文档文本内容
专题一 集合、常用逻辑用语与不等式 ７
1.3 不等式
学生用书P180
/:B C⇔C B
E:B C,C D⇒B D
0 :B C⇔B D C D
+ :B C,D 0⇒BD CD B C D 0⇒BD CD
:B C 0⇒BO CO O/
B
:B C 0⇒ OB OC O/,O2
1 1
":B C,BC 0⇒
B C
0+?"
0+
? CBD/BY CY D 0 B 0 +
B?"
? 0 ? 0 ? 0
P55
Z Z Z
Z BY CY D
B 0 + A
0 Y Y Y 0 Y Y Y 0 Y
BY CY D 0 C !
Y Y Y Y Y Y
B 0 + B
0
+
B
B
Y
0
C
+
Y
?
D
K
0 Y]Y Y
Y Y
YY
C
B
3
? BY CY D 0
" Y]Y Y Y
B 0 +?K
0
0+?"
G Y
0 0 ⇔G Y eH Y 0 0
H Y
G Y G Y eH Y 0 0
0 0 ⇔
H Y H Y 0
B C
8B 0,C 0, BC,B C,0 /
0 / U ,0
U / ,/
0
B CBC B C3
P55
B C B C
C B
0 BC B C B C3
+
B C B C
BC B 0 C 0
B C
B C,L0+ /
0UB C DBCD B C D UB C DU0 /８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
学生用书P181
题型 一 不等式的恒成立问题 2.常数代换法：将已知式通过变形转化为右侧为 的等式 然
“１” ，
后将所求最值表达式与 的表达式相乘或相除 转化为和为
解决不等式中的恒成立问题常用以下方法： “１” ，
定值或积为定值的形式 再利用基本不等式求最值．
1.分离参数法 ，
3.利用基本不等式求多元代数式的最值问题 首先要观察多元
若不等式ｆ ｘ λ ｘ Ｄ λ为实参数 恒成立 将ｆ ｘ λ ，
（ ， ）≥０（ ∈ ， ） ， （ ， ）≥ 代数式是否满足直接利用基本不等式求最值的条件 若不满
转化为λ ｇ ｘ 或λ ｇ ｘ ｘ Ｄ 恒成立 进而转化为λ ，
０ ≥ （ ） ≤ （ ）（ ∈ ） ， 足 可以尝试对表达式进行等价变形 配凑成能用基本不等式
ｇ ｘ 或λ ｇ ｘ 求ｇ ｘ ｘ Ｄ 的最值即可． ， ，
≥ （ ）ｍａｘ ≤ （ ）ｍｉｎ， （ ）（ ∈ ） 的形式 若条件和式子比较复杂 则可先利用消元法 换元法
该方法适用于参数与变量能分离 函数最值易求的题目． ， ， 、
， 等进行转化 再利用基本不等式求解 注意转化的等价性和
2.主参换位法 ， ，
新元 的取值范围 同时也要检验基本不等式中等号成立的
变换思维角度 即把变量与参数变换位置 构造以参数为变量 “ ” ，
， ， 条件．
的函数 根据原变量的取值范围列式求解．一般地 条件给出
， ， 例3 （ 豫东、豫北十所名校联考， ）已知正数 ａ ｂ 满足
