文档内容
专题 07 函数与导数常考压轴解答题
目 录
01 含参数函数单调性讨论...................................................................................................................2
02 导数与数列不等式的综合问题........................................................................................................3
03 双变量问题......................................................................................................................................7
04 证明不等式....................................................................................................................................12
05 极最值问题....................................................................................................................................15
06 零点问题........................................................................................................................................18
07 不等式恒成立问题.........................................................................................................................26
08 极值点偏移问题与拐点偏移问题..................................................................................................31
09 利用导数解决一类整数问题..........................................................................................................39
10 导数中的同构问题.........................................................................................................................42
11 洛必达法则....................................................................................................................................46
12 导数与三角函数结合问题..............................................................................................................4901 含参数函数单调性讨论
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性.
【解析】由已知可得， ，定义域为 ，
所以 .
（ⅰ）当 时， .
当 时，有 ， 在 上单调递增；
当 时，有 ， 在 上单调递减.
（ⅱ）当 时， ，
解 ，
可得 ，或 （舍去负值），且 .
解 可得， 或 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
解 可得， ，所以 在 上单调递减.
（ⅲ）当 时， 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性．
【解析】由题设 且 ，
当 时 在 上递减；
当 时，令 ，
当 时 在区间 上递减；
当 时 在 上递增．
所以当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 .
02 导数与数列不等式的综合问题
3．（2023·广东·高三执信中学校联考期中）设函数 ， ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意 ，函数 均有2个零点，求实数m的取值范围；
(3)设 且 ，证明： ．【解析】（1） 的定义域为 ，其中 ，
，
当 ，即 时， 恒成立， 在 上单调递增.
当 ，即 时，令 解得 ，
在区间 上 单调递增；
在区间 上 单调递减.
综上所述， 时 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）得， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
依题意可得对任意 ，均有 恒成立，
即
恒成立，
设 ，
，
令 解得 ，
所以在区间 上， 单调递增，在区间 上， 单调递减，
所以 .
所以 .
对于函数
当 和 时， ，所以 ，
结合零点存在性定理可知，此时 有两个零点.
所以实数m的取值范围是 .
（3）要证明 ，
即证明 ，
即证明 ，
即证明 ，
注意到
，
所以即证明 ，
由（2）得 ，
即 ，取 代入上式，
得： ， ，
所以 ，
所以 .
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 ，且 ，求证： ．
【解析】（1）由 可得 ，
所以 在 处的切线斜率 ，
且 ，故所求切线方程为 ．
（2）设 在 处的切线斜率为k，
由（1）得 ，
且 ，故 在 处的切线方程为 ，
设 ，则 ．
设 ，则 ．
因为 ，所以 ，仅在 时取等号，故 在 上单调递增．
列表如下．单调递
极小值 单调递增
减
所以 ，即 ．
令 ，其中 ，且 ，
则有 ， ，…， ，
累加得 ，
即 ，
取 ，即得 ，
当 时， 显然满足题意，
综上可得 .
5．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数 的极值；
(2)已知 ，若 恒成立.求证：对任意正整数 ，都有 .
【解析】（1）由 ，可得 ，
由条件可得 ，即 .则 ，
令 可得 ，当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极大值为 ，无极小值.
（2） ，即 对任意的 恒成立，
即 ，其中 ，
令 ，则 ，即 ，
构造函数 ，则 ，令 ，得 ，列表如下：
+ 0 -
极大值
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以， ，
即 时， 恒成立，
取 ，则 对任意的 恒成立，
令 ，则 ，
所以 ，所以 ，即 .
03 双变量问题
6．（2023·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期中）已知函数
(1)若 ，证明： 在 上恒成立；
(2)若方程 有两个实数根 且 ，证明：
【解析】（1）因为 ， ，令
所以 ，
下证 ，
令 ，
则 ，
当 时, ，当 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上恒成立
（2）证明：先证右半部分不等式： ；
因为 ， ，
所以 ；
可求曲线 在 和 处的切线分别为 和 ；
设直线 与直线 ，函数 的图象和直线 交点的横坐标分别为则
则 ；
因此 .
再证左半部分不等式： .
