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专题 10 数列不等式的放缩问题
目 录
01 先求和后放缩..................................................................................................................................1
02 裂项放缩..........................................................................................................................................3
03 等比放缩..........................................................................................................................................4
04 型不等式的证明.....................................................................................................5
05 型不等式的证明....................................................................................................7
06 型不等式的证明...........................................................................................................9
07 型不等式的证明........................................................................................................11
01 先求和后放缩
1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ______请在 是公差为 的等差数列； 是公比为 的等比数
列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求 的通项公式
(2)在 与 之间插入 个实数，使这 个数依次组成公差为 的等差数列，数列 的前 项和 ，
证明：
2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且
成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列 的前n项和 ，数列 满足： ，
．
(1)证明： 是等比数列；(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求
(3)设数列 满足： ．证明： ．
4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 .证明：对一切正整数 ， .
02 裂项放缩
5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .6．（2023·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，
且 ， ， ， .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 ；
(3)求证： .
7．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列 满足 ，
.
(1)判断数列 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列 的前10项和为361，记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .8．（2023·河北唐山·模拟预测）已知 和 是公差相等的等差数列，且公差 的首项 ，
记 为数列 的前 项和， ．
(1)求 和 ；
(2)若 的前 项和为 ，求证： ．
03 等比放缩
9．（2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，
是 与 的等差中项．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求 的取值范围．
(3)设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
10．（2023·全国·高三专题练习）求证： （ ）.11．（2023·重庆·高三统考阶段练习）记数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求证： .
04 型不等式的证明
12．（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 （ ）.
(1)证明： ；
(2)若正项数列 满足 ，且 ，记 的前 项和为 ，证明： （ ）.
13．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知函数 .
(1)证明：当 时， 恒成立；
(2)首项为 的数列 满足：当 时，有 ，证明： .14．（2023·重庆·高三校联考期中）设数列 的前 项之积为 ，满足 .
(1)设 ，求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 的前 项之和为 ，证明： .
15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列 满足
，且 .（函数 求导 次可用 表示）
(1)求 的通项公式.
(2)求证：对任意的 ， ，都有 .
16．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)数列 的前 项和为 ，且 ；
（ⅰ）求 ；（ⅱ）求证： ．
17．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明： .
18．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上只有一个零点，求 的取值范围；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
05 型不等式的证明
19．（2023·黑龙江大庆·高二大庆一中校考阶段练习）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点
P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；(2)证明： .
20．（2023·浙江温州·高二校联考期末）已知数列 ， 满足 ， ，且 ，
.
（1）求 及 ；
（2）猜想 ， 的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的 ， .
21．（2023·山东青岛·高二统考期末）在各项为正数的数列 中， ，点 在曲线
上；对于数列 ，点 在过点 ，且以 为方向向量的直线 上．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，问是否存在 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由；(3)对任意正整数 ，不等式 都成立，求实数 的取值范围．
06 型不等式的证明
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数 ．
(1)证明：对 恒成立；
(2)是否存在 ，使得 成立？请说明理由．
23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 为数列 的前n项和，已知
.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 且 ， 的前n项和为 ，证明: .24．（2023·四川成都·高一成都七中校考期末）已知数列 满足 ， （其中
）
(1)判断并证明数列 的单调性；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
25．（2023·河南·校联考模拟预测）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)已知当 时， ，证明： .
26．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公
比不为1的等比数列，满足 ， ， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若数列 满足 ， ，记 ．是否存在整数 ，使得对任意的 都有成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
27．（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)是否存在实数 ，使得数列 为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
(2)记数列 的前 项和为 ，当 时，求证： .
28．（2023·江西宜春·高二奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）若 在 处有极值，问是否存在实数m，使得不等式 对任意 及
恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. ；
（2）若 ，设 .
①求证：当 时， ；
②设 ，求证：
07 型不等式的证明29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， ．令 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
30．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知数列 ， ， 为数列 的前n
项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知当 时，不等式 恒成立，证明： ．
31．（2023·山东日照·高二统考期末）已知各项均为正数的数列 ，满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明．