谁的范围 就看成有关谁的函数 利用函数单调性求解． ２０２４ ７ ，
， ，
3.数形结合法 ａ２ｂ ａｂ２ ａ ｂ 则 ａ ３ ｂ的最小值为 Ｄ
４ ＋６ ＝６ ＋ ， ２ ·（ ２） （ ）
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴 区间端点的
、 Ａ．１６ Ｂ．８ ２ Ｃ．８ Ｄ．４
函数值或函数图象的位置 相对于ｘ轴 关系求解． ａ ｂ
（ ） 解析 依题意知， ａｂ（ ａ ｂ） ａ ｂ，故 ａ ｂ ６ ＋ １
此外 若涉及的不等式能转化为一元二次不等式 则可结合相 ２ ２ ＋３ ＝６ ＋ ２ ＋３ ＝ ａｂ ＝ ａ＋
， ， ２ ２
应一元二次方程根的分布解决问题． ( ) ｂ ａ
３ ，所以（ ａ ｂ）２ １ ３ ·（ ａ ｂ） ３ ６
例1 设函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｍｘ２
－
ｍｘ
－１（
ｍ
≠０），
若对任意的ｘ
∈［１，３］，
ｂ ２ ＋３ ＝
２
ａ＋ ｂ ２ ＋３ ＝ １０＋
２
ａ＋ ｂ ≥１０＋
ｆ ｘ ｍ 恒 成 立 则 ｍ 的 取 值 范 围 是 ｂ ａ ｂ ａ
（ ） ＜ － ＋ ５ ， ３ ·６ ，当且仅当３ ６ ，即ｂ ａ时等号成立，故 ａ
{ } ２ ａ ｂ ＝１６ ａ＝ ｂ ＝２ ２
２ ２
ｍ ｍ 或 ｍ ６ ．
＜０ ０＜ ＜ ｂ ，则 ａ·（ ）３ ｂ （ ）２ ａ ＋３ ｂ （ ）４ ，则 ａ·（ ）３ ｂ的
７ ＋３ ≥４ ２ ２ ＝ ２ ≥ ２ ＝４ ２ ２
解析 （分离参数法） 要使ｆ（ｘ）
＜－
ｍ
＋５
在ｘ
∈
［
１
，
３
］上恒
最小值为
４
．故选
Ｄ．
成立，即ｍｘ２
－
ｍｘ
＋
ｍ
－６＜０
在ｘ
∈
［
１
，
３
］上恒成立， 例4 （
２０２４
安徽江淮名校调研，
１５
）已知正实数ａ
，
ｂ满足
９
ａ２
＋
因为ｘ２
－
ｘ
＋１＝
( ｘ
－
１ ) ２
＋
３
＞０
，
４
ｂ２
＝１６，
则
ａ
１２ ａ
ｂ
ｂ 的最大值为
４ ２＋４
．
２ ４ ３ ＋２ －４
解析 （换元法） 令ｘ ａ，ｘ ，ｙ ｂ，ｙ ，则ｘ２ ｙ２ ，
又因为ｍ（ｘ２ ｘ ） ，所以ｍ ６ ． ＝３ ＞０ ＝２ ＞０ ＋ ＝１６
－ ＋１ －６＜０ ＜ｘ２ － ｘ ＋１ 所以 １２ ａｂ ２ ｘｙ （ｘ ＋ ｙ）２ － ｘ２ － ｙ２ （ｘ ＋ ｙ）２ －１６ ｘ ｙ ，又
ａ ｂ ＝ｘ ｙ ＝ ｘ ｙ ＝ ｘ ｙ ＝ ＋ ＋４
因为函数ｙ ６ ６ 在［ ， ］上的最小值为 ６ ， ３ ＋２ －４ ＋ －４ ＋ －４ ＋ －４
＝ｘ２ － ｘ ＋１ ＝( ｘ １ ) ２ ３ １ ３ ７ 知 (ｘ ＋ ｙ) ２ ｘ２ ＋ ｙ２ ，所以ｘ ｙ ，从而得ｘ ｙ ，
－ ＋ ≤ ＝８ ＋ ≤４ ２ ＋ ＋４≤４ ２＋４
２ ４ ２ ２
