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专题一 集合、常用逻辑用语与不等式 ５
1.2 常用逻辑用语
学生用书P179
@"Q+K ,#R+K
2 . 3@
" # " # QR+> ,RQ+>
" # # " QR+> ,RQ+>
>
P55
" # " # QR+> ,RQ+>
" #
"⊂# QR+> ,
*ED*A #⊂" RQ+>
" #
5
5%
/ /F@ M F@ M
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0 3 .+Y,Q Y / .+2Y,Q Y /
> F@
0@ ∀Y.,Q Y ∃Y.,Q Y
F/0 P55
∃Y., Q Y ∀Y., Q Y
M+ M+,,
学生用书P179
题型 充分条件与必要条件的判断及应用 充分不必要条件
Ａ．
必要不充分条件
1.充分、必要条件的判断方法 Ｂ．
既不充分也不必要条件
定义法 根据ｐ ｑ ｑ ｐ是否成立进行判断． Ｃ．
（１） ： ⇒ ， ⇒
充要条件
集合法 根据ｐ ｑ成立与对应的集合间的关系进行判断． Ｄ．
（２） ： ，
解析 （定义法） 因为ａ ａ ａ （ｍ ）ｄ ａ （ｎ ）ｄ
2.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 ｍ＋ ｎ＝ １＋ －１ ＋ １＋ －１ ＝
ａ ａ （ ｐ ）ｄ，ａ ｄ ｐｄ （ｍ ｎ）ｄ，因为ｍ ｎ ｐ，所以ａ
（１） 把充分 、 必要条件转化为集合之间的关系． ２ ｐ＝ １＋ ２ －１ １＝ ＋２ － ＋ ＋ ＝２ １＝
ｄ，则充分性成立．因为ａ ｄ，所以ａ ａ （ｍ ）ｄ ｄ （ｍ ）ｄ
（２）
根据集合之间的关系列出关于参数的不等式
（
组
）
求解． １＝ ｍ＝ １＋ －１ ＝ ＋ －１
ｍｄ，ａ ａ （ｎ ）ｄ ｄ （ｎ ）ｄ ｎｄ，ａ ａ （ ｐ ）ｄ ｄ
例 （ ２０２４ 江苏南通大联考， ２ ）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 是公差为ｄ的等 （ ＝ ｐ ） ｎ ｄ ＝ １ ｐ ＋ ｄ，因 －１ 为ｍ ＝ ｎ ＋ ｐ － ，所 １ 以 ＝ ａ ａ ２ ｐ＝ ａ １ ， ＋ 则 ２ 必 － 要 １ 性成 ＝ 立 ＋ ．
差数列 ， 对正整数ｍ ， ｎ ， ｐ ， 若ｍ ＋ ｎ ＝２ ｐ ， 则ａ ｍ＋ ａ ｎ＝ ａ ２ ｐ 是ａ １＝ ｄ的 故 ２ ａ －１ ａ ＝ ａ ２ 是ａ ｄ的 ＋ 充 ＝ 要 ２ 条件．故选 ｍ＋ ｎ＝ ２ ｐ
Ｄ ｍ＋ ｎ＝ ２ ｐ １＝ Ｄ．
（ ）
学生用书P4
２．（
２０２１
天津，
２
，
５
分，易）已知ａ
∈
Ｒ
，
则
“
ａ
＞６”
是
“
ａ２
＞３６”
的
Ａ
（ 新课标 ， ， 分，易）已知命题 ｐ ｘ Ｒ ｘ 命 （ ）
２０２４ Ⅱ ２ ５ ：∀ ∈ ，｜ ＋１｜＞１； 充分不必要条件
题ｑ ｘ ｘ３ ｘ．则 Ｂ Ａ．
：∃ ＞０， ＝ （ ） 必要不充分条件
ｐ和ｑ都是真命题 Ｂ．
Ａ． 充要条件
¬ｐ和ｑ都是真命题 Ｃ．
Ｂ．
既不充分也不必要条件
ｐ和¬ｑ都是真命题 Ｄ．
Ｃ．
３．（ 北京， ， 分，易）设函数 ｆ ｘ 的定义域为 则
