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专题 02 常用逻辑用语
目录
题型一： 充要条件...........................................................................................................................4
题型二： 求参数取值范围...............................................................................................................7
题型三： 全称量词命题和存在量词命题....................................................................................10
题型四： 全称量词和存在量词参数的取值范围........................................................................13
题型五： 综合运用.........................................................................................................................15
知识点总结
知识点一、充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p
p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p
知识点二、全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“∀”表示；存
在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、 有的、某一个等，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号
简记为 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简
记为 ∃ x ∈ M ， p ( x ) ．知识点三、含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃ x ∈ M ，
∃x∈M，p(x)
∀ x ∈ M ，
注意
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词
命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命
题先加上全称量词再对其进行否定.
【常用结论与知识拓展】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．若p是q的充分不必要条件，则q
是p的必要不充分条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条
件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．若p是q的充分不必要条件，
q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是 B(B⇒A且
A⇒B)两者的不同．
3.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充
分条件，必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⊆B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p是q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充
分不必要条件．
5.命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真
假．
6.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
例题精讲题型一：充要条件
【要点讲解】
确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分
条件，否则条件就不是结论的充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件
是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件。
【例1】设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当 时，必定有 成立，故充分性成立；
当 时，可得 或 ，故必要性不成立．
故选： ．
【变式训练1】已知 ，命题 是一元二次方程 的一个根，命题
，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于命题 ， 为方程的根，则 ，充分性成立；
对于命题 ， 且 ，则 必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以 是 的充分必要条件．
故选： ．
【变式训练2】设 ， 是向量，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若“ ”，则以 ， 为邻边的平行四边形是菱形；
若“ ”，则以 ， 为邻边的平行四边形是矩形；
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件；故选： ．
【变式训练3】设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“ ”得 ，
由 得 或 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选： ．
【例2】若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；
由 可得 ，解得x＞y＞0或x＜y＜0，
所以 是x＞y的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
【变式训练1】设 ， 为两条直线，则 的充要条件是
A． ， 与同一个平面所成角相等
B． ， 垂直于同一条直线
C． ， 平行于同一个平面
D． ， 垂直于同一个平面
【解答】解：对于 ，如图示：， 与平面 所成角都为 ，但 ， 相交，故 错误，
对于 ，如图示：
， 都垂直于 轴，但 ， 相交，故 错误，
对于 ，如图示：
， 都在上底面与下底面平行，但 ， 相交，故 错误，
对于 ，由 ，得 ， 垂直于同一个平面，是充分条件，
反之，若 ， 垂直于同一个平面，则 ，是必要条件，
故选： ．
【变式训练2】不等式 成立的一个充分不必要条件是
A． B． ， C． D． ，【解答】解：不等式 解得 ， 时，一定有 ， ，而
， 时，不一定满足 ，
所以不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
故选： ．
【变式训练3】复数 是纯虚数的充分不必要条件是
A． 且 B． C． 且 D．
【解答】解：因为复数 是纯虚数的充要条件是 且 ，
又因为 且 是 且 的充分不必要条件，
所以 且 是复数 为纯虚数的充分不必要条件．
故选： ．
题型二：求参数取值范围
【要点讲解】
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的四个步骤：化简 两命题；根据 与
的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；利用集合间的关系建立不等式；
求解参数范围
【例3】已知 ； ，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由题意可得 ，即 ，解得 ；
是 的充分条件，
，
解得 ．
故选： ．【变式训练1】已知集合 ， ， ， ．若“ ”是“ ”的充
分不必要条件，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． D． ，
【解答】解：集合 ， ， ， ，“ ”是“ ”的充分不必
要条件，
则 ，解得 ，
故 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练2】已知集合 ， ，若“
”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． D．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 集 合 ， ，