所以只需ｍ ６ 即可． 当且仅当ｘ ｙ 时等号成立，故 １２ ａｂ 的最大值为 ．
＜ ＝ ＝２ ２ ａ ｂ ４ ２＋４
７ ３ ＋２ －４
{ }
创新考法
因为ｍ ，所以ｍ的取值范围是 ｍ ｍ 或 ｍ ６ ．
≠０ ＜０ ０＜ ＜
７ 例 （ 九省联考， ）以 Ｍ表示数集Ｍ中最大的数．设
例2 当 ｐ 时 不等式ｘ２ ｐｘ ｘ ｐ 恒成立 则ｘ的取 ２０２４ １４ ｍａｘ
０≤ ≤４ ， ＋ ＞４ ＋ －３ ， ａ ｂ ｃ 已知ｂ ａ或ａ ｂ 则 ｂ ａ ｃ ｂ ｃ 的最
值范围是 Ｄ ０＜ ＜ ＜ ＜１， ≥２ ＋ ≤１， ｍａｘ｛ － ， － ，１－ ｝
（ ）
小值为 １ ．
Ａ．［－１，３］ Ｂ．（－∞，－１］
５
Ｃ．［３，＋∞） Ｄ．（－∞，－１）∪（３，＋∞） {ｘ ｂ ａ， {ａ ｘ ｙ ｚ，
解析 主参换位法 不等式ｘ２
＋
ｐｘ
＞４
ｘ
＋
ｐ
－３
可化为（ｘ
－１
）ｐ
解析 设 ｙ
＝
ｃ
－
ｂ，那么 ｂ
＝１－
ｙ
－
ｚ，
－
＝ － ＝１－ －
＋
ｘ２
－４
ｘ
＋３＞０
，
ｚ ｃ， ｃ ｚ．
＝１－ ＝１－
令ｆ（ｐ） ＝ （ｘ －１ ）ｐ ＋ ｘ２ －４ ｘ ＋３ （ ０≤ ｐ ≤４ ）， 若ｂ ａ，则 ｙ ｚ （ ｘ ｙ ｚ），从而 ｘ ｙ ｚ ，
① ≥２ １－ － ≥２ １－ － － ２ ＋ ＋ ≥１
则 {ｆ（ ０ ） ＝ ｘ２ －４ ｘ ＋３＞０ ， ｘ 或ｘ ． {ｍ ≥ ｘ，
ｆ（ ４ ） ＝４ （ｘ －１ ） ＋ ｘ２ －４ ｘ ＋３＞０ ，∴ ＜－１ ＞３ 记ｍ ＝ｍａｘ ｛ｂ － ａ，ｃ － ｂ， １－ ｃ｝，从而 ｍ ≥ ｙ，
ｍ ｚ，
题型 二 利用基本不等式求最值 ≥
所以 ｍ ｘ ｙ ｚ ，解得ｍ １ ．
1.配凑法：将代数式进行适当变形 通过添项 拆项 变系数等 ４ ≥２ ＋ ＋ ≥１ ≥
， 、 、 ４
方法 配凑成和为定值或积为定值的形式 然后利用基本不等 若ａ ｂ ，则 ｘ ｙ ｚ ｙ ｚ ，
， ， ② ＋ ≤１ １－ － － ＋１－ － ≤１
式求最值． 从而ｘ ｙ ｚ ，
＋２ ＋２ ≥１
专题一 集合、常用逻辑用语与不等式 ９
{ｍ ｘ， 风向解读 本题注重对思维品质的考查
≥
记ｍ ＝ｍａｘ ｛ｂ － ａ，ｃ － ｂ， １－ ｃ｝，从而 ｍ ≥ ｙ， {ｂ － ａ ＝ ｘ，
ｍ ≥ ｚ， 由于目标函数变量较多，采用换元法令 ｃ － ｂ ＝ ｙ，使其命题简洁
所以 ５ ｍ ≥ ｘ ＋２ ｙ ＋２ ｚ ≥１ ，解得ｍ ≥ １ ． １－ ｃ ＝ ｚ，
５ 易懂，原命题等价于求Ｍ ｛ｘ，ｙ，ｚ｝的最小值．依据约束条
＝ｍａｘ
综上，ｍ １ ， 件，分为两个子命题探究．突显了新高考改革的命题特点和
≥
５ 趋势．
即 ｛ｂ ａ，ｃ ｂ， ｃ｝的最小值为 １ ．
ｍａｘ － － １－
５
考点 1 不等式的性质与解法 学生用书P6
考点 2 基本不等式 学生用书P6
１．（ 浙江， ， 分，难）已知ａ ｂ Ｒ且ａｂ 对于任意ｘ
