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专题 02 不等式与复数
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................11
考点一：基本不等式二元式..................................................................................................................................11
考点二：和式与积式..............................................................................................................................................13
考点三：柯西不等式二元式..................................................................................................................................16
考点四：齐次化与不等式最值..............................................................................................................................18
考点五：复数的四则运算......................................................................................................................................22
考点六：复数的几何意义......................................................................................................................................23
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，
且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，
分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值
5分，考题难度为低档.
考点要求 考题统计 考情分析
【命题预测】
2023年上海卷第6题，4分
预测2024年高考，多以小题形式出
基本不等式 2022年上海卷第14题，5分
现，不等式在高考中主要考查基本不等
2022年新高考II卷第12题，5分
式求最值、大小判断，求取值范围问2021年上海卷第16题，5分 题；预测2024年高考仍将以复数的基
2023年天津卷第13题，5分 本概念以及复数的代数运算为主要考
2023年新高考I卷第2题，5分 点，其中复数的除法运算、共轭复数及
复数的几何意义是最可能出现的命题角
2023年新高考甲卷第2题，5分
复数的四则运算
度！
2023年新高考乙卷第1题，5分
2022年新高考II卷第2题，5分
2023年新高考II卷第1题，5分
复数的几何意义 2023年上海卷第11题，5分
2022年新高考乙卷第2题，5分
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果 ，则 （当且仅当“ ”时取“ ”）．
特例： （ 同号）．（3）其他变形：
① （沟通两和 与两平方和 的不等关系式）
② （沟通两积 与两平方和 的不等关系式）
③ （沟通两积 与两和 的不等关系式）
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知 ．
（1）如果 （定值），则 （当且仅当“ ”时取“=”）．即“和为定
值，积有最大值”．
（2）如果 （定值），则 （当且仅当“ ”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一： ，当且仅当 时等号成立；
模型二： ，当且仅当 时等号成立；
模型三： ，当且仅当 时等号成立；
模型四： ，当且仅当 时
等号成立．
4、对复数几何意义的理解及应用
（1）复数 ，复平面上的点 及向量 相互联系，即 ；
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解
题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，故 正确， 错误，
，当且仅当 ，即 时取等号，故 错误，
故选： ．
2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于 ， ，
所以函数的最小值为3，故选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以等号取不到，
所以 ，故选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项 正确；
对于 ，因为当 时， ，
所以函数的最小值不是4，故选项 错误．
故选： ．
3．（2021•上海）已知两两不相等的 ， ， ， ， ， ，同时满足① ， ， ；② ；③ ，以下哪个选项恒成立
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设 ，
， ， ，
根据题意，应该有 ，
且 ，
则有 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 项正确， 错误．
， 而 上 面 已 证
，
因为不知道 的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选： ．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知 ，则
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】 ，
则 ，
故 ．
故选： ．
5．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内， 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】【解析】 ，
则在复平面内， 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．
6．（2023•甲卷）
A． B．1 C． D．
【答案】
【解析】 ．
故选： ．
7．（2023•乙卷）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】
【解析】由于 ．
故选： ．
8．（2022•新高考Ⅱ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ．
故选： ．
9．（2022•甲卷）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ，
则 ．
故选： ．
10．（2022•乙卷）已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
解得 ， ．
故选： ．
11．（2022•新高考Ⅰ）若 ，则
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】由 ，得 ，
，则 ，
．
故选： ．
12．（2021•甲卷）已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ．
故选： ．
13．（2021•新高考Ⅰ）已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，
．
故选： ．
14．（2021•新高考Ⅱ）复数 在复平面内对应点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【解析】 ，
在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ， ，位于第一象限．故选： ．
15．（2021•乙卷）设 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设 ， ， 是实数，
则 ，
则由 ，
得 ，
得 ，
得 ，得 ， ，
即 ，
故选： ．
16．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一：由 可得， ，
令 ，则 ，
， ，故 错， 对，
， ，
故 对， 错，
方法二：对于 ， ，由 可得， ，即 ，
， ，故 错， 对，
对于 ， ，由 得， ，
，故 对；， ，
，故 错误．
故选： ．
17．（2023•上海）已知正实数 、 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】 ．
【解析】正实数 、 满足 ，则 ，当且仅当 ， 时等号
成立．
故答案为： ．
18．（2021•天津）已知 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 ．
【解析】法一： ， ， ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
的最小值为 ，
法二： ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为 ，
故答案为： ．
19．（2023•上海）已知 ， 且 为虚数单位），满足 ，则 的取值范围为
．
【答案】 ， ．
【解析】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以，
显然当 时，原式取最小值0，
当 时，原式取最大值 ，
故 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
考点一：基本不等式二元式
a+b a+b
√ab≤
如果 a>0，b>0 ，那么 2 ，当且仅当a=b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均
√ab a，b a，b
数， 叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(√a+√b) 2 ≥4√ab a，b∈R+
不等式可变形为： 或 ，其中 ．
例1．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知 ， ，且 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】 ，当且仅当 时取等号．
即 的最大值为 ．
故选：A
例2．（2023·山西太原·高三统考期中）已知 （ ，且 ）， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C，首先 ，所以由基本不等式有 ，但是由于 的单调性不能确定，