，
若 ，则 ，此时 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 ，
故 ， ；
若 ，则 ，此时 ，因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 ，
故 ， ；
若 ，则 ，此时 ，满足 ，
综合以上可得 ，
故选： ．
【变式训练3】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 的取值范围是 ，
．
【解答】解：由题意可知 ，
当 ，即 时，集合 ，满足题意，
当 ，即 时，集合 或 ，
，
，
解得 ，
综上所述， 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
若“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值范围为 ．
【解答】解： “ ”是“ ”的充分条件， ， ，
即实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．【变式训练4】已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时，
，
又 或 ，
．
（2）当 时， ，
是 的充分条件， ，
或 ，
或 ，又 ，
，
实数 的取值范围为 ， ．
题型三：全称量词命题和存在量词命题
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 中的每个元素验证 成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合 中的一个 ，使得 不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个 ，使 成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例4】命题“ ， ”的否定是A． B．
C． ， D．
【解答】解：由题意可得，“ ， ”的否定是 ．
故选： ．
【变式训练1】命题：“ ， ”的否定是 ， ．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为 ， ．
故答案为： ， ．
已知命题 ， ，则 为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可．
即 ， ，
故选： ．
【例5】下列关于命题的说法错误的是
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题 ， ，则 ，
D．命题“ ， ”是真命题
【解答】解：因为命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则”，所以 正确；
由 能得到函数 在区间 上为增函数，反之，函数 在区
间 上为增函数， 不一定大于 2，所以“ ”是“函数 在区间
上为增函数”的充分不必要条件，所以选项 正确；
命题 ， ，的否定为 ， ，所以选项 正确；
因为当 时恒有 ，所以命题“ ， ”为假命题，所以 不正确．
故选： ．
【变式训练1】下列命题中，真命题是
A．存在 ，使得
B．对任意 ，
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．“ 或 是假命题”是“非 为真命题”的必要而不充分条件
【解答】解：对于 时， ，故 错误；
对于 ，故 正确；
对于 ：“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 错误；
对于 或 是假命题”是“非 为真命题”的充分不必要条件，故 错误；
故选： ．
【变式训练2】已知 ， ，命题 ， ，命题
，使得 ，则下列说法正确的是
A． 是真命题， ，
B． 是假命题， ，C． 是真命题， ，
D． 是假命题， ，
【解答】解： ，由 得 ，由 得 ，
即当 时，函数 取得极小值，同时也是最小值 ，
， 成立，即 是真命题．
在 上为增函数，当 时， ， （1） ，
则： ，使得 成立，即命题 是真命题．
则 ， ，
， ，
综上只有 成立，
故选： ．
题型四：全称量词和存在量词参数的取值范围
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 中的每个元素验证 成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合 中的一个 ，使得 不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个 ，使 成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例6】已知命题“ ， ， ”为真命题，则实数 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解：因为命题“ ， ， ”为真命题，
所以命题“ ， ， ”为真命题，
所以 ， 时， ，
因为 ，
所以当 ， 时， ，当且仅当 时取得等号，
所以 ， 时， ，
即实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练1】若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为 ，
．（用区间表示）
【解答】解：因为 ，即函数 的值域为 ， ，
所以实数 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练2】已知命题 ， ，若 为真命题，则实数 的取值范围是
．
【解答】解：若 ， 为真命题，等价于 ，
，当且仅当 时，等号成立，，即 ，
可得 ，故实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式训练3】已知 ， ．若 为假命题，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 为假命题，所以 ， 为真命题，
故当 时， 恒成立．
因为当 时， 的最小值为 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练4】已知命题 ， ，若 为假命题，求实数 的取值范围
， ．
【解答】解：依题意，命题 ， 是假命题，
所以 ， 是真命题，
当 时，不等式 化为 ，成立，
当 时，不等式 化为 ， ，不成立．
当 时，不等式 化为 ，成立，综上所述， 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【例7】设命题 ， ．若 是假命题，则实数 的取值范围是
， ．
【解答】解： 是假命题， 是真命题，
命题 ， ，
， ， ，
设 ，则 ， 在 ， 上单调递增，
，
，
实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
题型五：综合运用
【要点讲解】
在一些逻辑问题中，当题中并未出现“或”“且”“非”时，应从语句的陈述中搞清含义
并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题
【例8】已知函数 且函数 ，则下列选项正确的是
A．点 是函数 的零点
B． ， ，使C．函数 的值域为
D．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
，
【解答】解：对于 选项，零点不是一个点，应该说 是函数的零点，故 选项错误．
对于 选项，当 时， ，
由 可得 ；由 可得 ．
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
所以 时， 单调递增，则 ；
当 时， ，
由 可得 ；由 可得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单点递增．
所以 时， 单调递减，则 ；
所以 ， ，使 ，
故 选项正确．
对于 选项，由 选项可得 在 上单调递减，在 单调递增，在 单调
递减，在 单调递增，
又
，则 的值域为 ，
故 选项正确．对于 选项， ，
若 ，则 ．
则关于 的方程 有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
有一个非零实数根，
函数 与 有一个交点，且 ．
当 时， ，
可以解得 在 上单调递增， 上单调递减， 上单点递增，
所以极大值 ，极小值 ；
当 时， ，
可以解得 在 上单调递减，在 单调递增，
极小值 ．
画出函数 的大致图像如下：由图像可得，只需 或 ，
即 的取值范围为 ，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】设 ， 则 对 任 意 实 数 是