设取曲线上两点 ，
用割线 ， 来限制 ，
设直线 与直线 的交点的横坐标分别为 ，
则 ，且 ，
所以 .
综上可得 成立7．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求证： 在 上单调递减；
(2)若 有两个不相等的实数根 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
【解析】（1）当 时， ， ，令 ，
，
令 ，得 ， ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 ，
所以函数 在 上单调递减.
（2）（i） 有两个不相等的实数根 ， ，即方程 有两个不相等的实数根 ， ，
令 ， ，
，当 时， ，即函数 在 上单调递减，函数 至多一个零点，不
合题意；
当 时， ， ， ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，函数 有两个零点，则 ，解得 ，
又 ， ，不妨设 ， ，所以实数 的取值范围为 .
（ii）要证 ，即证 ，
又 ， ， ，即证 ，
将 ， 两式相减可得， ，
只需证 ，
即证 ，令 ，即证 ；
设函数 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以原不等式得证.
8．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)设函数 ，当 有两个极值点 时，总有
成立，求实数 的值．
【解析】（1） 时，函数 的定义域为
由 解得 ．
当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增．（2） ，则 ．
根据题意，得方程 有两个不同的实根 ，
，即 且 ，所以 ．
由 ，可得
又
总有 对 恒成立．
①当 时， 恒成立，此时 ；
②当 时， 成立，即
令函数 ，则 在 恒成立
故 在 单调递增，所以 ．
③当 时， 成立，即
由函数 ，则 ，解得
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减又
，当 时，
所以 ．
综上所述， ．
04 证明不等式
9．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数 （ ……是自然对数底数）．(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，
∴ ，
令 ，显然 在 单增，且 ，
所以当 时， ， ；当 时， ， ；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2） ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
∵ ，又 ， ，
所以 ，又 ，
故 ，使 ，即 ，
当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值；
所以 ，又 ，∴ ，
∴ ，
令 ，显然 在 单调递增，
∴ ，
要证 ，即证 ，
即 ，即 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，∴ ，
所以 ，故 ．
10．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 ， 时，证明： .
【解析】（1）因为 ，所以 .
，
故曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）证明：令 ，则 .
因为 ，所以 .
令 ，则 .
令 ，则 .
当 时， 单调递增，故 ，
即 在 上恒成立，则 在 上单调递增，则 ，
即 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
故 ，即 .
11．（2023·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知 ， 是 的导函数，其中
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ， 与x轴负半轴的交点为点P， 在点P处的切线方程
为 ．求证：对于任意的实数x，都有 .
【解析】（1）由题意得 ，令 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，得 ， ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）证明：由（1）可知 ，令 ，有 或 ，
故曲线 与x轴负半轴的唯一交点P为 ．
曲线在点 处的切线方程为 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当 时，若 ， ，
若 ，令 ，
则 ，
故 在 时单调递增， ．
故 ， 在 上单调递减，
当 时，由 知 在 时单调递增， ， 在
上单调递增，
所以 ，即 成立．
05 极最值问题
12．（2023·广东韶关·统考一模）已知函数 .
(1)若 在 处的切线与 的图象切于点 ，求 的坐标；(2)若函数 的极小值小于零，求实数 的取值范围.
【解析】（1） .所以 即切线斜率为 ，
又 ，所以 ，令 解得 ，
则 ，故点 坐标为 .
（2） ，
因为 ，
令 得 ，
①当 由 的变化可得
1
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
符合题意；
②当 由 的变化可得
1
0 + 0
单调递
极小值 单调递增 极大值 单调递减
减
不符合题意；③当 ， ， 单调递减，没极值点；
④当 ， 由 的变化可得
1
0 + 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
，
解得 ；
综上所述， .
13．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为 定义域为 ，则 ，
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
综上， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）因为 ，所以 ，所以 ，即
令 ，则有 ，
设 ，则 ，由 得
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，又因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立
所以 ，从而 ，所以原式
设 ，则 ，由 得
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以所求最小值为 .
14．（2023·四川成都·统考二模）已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 是 的最大的极大值点，求证： .
【解析】（1）∵ ，∴
又 ，所以 在 处的切线方程为 ，
（2）由（1）得 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 无极大值点.