２０２０ ９ ４ ， ∈ ≠０， ≥０ １．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）已知ａ ｂ 且ａ ｂ
２０２０ Ⅰ １１ ５ ＞０， ＞０， ＋ ＝
均有 ｘ ａ ｘ ｂ ｘ ａ ｂ 则 Ｃ
（ － ）（ － ）（ －２ － ）≥０， （ ） 则 ＡＢＤ
１， （ ）
ａ ａ ｂ ｂ
Ａ． ＜０ Ｂ． ＞０ Ｃ． ＜０ Ｄ． ＞０
２．（ 天津文， ， 分，易）设ｘ Ｒ 使不等式 ｘ２ ｘ 成 Ａ． ａ２ ＋ ｂ２ ≥ １ Ｂ．２ ａ － ｂ ＞ １
２０１９ １０ ５ ∈ ， ３ ＋ －２＜０ ２ ２
( )
立的ｘ的取值范围为 ，２ ． ａ ｂ ａ ｂ
－１ Ｃ．ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ ≥－２ Ｄ． ＋ ≤ ２
３ ２．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）若ｘ ｙ满足ｘ２ ｙ２ ｘｙ
３．（ 北京理， ， 分，中）李明自主创业 在网上经营一家水 ２０２２ Ⅱ １２ ５ ， ＋ － ＝
２０１９ １４ ５ ， 则 ＢＣ
果店 销售的水果中有草莓 京白梨 西瓜 桃 价格依次为 １， （ ）
， 、 、 、 ， ｘ ｙ ｘ ｙ
元／盒 元／盒 元／盒 元／盒．为增加销量 李明对 Ａ． ＋ ≤１ Ｂ． ＋ ≥－２
６０ 、６５ 、８０ 、９０ ， ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
这四种水果进行促销 一次购买水果的总价达到 元 顾客 Ｃ． ＋ ≤２ Ｄ． ＋ ≥１
： １２０ ， ３．（ 江苏， ， 分，中）已知 ｘ２ｙ２ ｙ４ ｘ ｙ Ｒ 则ｘ２ ｙ２
就少付ｘ元．每笔订单顾客网上支付成功后 李明会得到支付 ２０２０ １２ ５ ５ ＋ ＝１（ ， ∈ ）， ＋
，
款的 ％． 的最小值是 ４ ．
８０
５
当ｘ 时 顾客一次购买草莓和西瓜各 盒 需要支付
① ＝１０ ， １ ，
４．（ 天津， ， 分，中）已知ａ ｂ 且ａｂ 则 １ １
元 ２０２０ １４ ５ ＞０， ＞０， ＝１， ａ＋ ｂ＋
１３０ ； ２ ２
在促销活动中 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于
② ， ８ 的最小值为 ．
促销前总价的七折 则ｘ的最大值为 ． ａ ｂ ４
， １５ ＋
ｘ
学生用书P6 ｘ １ １
Ｃ．ｌｏｇ２（２ ）·ｌｏｇ２ ＋８ Ｄ． ２ｘ＋ ２ｘ
１．（ 湖南雅礼中学月考（六）， ）若实数ａ ｂ满足ａ２ ｂ２ ８ ｓｉｎ ｃｏｓ
２０２４ ２ ， ＞ ＞０， ５．（多选）（ 河南郑州一中等名校联盟联考， ）下列说法正
则下列不等式中成立的是 Ｄ ２０２４ ９
（ ） 确的是 ＡＢ
ａ ｂ ａ ｂ （ ）
Ａ． ＞ Ｂ．２ ＞２ 若ａ ｂ 则ａ３ ｂ３
