函数的图象和性质得 ,解得 ,故选项C正确;
对于D，若函数 最大值为2,则 有最大值4,
由二次函数的图象和性质得 ,解得 ,故选项D正确.
故选:BCD.
【一隅三反】
1．（2023春·四川宜宾）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．
例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为： ． 年
月 日，我国汶川发生了里氏 级大地震，它所释放出来的能量约是 年 月 日我国泸定发生的里
氏 级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设里氏 级、里氏 级地震释放的能量分别为 、 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，即 ，
所以， .
故选：B.
2．（2023·广东清远）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为
B． 的单调递减区间为
C． 是增函数
D． 的值域为
【答案】ACD
【解析】对于A，由 且 ，得 ，故 的定义域为 ，A对；
对于B，区间 不在定义域内，B错；
对于C， 函数 在 为增函数，
函数 在 为增函数
故函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间，C对；
对于D， 在 为增函数,
真数能取遍所有大于0的数，故值域为R，D对.
故选：ACD.
3．（2023·高一课时练习）关于函数 ，有以下四个命题：①函数 在区间 上是
单调增函数；②函数 的图象关于直线 对称；③函数 的定义域为 ；④函数 的值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】域为 .其中所有正确命题的序号是________.
【答案】①②④
【解析】函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以①正确；
函数 ，函数的图象关于直线 对称，所以②正确；
函数 的定义域是 ，所以③不正确；
函数 ，函数的值域是实数集，所以④正确.
故答案为：①②④.
4（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆 与直线 相切，函数
过定点 ，过点 作圆 的两条互相垂直的弦 ，则四边形 面积的最
大值为__________.
【答案】5
【解析】由题意圆 与直线 相切，
圆心为 ，半径为 ，
函数 过定点
如图连接OA、OD作 垂足分别为E、F，
， 四边形OEMF为矩形，
已知 ， ，
设圆心O到AC、BD的距离分别为 、 ，
则
四边形ABCD的面积为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而： ，
当且仅当 时即 取等号，
故四边形ABCD的面积最大值是5，
故答案为：5.
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