当 时，令 ，则 在 上单调递增，又 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
又 ， ，
所以当 时， ，即 ，
所以 是 的极小值点， 在 内无极大值点
∵ ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，即 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 是 的极大值点，也是 的最大的极大值点.
因为 在 上单调递减，所以 ，
.
所以
06 零点问题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值．(2)在（1）的条件下，若 ，试探究 在 上零点的个数．
【解析】（1）由 ，
得 ，则有
所以切线方程为 ．
又因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
则 ．
令 ，则 ．
当 时， ，则 单调递减，
所以 ．
所以 在 上单调递增．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上存在零点，且只有一个零点．
当 时， ，则 单调递减， ， ，
所以存在 ，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则
单调递减．
而 ，所以 在 上无零点．
综上， 在 上只有1个零点．
16．（2023·四川南充·阆中中学校考一模）已知函数(1)当 时，求 在 上的最小值；
(2)若 在 上存在零点，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，
，
令 ， ， ，
则 在 上是增函数，则 >0，所以 ，
即 在 上是增函数，则 .
（2） ， ，
，
令 ， ， ，
（1）当 时， ，则 在 上是减函数，则 ，
①若 ，易得 ，则 在 上是减函数， ，不合题意；
②若 ，因 ， ，则根据零点存在定理，必 ，使 ，即
，
变化时， ， 的变化情况如下表：0
极大值
单调递增 单调递减
则 ，故要使函数 在 上存在零点，需使 ，即 ；
（2）当 时， ，而 ，
当 时， ，
故 在 上是增函数， ，不合题意；
（3）当 时， 在 上是增函数， 在 上是增函数，
则 在 上是增函数， ，不合题意，
综上所述， 的取值范围是 .
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 ，e为自然对数的底数.
(1)若 ，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若对任意 ，不等式 ，求a的取值范围；
(3)若 ， ，判断方程 的解的个数，并说明理由.
【解析】（1）若 ，则 ，
， ， ，
故 的图象在点 处的切线方程为 .
（2）（1）当 时， ，所以 .（2）当 时， 恒成立，
令 ，则 .
令 ，
， ， ，易知 ，
所以 ， 在 上单调递增， ，即 .
综上，a的取值范围是 .
（3）设 ， ，
①当 时， 单调递增， ， 单调递减，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
故 在 上有1个零点.
②当 时， ， 单调递增，
所以 ；
， 单调递增，又 ，
所以 ，故 在 上无零点.
③当 时， ， 在 上单调递减，易知 单调递增，从而 在 上单调递减，
又 ， ，
所以 在 上有1个零点.
综上， 在 上有2个零点，即所求方程的解有2个.
18．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，过点 与函数 相切的直线有几条？
(2)若 有两个交点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时，函数 ，设切点为 ，
因为 ，所以 ；
所以切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，
化简得： ，即 ；
记 ，则 ，
令 ，解得 或 ；
当 时 ，所以 在 上单调递增，
当 时 ，所以 在 上单调递减，
当 时 ，所以 在 上单调递增；， ，当 趋向 时 ，故 在 无零点，
，故 在 内有1个零点，
，故 在 内有1个零点，
综上， 有2个零点，即过点 与函数 相切的直线有2条．
（2）令 ，
则 有两个交点等价于 有两个零点，
易得 ，
当 时 ， 在 上单调递增，则 至多有一个零点，
因此 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以存在 ，使得 ，则 ，
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增；
因此， ，且 ，
所以 ，则 ，
故 ；
当 时， ，则 在 上没有零点，不符合；
当 时， ，则 在 上只有一个零点，不符合；当 时， ；则 在 上有两个零点，又 ，
此时 ，所以 ，
因为 ，
所以 在 上有且只有一个零点，即 在 上有且只有一个零点；
易得 ，
设 ，则 ，易知 在 上递增，
则 ，故 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上有且只有一个零点，即 在 上有且只有一个零点，
综上，实数 的取值范围为 ．
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最值；
(2)若方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得： ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 的最小值为 ，无最大值．
（2）令 ，则 ，
若方程 有两个不同的解，则 有两个不同的零点．
（ⅰ）若 ，则 ，由 得 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
①当 时， ，即 ，故 没有零点，不满足题意；
②当 时， ， 只有一个零点，不满足题意；
③当 时， ，即 ，
当 时， ， ，
又因为 ，故 ，所以 ，
又 ，
故 在 上有一个零点．
设 ，
则 ， 单调递增，所以 ，
故当 时， ，
又 ，所以 ，因此 在 上有一个零点，
所以当 时， 有两个不同的零点，满足题意；
（ⅱ）若 ，则由 得 ， ．①当 时， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，
所以 至多有一个零点，不满足题意；
②当 时， ，则 ，
所以 单调递减，至多有一个零点，不满足题意；
③当 时， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 至多有一个零点，不满足题意；
综上，实数a的取值范围为 ．
07 不等式恒成立问题
20．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
令 ，可得 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也为最大值，且 ，
所以 ，所以 在 上单调递减.
