文档内容
专题 02 常用逻辑用语
目录
题型一： 充要条件...........................................................................................................................4
题型二： 求参数取值范围...............................................................................................................5
题型三： 全称量词命题和存在量词命题......................................................................................7
题型四： 全称量词和存在量词参数的取值范围..........................................................................8
题型五： 综合运用...........................................................................................................................9
知识点总结
知识点一、充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p
p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p
知识点二、全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“∀”表示；存
在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、 有的、某一个等，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号
简记为 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简
记为 ∃ x ∈ M ， p ( x ) ．知识点三、含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃ x ∈ M ，
∃x∈M，p(x)
∀ x ∈ M ，
注意
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词
命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命
题先加上全称量词再对其进行否定.
【常用结论与知识拓展】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．若p是q的充分不必要条件，则q
是p的必要不充分条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条
件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．若p是q的充分不必要条件，
q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是 B(B⇒A且
A⇒B)两者的不同．
3.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充
分条件，必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⊆B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p是q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充
分不必要条件．
5.命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真
假．
6.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
例题精讲题型一：充要条件
【要点讲解】
确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分
条件，否则条件就不是结论的充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件
是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件。
【例1】设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1】已知 ，命题 是一元二次方程 的一个根，命题
，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练2】设 ， 是向量，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练3】设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
【变式训练1】设 ， 为两条直线，则 的充要条件是A． ， 与同一个平面所成角相等
B． ， 垂直于同一条直线
C． ， 平行于同一个平面
D． ， 垂直于同一个平面
【变式训练2】不等式 成立的一个充分不必要条件是
A． B． ， C． D． ，
【变式训练3】复数 是纯虚数的充分不必要条件是
A． 且 B． C． 且 D．
题型二：求参数取值范围
【要点讲解】
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的四个步骤：化简 两命题；根据 与
的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；利用集合间的关系建立不等式；
求解参数范围
【例3】已知 ； ，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练1】已知集合 ， ， ， ．若“ ”是“ ”的充
分不必要条件，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． D． ，
【变式训练2】已知集合 ， ，若“”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． D．
【变式训练3】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 的取值范围是
．
若“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值范围为 ．
【变式训练4】已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
题型三：全称量词命题和存在量词命题
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 中的每个元素验证 成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合 中的一个 ，使得 不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个 ，使 成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例4】命题“ ， ”的否定是
A． B．
C． ， D．【变式训练1】命题：“ ， ”的否定是 ．
已知命题 ， ，则 为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【例5】下列关于命题的说法错误的是
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题 ， ，则 ，
D．命题“ ， ”是真命题
【变式训练1】下列命题中，真命题是
A．存在 ，使得
B．对任意 ，
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．“ 或 是假命题”是“非 为真命题”的必要而不充分条件
【变式训练2】已知 ， ，命题 ， ，命题
，使得 ，则下列说法正确的是A． 是真命题， ，
B． 是假命题， ，
C． 是真命题， ，
D． 是假命题， ，
题型四：全称量词和存在量词参数的取值范围
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 中的每个元素验证 成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合 中的一个 ，使得 不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个 ，使 成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例6】已知命题“ ， ， ”为真命题，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练1】若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为
．（用区间表示）
【变式训练2】已知命题 ， ，若 为真命题，则实数 的取值范围是
．【变式训练3】已知 ， ．若 为假命题，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
【变式训练4】已知命题 ， ，若 为假命题，求实数 的取值范围
．
【例7】设命题 ， ．若 是假命题，则实数 的取值范围是
．
题型五：综合运用
【要点讲解】
在一些逻辑问题中，当题中并未出现“或”“且”“非”时，应从语句的陈述中搞清含义
并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题
【例8】已知函数 且函数 ，则下列选项正确的是
A．点 是函数 的零点
B． ， ，使
C．函数 的值域为
D．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
，【变式训练1】设 ， 则 对 任 意 实 数 是
的
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练2】已 知 函 数 ， ， 若 存 在 ， 使 得
，则 的取值范围是
A． ， B． ， ，
C． D． ， ，
【变式训练3】已知集合 ，函数 ．
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）若命题“存在 ，使得 ”为假命题，求实数 的取值范围．
课后练习
1.（2023•南充模拟）“ ”是“ ”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
2.（2023•广东模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3.（2023•郑州模拟）已知第一象限内的动点 在直线 的左下方，则
是 恒成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.（2023 春•郫都区校级期中）“ ”是“直线 与直线
平行”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.（2023•温州模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.（2023•日照二模）已知 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.（2023•青羊区校级模拟）已知 ，则“ ”是“ 有两个不同
的零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.（2023•遂宁模拟）下列说法不正确的是
A．若 ，则
B．命题 ， ，则 ，
C．回归直线方程为 ，则样本点的中心可以为D．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ ”是“
”的充要条件
9.（2023春•浙江期中）下列说法正确的是
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．在 中，“ ”是“ ”的充要条件
C．在 中，“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
10.（2022秋•南充期末）命题“ ， ， ”是真命题的一个必要不充分
条件是
A． B． C． D．
11.（2022秋•历下区校级期末）已知命题 ， ，若 为真命题，
则实数 的值可以是
A． B．0 C． D．
12.（2022•商水县校级开学）下列命题是真命题的是
A．若设函数 的图象过点 ，则
B． ，
C． ，
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
13.（2022秋•徐汇区校级月考）若“ ”是“ ”的充分非必要条件，则 的取值范围是 ．
14.（2022秋•大通县期末）已知命题 ， ，则 为 ．
15.（2022秋•开福区校级期末）命题“ ， ”的否定是 ．
16.（2023•当涂县校级开学）设命题 ，命题 ，若 是 的
充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ．
17.（2021秋•和平区校级期末）设全集是 ，集合 ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.（2023•大荔县一模）已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