ａ ｂ ａ２ ｂ２ Ａ． ＋ ＜０， ＋ ＜０
Ｃ． ＞｜ ｜ Ｄ．ｌｏｇ２ ＞ｌｏｇ２ 若 ａ ｂ ａ ｂ 则 ａ ｂ
Ｂ． １≤ － ≤２，２≤ ＋ ≤４， ５≤４ －２ ≤１０
２．（ 安徽 联盟质量检测， ）已知ｍ ｎ １ ｎ ａ
２０２４ Ａ１０ ３ ， ∈（０，＋∞），ｍ＋ 若正实数ａ ｂ满足 ａ ｂ 则 １ 的最小值为
Ｃ． ， ２ ＋ ＝１， ａ ＋ ｂ ２
则ｍ ９ 的最小值为 Ｂ
＝４， ＋ ｎ （ ） 若正实数ａ ｂ满足 ａ ｂ 则 ａ２ ｂ２ 的最大值为 １
Ｄ． ， ２ ＋ ＝１， ４ ＋
２
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ６．（多选）（ 黑龙江顶级名校开学考， ）下列说法正确的是
３．（ 河北邯郸一模， ）若ｘ ｙ ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 的最 ２０２４ ９
２０２４ ３ ＞０， ＞０，３ ＋２ ＝１， ８ ＋４ ＢＣＤ
小值为 Ｂ （ ）
（ ） 若ａ ｂ 则ａ２ ｂ２
Ａ． ＞ ， ＞
Ａ． ２ Ｂ．２ ２ 若ａ ｂ 则ａ ｂ
Ｂ． ＞ ， －２＞ －３
Ｃ．３ ２ Ｄ．４ ２ Ｃ．
若ａｃ２
＞
ｂｃ２
，
则ａ
＞
ｂ
４．（多选）（ 河北名校联合体开学考， ）下列式子中最小值 ｂ ｂ ｍ
２０２４ ９ 若ａ ｂ ｍ 则 ＋
为 的是 ＢＣＤ Ｄ． ＞ ＞０， ＞０， ａ ＜ａ ｍ
４ （ ） ＋
７．（多选）（ 湖北襄阳四校联考， ）若ｘ ｙ 且ｘ ｙ 则
２ｘ ４ ｘ ２－ ｘ ２０２４ １０ ， ＞０， ＋２ ＝１，
Ａ．ｓｉｎ ＋ ２ｘ Ｂ．２ ＋２ ＡＢＤ
ｓｉｎ （ ）
１ ０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ｘｙ １ ｘ ｙ 学生用书P7
Ａ． ≤ Ｂ． ＋ ２ ≤ ２
８
１． 创新知识交汇 （ 江苏苏锡常镇二模， ）已知随机变量
２０２４ ４
１ ２ ｘ２ ｙ２ １
Ｃ． ｘ ＋ ｙ ≥１０ Ｄ． ＋４ ≥
２ ξ Ｎ σ２ 且Ｐ ξ Ｐ ξ ａ 则 １ ４ ｘ ａ 的最
８．（ 河南中原名校联考， ）若关于ｘ的不等式 ａｘ２ ｂｘ ～ （１， ）， （ ≤０）＝ （ ≥ ）， ｘ ＋ａ － ｘ（０＜ ＜ ）
２０２４ １２ ０≤ ＋ ＋
小值为 Ｂ
ｃ ａ 的解集为 ｘ ｘ 则 ａ ｂ ｃ的取值范围 （ ）
≤２（ ＞０） ｛ ｜－１≤ ≤３｝， ３ ＋ ＋２
[ )
９
是 ３ ， ． Ａ．９ Ｂ． Ｃ．４ Ｄ．６
４ ２
２
２． 创新考法 （ 湖北宜荆荆适应性考试， ）有三个房间需
２０２４ ６
学生用书P7
要粉刷 粉刷方案要求 每个房间只用一种颜色 且三个房间
， ： ，
１．（ 东北三省四市教研联合体模拟， ）已知函数 ｆ ｘ