的
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： ， 的定义域为
．
是奇函数
在 上是增函数
在 上是增函数
可得
（a） （b）
（a） （b） 成立
若 （a） （b） 则 （a） （b） 由函数是增函数知
成立
是 （a） （b） 的充要条件．
故选： ．【变式训练2】已 知 函 数 ， ， 若 存 在 ， 使 得
，则 的取值范围是
A． ， B． ， ，
C． D． ， ，
【解答】解：当 时， ，即 ，则 的值域为 ，
，
当 时， ，即 ，则 的值域为 ， ，
若存在 ，使得 ，
则 ， ， ，
若 ， ， ，
则 或 ，
得 或 ，
则当或 ， ， 时， ，
即实数 的取值范围是 ， ，
故选： ．
【变式训练3】已知集合 ，函数 ．
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）若命题“存在 ，使得 ”为假命题，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）不等式 整理得 ，即 ，若 ，则解集为 ， ， （2分）
若 ，则解集为 ， ． （4分）
（2） ，
命题“存在 ，使得 ”的否定为：
“对任意的 ， ，均有 成立”为真命题， （6分）
即 ，只需 ， （8分）
当 时， ，所以 ，即 ． （10分）
课后练习
1.（2023•南充模拟）“ ”是“ ”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【解答】解：当“ ”时，“ ”不成立，
当“ ”时，整理得： ，故“ ”成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
2.（2023•广东模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：“ ” “ ”，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选： ．
3.（2023•郑州模拟）已知第一象限内的动点 在直线 的左下方，则
是 恒成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为第一象限内的动点 在直线 的左下方，
所以 、 且 ，
若 恒成立，即 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 是 恒成立的充分不必要条件．
故选： ．
4.（2023 春•郫都区校级期中）“ ”是“直线 与直线
平行”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若直线 与直线 平行，
则 ，解得 ，
因此，“ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件．故选： ．
5.（2023•温州模拟）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设 ，则 ，即 是增函数，
则 时， ，即 ，
即“ ”是“ ”的充要条件，
故选： ．
6.（2023•日照二模）已知 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为 定义域上单调递减，
故由 得 ，而 定义域上单调递增，故 ，满
足充分性；
又 ，满足必要性，
故选： ．
7.（2023•青羊区校级模拟）已知 ，则“ ”是“ 有两个不同
的零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若 有两个不同的零点，则△ ，解得 或 ，
所以“ ”是“ 有两个不同的零点”的充分不必要条件．
故选： ．8.（2023•遂宁模拟）下列说法不正确的是
A．若 ，则
B．命题 ， ，则 ，
C．回归直线方程为 ，则样本点的中心可以为
D．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ ”是“
”的充要条件
【解答】解：对于选项 ，因为 ，所以 ，所以 ，故 正确；
对于选项 ，根据命题的否定的定义， ， ，故 错误；
对于选项 ，把 代入 ，得 ，
所以样本点的中心可以为 ，故 正确；
对于选项 ，当 时，根据三角形中大边对大角，得 ，
再根据正弦定理得 ，所以 ；
当 时，根据正弦定理，得 ，
即 ，又 ，所以 ，
由正弦定理 得， ，所以 ．
所以“ ”是“ ”的充要条件，故 正确．
故选： ．
9.（2023春•浙江期中）下列说法正确的是
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．在 中，“ ”是“ ”的充要条件
C．在 中，“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件【解答】解：对于 ：当 ， 时，有 ，
由“ ”推不出“ ”，
当 时，可得 ，
由“ ”可以推出“ ”，
“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 错误．
对于 中， ， ，且 在 ， 上是减函数， “ ”是
“ ”的充要条件， 正确；
对于 中，一方面，因为 ，所以 ，
由正弦定理可知： ；
另一方面，由 ，
所以在 中， 是 的充要条件， 不正确；
对于 或 ，而 或 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件， 正确．
故选： ．
10.（2022秋•南充期末）命题“ ， ， ”是真命题的一个必要不充分
条件是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，命题“ ， ， ”是真命题，
所以 对任意 ， 上恒成立，所以 ，
其必要不充分条件是 或 ．
故选： ．11.（2022秋•历下区校级期末）已知命题 ， ，若 为真命题，
则实数 的值可以是
A． B．0 C． D．
【解答】解：因为 ， 为真命题，所以方程 有实根．
当 时， 符合题意；
当 时，由方程 有实根，可得△ ，所以 ．
综上，实数 的值可以是 ，0和 ．
故选： ．
12.（2022•商水县校级开学）下列命题是真命题的是
A．若设函数 的图象过点 ，则
B． ，
C． ，
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【解答】解：对于 ，若幂函数 过点 ， ，则 ，解得 ，故 错
误；
对于 ，在同一平面直角坐标系上画出 与 两函数图象，如图，
由图可知 ， ，故 正确；
对于 ，取 ，得 ，故 错误；对于 ，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“ ，
”的否定为：
“ ， ”，故 正确．
故选： ．
13.（2022秋•徐汇区校级月考）若“ ”是“ ”的充分非必要条件，
则 的取值范围是 ， ．
【解答】解：由 可得 ，
由于“ ”是“ ”的充分非必要条件，
所以 ．
故答案为： ， ．
14.（2022秋•大通县期末）已知命题 ， ，则 为 ，
．
【解答】解：命题 ， ，
则 为 ， ．
故答案为： ， ．15.（2022秋•开福区校级期末）命题“ ， ”的否定是 ，
．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题“ ， ”的否定是： ， ．
故答案为： ， ．
16.（2023•当涂县校级开学）设命题 ，命题 ，若 是 的
充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ， ．
【解答】解：命题 ，
则 ，解得 ，
命题 ，
是 的充分不必要条件，
则 表示的集合是 表示集合的真子集，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
17.（2021秋•和平区校级期末）设全集是 ，集合 ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）若 ，
当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，
综合得 ，
（2）条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，
则 ，
且等号不能同时成立，
解得 ．
18.（2023•大荔县一模）已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）当 时，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时，
，
又 或 ，
．
（2）当 时， ，
是 的充分条件， ，
或 ，
或 ，又 ，
，实数 的取值范围为 ， ．