¬ｐ和¬ｑ都是真命题 ２０２１ ３ ４ （ ） ［０，１］，
Ｄ．
ｆ ｘ 在区间 上单调递增 是 ｆ ｘ 在区间 上的最
“ （ ） ［０，１］ ” “ （ ） ［０，１］
考点 充分条件与必要条件 学生用书P4
大值为ｆ 的 Ａ
（１）” （ ）
１．（ 天津， ， 分，易）已知ａ ｂ Ｒ 则 ａ２ ｂ２ 是 ａ２ ｂ２ 充分而不必要条件
２０２３ ２ ５ ， ∈ ， “ ＝ ” “ ＋ ＝ Ａ．
ａｂ 的 Ｂ 必要而不充分条件
２ ” （ ） Ｂ．
．充分不必要条件 充分必要条件
Ａ Ｃ．
．必要不充分条件 既不充分也不必要条件
Ｂ Ｄ．
．充要条件 ４．（ 浙江， ， 分，易）设ｘ Ｒ 则 ｘ 是 ｘ 的
Ｃ ２０２２ ４ ４ ∈ ， “ｓｉｎ ＝１” “ｃｏｓ ＝０”
．既不充分也不必要条件 Ａ
Ｄ （ ）
６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
充分不必要条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
Ａ． Ｄ．
必要不充分条件 ７．（ 北京， ， 分，中）已知α β Ｒ 则 存在ｋ Ｚ使得α
Ｂ． ２０２０ ９ ４ ， ∈ ， “ ∈ ＝
充分必要条件 ｋ ｋβ 是 α β 的 Ｃ
Ｃ． π＋（－１） ” “ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ” （ ）
既不充分也不必要条件 充分而不必要条件
Ｄ． Ａ．
５．（ 浙江， ， 分，易）已知非零向量ａ ｂ ｃ 则 ａ ｃ ｂ 必要而不充分条件
２０２１ ３ ４ ， ， ， “ · ＝ · Ｂ．
ｃ 是 ａ ｂ 的 Ｂ 充分必要条件
” “ ＝ ” （ ） Ｃ．
充分不必要条件 既不充分也不必要条件
Ａ． Ｄ．
必要不充分条件 ８．（ 新课标 ， ， 分，中）记Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和 设
Ｂ． ２０２３ Ⅰ ７ ５ ｎ ｛ ｎ｝ ，
充分必要条件 {Ｓ }
Ｃ． 甲 ａ 为等差数列 乙 ｎ 为等差数列 则 Ｃ
既不充分也不必要条件 ：｛ ｎ｝ ； ： ｎ ， （ ）
Ｄ．
６．（
２０２３
全国甲理，
７
，
５
分，中）设甲
：ｓｉｎ
２α
＋ｓｉｎ
２β
＝１，
乙
：ｓｉｎ
α
＋ Ａ．
甲是乙的充分条件但不是必要条件
β 则 Ｂ 甲是乙的必要条件但不是充分条件
ｃｏｓ ＝０， （ ） Ｂ．
甲是乙的充分条件但不是必要条件 甲是乙的充要条件
Ａ． Ｃ．
甲是乙的必要条件但不是充分条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
Ｂ． Ｄ．
甲是乙的充要条件
Ｃ．
则 ａ α 是 ａ ｂ 的 Ｂ
学生用书P5 “ ∥ ” “ ∥ ” （ ）
充分不必要条件
１．（ 山东省实验中学针对性考试， ）已知ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ Ａ．
２０２４ ２ ， ∈ ， ＞０， ＞ 必要不充分条件
则 ａｂ 是 ａ ｂ 的 Ｄ Ｂ．
０， “ ＞１” ｌｎ ·ｌｎ ＞０” （ ） 充分必要条件
充要条件 Ｃ．
Ａ． 既不充分也不必要条件
充分不必要条件 Ｄ．