２０２４ ５ （ ）＝ 颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积 单位 ２ 分别为
（ ：ｍ ）
ｂ ａ
３ｌｏｇ２（
ｘ２
＋１－
ｘ
），
正数ａ
，
ｂ满足ｆ
（
ａ
）＋
ｆ
（３
ｂ
－１）＝０，
则３
ａ
＋
ｂ
的 ｘ
，
ｙ
，
ｚ
，
且ｘ
＞
ｙ
＞
ｚ
，
三种颜色涂料的粉刷费用
（
单位
：
元／
ｍ
２
）
分
别为ａ ｂ ｃ 且ａ ｂ ｃ．在不同的方案中 最低的总费用 单位
最小值为 Ｃ ， ， ， ＜ ＜ ， （ ：
（ ） 元 是 Ａ
） （ ）
Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．２４ ａｘ ｂｙ ｃｚ ａｚ ｂｙ ｃｘ
２．（ 湖南师大附中二模， ）已知实数ａ ｂ 则下列选项可 Ａ． ＋ ＋ Ｂ． ＋ ＋
２０２４ ６ ＞ ＞０， ａｙ ｂｚ ｃｘ ａｙ ｂｘ ｃｚ
作为ａ ｂ 的充分条件的是 Ｃ Ｃ． ＋ ＋ Ｄ． ＋ ＋
－ ＜１ （ ）
ａ ｂ １ １ １
Ａ． － ＝１ Ｂ． ｂ － ａ ＝
２
ａ ｂ ａ ｂ
Ｃ．２ －２ ＝１ Ｄ．ｌｏｇ２ －ｌｏｇ２ ＝１
３．（ 浙江镇海中学期末， ）设实数ｘ ｙ满足ｘ ３ ｙ 不
２０２４ ８ ， ＞ ， ＞３，
２
等式ｋ ｘ ｙ ｘ３ ｙ３ ｘ２ ｙ２ 恒成立 则实数ｋ的
（２ －３）（ －３）≤８ ＋ －１２ －３ ，
最大值为 Ｂ
（ ）
Ａ．１２ Ｂ．２４ Ｃ．２ ３ Ｄ．４ ３
４．（ 山东淄博二模， ）记 ｘ ｙ ｚ 表示ｘ ｙ ｚ中最大的
２０２４ ８ ｍａｘ｛ ， ， ｝ ， ，
{ }
数．已知ｘ ｙ均为正实数 则 ２ １ ｘ２ ｙ２ 的最小值为
， ， ｍａｘ ｘ ， ｙ ， ＋４
Ｃ
（ ）
１
Ａ． Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．４
２
５．（多选）（ 山东青岛二中二模， ）已知正实数ａ ｂ ｃ 且ａ ｂ
２０２４ １０ ， ， ， ＞
ｘ ｙ ｚ
ｃ ｘ ｙ ｚ为自然数 则满足 恒成立的ｘ ｙ ｚ可
＞ ， ， ， ， ａ ｂ＋ｂ ｃ＋ｃ ａ＞０ ， ，
－ － －
以是 ＢＣ
（ ）
ｘ ｙ ｚ
Ａ． ＝１， ＝１， ＝４
ｘ ｙ ｚ
Ｂ． ＝１， ＝２， ＝５
ｘ ｙ ｚ
Ｃ． ＝２， ＝２， ＝７
ｘ ｙ ｚ
Ｄ． ＝１， ＝３， ＝９
６．（多选）（ 湖北四调， ）已知ａ ｂ ａ ｂ 则下列结论
２０２４ １０ ＞ ＞０， ＋ ＝１，
正确的有 ＢＤ
（ ）
ａ ｂ的最大值为
Ａ． ＋ ２
２ ａ ２ ｂ ＋１的最小值为
Ｂ．２ ＋２ ４ ２
１ ４ 的最小值为
Ｃ． ａ ｂ＋ａ ｂ ３
２ ＋ ＋２
ａ ｂ
Ｄ． ＋ｓｉｎ ＜１
７．（ 重庆八中适应性考试， ）对任意的正实数ａ ｂ ｃ 满足
２０２４ １４ ， ， ，
ａｂ２ ａ
ｂ ｃ 则８ ＋ １６ 的最小值为 ．
＋ ＝１， ｂｃ ＋ａ １６ ２－８
＋１