故 不能比较大小，故C错误；
对于D，由于 ，所以由基本不等式可得 ，
故D正确．
故选：D．
例3．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为 ，
所以
所以 ，当且仅当 取等号
故选：D．
例4．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知函数 ，若对任意的正数 、 ，满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，即函数 为奇函数，
又因为 ，且函数 在 上为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的正数 、 ，满足 ，则 ，所以， ，即 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 ．
故选：B．
考点二：和式与积式
已知式 目标式 方法选取
和式 积式 基本不等式
积式 和式 基本不等式
和式 和式 柯西不等式
积式 积式 柯西不等式
例5．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知a，b为正实数，
且 ，则（ ）
A．ab的最大值为8 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【解析】因为 ，当且仅当 时取等号，
则 ，
解不等式得 ，即 ，故 的最大值为8，A正确；
由 得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最小值 ，B正确；
，
当且仅当 ，即 时取等号，C正确；
，
当且仅当 时取等号，此时 取得最小值 ，D错误．
故选：ABC
例6．（多选题）（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知 ， ，则
（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A， ， ，当且仅当 ，
即 取等号，故A错误，
，当且仅当 ，即 取等号，故B正确，
，故当 时，取到最小值 ，此时 ，满足题意，
故C正确，
，当且仅当 ，即 时等号成立，所以D正确
故选：BCD
例7．（多选题）（2023·湖北·高三校联考期中）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【解析】因为 ， ，且 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
易知 ，即 ，所以 ，
所以 ，故 ，当且仅当 时取等号，故B正确；
因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故C正确；
因为 ， ，且 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，又 ，
所以 ，故D错误．
故选：ABC
例8．（多选题）（2023·广东佛山·统考一模）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． 的最小值是1 B． 的最小值是
C． 的最小值是4 D． 的最小值是4
【答案】BC
【解析】对于A，由 ，得 ，当且仅当 等号成立，A错误；
对于B，由 ， ，
当且仅当 时， 的最小值是 ，故B正确；对于C， ，当且仅当 ， 时，等号成立，故C正确；
对于D， ，
当且仅当 ， 时等号成立，故D错误，
故选：BC．
例9．（多选题）（2023·新疆·高三校联考期中）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于选项A、B：由 ，整理得 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，
故A正确，B错误；
因为 ，整理得 ，
对于选项C：因为 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，故D正确；
故选：ACD．
考点三：柯西不等式二元式
a b
设a，b，c，d∈R+ ，有 (a+b)(c+d)≥(√ac+√bd) 2 当且仅当c = d 时等号成立．例10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小
值是
【答案】36
【解析】由 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
故答案为：36
例11．（2023·浙江台州·高三统考期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /0．5
【解析】由柯西不等式
而 ，所以 时等号成立，
故答案为： ．
例12．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为
．
【答案】 /
【解析】由题设， ，则 ，
又 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，当且仅当 时等号成立．
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
例13．（2023·浙江宁波·高三镇海中学校考开学考试）若非负实数a，b，c的和为1，则的最小值是 ．
【答案】2
【解析】由于非负实数 ， ， 的和为1，即 ，
根据对称性知，当 时， ，即取得最小值为
2，
不妨设 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
此时 ，
利用不等式 ，得 ，
要证不等式 成立，只需证明 ，
两边平方，化简得 ，由柯西不等式知该不等式成立，
所以不等式 成立，当且仅当 或其中一个为1、其余两个为0时等号成立．
所以 的最小值为2．
故答案为：2．
考点四：齐次化与不等式最值
关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
例14．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知 （ ），则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值是 ；
故选：A
例15．（2023·重庆·高三校联考阶段练习）对于所有的正实数 ，都有 成立，则整数
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题设 ，令 ，则 ，
所以 ，在 上恒成立，
当 ，则 ，不满足题设；
当 ， 对称轴为 ，只需 ，可得 ．
综上， ，故整数 的最小值为2．
故选：B
例16．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知 ， ， ，则 的最小
值为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取得等号．
故选：A
例17．（2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知 ， ， ，则 的最小
值为（ ）
A．4 B．
C． D．
【答案】D【解析】因为 ， ， ，
所以原式
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：D．
例18．（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
令 ， ，则 ， ，
，
当且仅当 且 ，即 ， 时，等号成立，
所以 ，故 有最小值 ．
故选：D．
例19．（2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知正数 ， 满足
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ，
令 ， ，则 ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 有最小值 ．
故选：B
例20．（2023·山东青岛·高一统考开学考试）已知 ， ， ，则
（ ）
A．S的最大值是 B．S的最大值是
C．S的最大值是 D．S的最大值是
【答案】B
【解析】∵
，
令 ，
∵ ， ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，可得 ，
又∵ 在 上单调递增，则 ，
∴ ，即S的最大值是 ．
故选：B．考点五：复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
例21．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ．
故选：A
例22．（2023·全国·模拟预测） （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】 ．
故选：B
例23．（2023·浙江·统考一模）若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
所以 ．
故选：A
例24．（2023·浙江杭州·高三统考期中）设复数 （i为虚数单位），则 （ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
例25．（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知 是虚数单位，则复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ．
故选：D．
考点六：复数的几何意义
复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离．例26．（2023·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）若复数 （ 为虚数单位），则复数 在
复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】 在复平面上对应的点为 ，该点在第一象限，
故选：A．
例27．（2023·山西·校考模拟预测）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
则复数 在复平面内对应的点为 ，该点位于第二象限．
故选：B．
例28．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知复数 满足 ，则在复平面内复数 对应的
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
在复平面内复数 对应的点为 ，位于第一象限．
故选：A．
例29．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么 取最大值时的
复数z为（ ）
A． + i B． + i C． i D． i
【答案】A
【解析】复数 满足条件 ，它是复平面上的单位圆，那么 表示单位圆上的点到 的
距离，要使此距离取最大值的复数 ，就是 和 连线和单位圆在第一象限的交点 ．
点 到原点距离是2．单位圆半径是1，又 ，所以 ．
故对应的复数为 ．
故选：A