Ｂ． ６．（ 河南洛平济许联考， ）设 ｐ ｘ ｑ ｘ
必要不充分条件 ２０２４ ４ ：０＜ｌｎ（ －２）≤ｌｎ ３， ：（ －
Ｃ． ｍ ｘ ｍ ．若ｐ是ｑ的充分不必要条件 则实数ｍ的
既不充分也不必要条件 ２ ）（ －２ －３）≤０ ，
Ｄ． 取值范围是 Ｃ
２．（ 江苏苏州适应性考试， ）已知向量 ａ ｂ ｘ （ ）
２０２４ ２ ＝（２，３）， ＝（ ， [ ) ( ) [ ] ( ]
则 ｘ 是 ａ和ｂ的夹角是锐角 的 Ｂ ３ ３ ３ ３
６）， “ ＞－９” “ ” （ ） Ａ． １， Ｂ． １， Ｃ． １， Ｄ． １，
充分不必要条件 ２ ２ ２ ２
Ａ． ７．（ 河北石家庄一模， ）已知命题 ｐ ｘ ｘ
必要不充分条件 ２０２４ ３ ：∀ ∈（０，＋∞），ｅ ＞
Ｂ． ｘ 则 Ｄ
充分必要条件 ｌｎ ， （ ）
Ｃ． ｐ是假命题 ¬ｐ ｘ ｘ ｘ
既不充分也不必要条件 Ａ． ， ：∃ ∈（－∞，０），ｅ ≤ｌｎ
Ｄ． ｐ是假命题 ¬ｐ ｘ ｘ ｘ
３．（ 广东广州二模， ）某次考试后 甲 乙 丙 丁四位同学讨 Ｂ． ， ：∃ ∈（０，＋∞），ｅ ≤ｌｎ
２０２４ ４ ， 、 、 、 ｐ是真命题 ¬ｐ ｘ ｘ ｘ
论其中一道考题 各自陈述如下 甲说 我做错了 乙说 甲做对 Ｃ． ， ：∃ ∈（－∞，０），ｅ ≤ｌｎ
， ， ： ； ： ｐ是真命题 ¬ｐ ｘ ｘ ｘ
了 丙说 我做错了 丁说 我和乙中有人做对．已知四人中只有 Ｄ． ， ：∃ ∈（０，＋∞），ｅ ≤ｌｎ
； ： ； ： ８．（ 山东聊城一模， ）已知数列 ａ 满足 ａ ａ 则
一位同学的解答是正确的 且只有一位同学的陈述是正确的 ２０２４ ６ ｛ ｎ｝ ｎ ＋１＝３ ｎ＋２，
， ， ａ 是 ａ 是等比数列 的 Ｃ
则解答正确的同学是 Ｃ “ １＝－１” “｛ ｎ｝ ” （ ）
（ ） 充分不必要条件
甲 乙 Ａ．
Ａ． Ｂ． 必要不充分条件
丙 丁 Ｂ．
Ｃ． Ｄ． 充要条件
４．（ 湖南师大附中月考（七）， ）已知定义在 Ｒ 上的函数 Ｃ．
２０２４ ３ 既不充分也不必要条件
ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且在 上单调递减 对于实 Ｄ．
（ ） （－ ）－（ ）＝ ０， ［０，＋∞） ， ９．（多选）（ 广东广州华南师大附中调研， ）下列是ａ ｂ ｃ
数ａ ｂ 则 ａ２ ｂ２ 是 ｆ ａ ｆ ｂ 的 Ｃ ２０２４ ９ ＞ ＞
， ， “ ＜ ” “ （ ）＞（ ）” （ ） ａ ｂ ｃ 的必要条件的是 ＣＤ
充分不必要条件 （ ， ， ≠０） （ ）
Ａ． ａｃ ｂｃ ａｃ ２ ｂｃ ２
必要不充分条件 Ａ． ＞ Ｂ．（ ） ＞（ ）
Ｂ． ａ － ｃ ａ － ｂ ａ ＋ ｂ ｂ ＋ ｃ
充要条件 Ｃ．２ ＞２ Ｄ．７ ＞７
Ｃ． １０．（ 重庆质量检测， ）若命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｍｘ ｍ
既不充分也不必要条件 ２０２４ １２ “∃ ∈ ，－ －２ ＋２ －３
Ｄ． 为真命题 则ｍ的取值范围为 （ ， ］ ［ ， ） ．
５．（ 山东青岛一模， ）已知直线ａ ｂ和平面α ａ α ｂ α ≥０” ， －∞ －３ ∪ １ ＋∞
２０２４ ３ ， ， ⊄ ， ⊂ ，