（2）由 ，得 ，
即 在 上恒成立.
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
又 ，
所以在 中存在唯一的 使得 ，
在 中存在唯一的 使得 ，
即有 .因为 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， .
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
在 单调递减，在 单调递增，
所以 时， 的极小值为
时， 的极小值为
因为 ，
可得 ，所以 ，
所以 .
代入 和 ，
则有 ，
同理可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为
21．（2023·河北·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 的最大值是0，求 的值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ．
若 ，则 ， 在定义域内单调递增，无最大值；
若 ，则当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，为 ，解得 ，
显然 符合题意，所以 的值为
（2）对任意 恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 ．
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，且 ， ，
所以 有唯一零点 ，且 ，
所以 ．
构造函数 ，则 .又函数 在 上是增函数，所以 ．
由 在 上单调递减，在 上单调递增，
得 ，
所以 ，
所以 的取值范围是
22．（2023·河南·高三校联考期中）已知函数 ．
(1)若 在区间 上无零点，求实数m的取值范围；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）令 ，得 ，令 ，
则 ，
当 时， ， ，故 ，
则 在区间 上单调递减，
因为 ，当 时， ，
故实数m的取值范围为 ．
（2）依题意 在 时恒成立，
令 ，解得 ．
下证当 时，不等式 在 时恒成立．
先证明：当 时， ．
令 ，则 ，令 ，则 ，
易知 ，所以 在 上单调递增， ，即 ，
所以 在 上单调递增，得 ，即当 时， ．
再证明：当 时， ，（*）
因为当 时， ，故只需证明 ．
令 ，
则 ．
①当 时， ， 在 上单调递增，
；
②当 时，由 知 ，
所以 ，
所以（*）成立．
综上所述，实数m的取值范围为 ．
23．（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间，
(2)当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2） ，即 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
令 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，令 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .08 极值点偏移问题与拐点偏移问题
24．已知函数 ， 且 为定义域上的增函数， 是函数 的导数，
且 的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设函数 ，且 ，求证： ．
【解析】（Ⅰ）解： ，
由 为增函数可得， 恒成立，即 ，得 ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ．
在 上减，在 上增，在1处取得极小值即最小值，
（1） ，则 ，即 ，
当 时，易知 ，当 时，则 ，这与 矛盾，从而不能使得 恒成立，
；
由 可得， ，即 ，
由之前讨论可知， ，当 时， 恒成立，
当 时，由 ，得 ，
综上 ；
（Ⅱ）证明： ，
，，
，
即 ，
则
，
令 ， ，
则 ， 在 上增，在 上减， （1） ，
，
整理得 ，
解得 或 （舍 ，
．
25．已知函数 ，其定义域为 ．（其中常数 ，是自然对数的底数）
（1）求函数 的递增区间；
（2）若函数 为定义域上的增函数，且 ，证明： ．
【解析】解：（1）易知 ，
①若 ，由 ，解得： ，
故函数 在 递增，
②若 ，令 ，解得： ，或 ，令 ，解得： ，
故 在 递增，在 ， 递减，在 递增，
③若 ，则 ，
故函数 在 递增，
④若 ，令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，在 ， 递增，
综上，若 ， 在 递增，
若 ， 在 ， 递增，
若 ， 在 递增，
若 ， 在 ， ， 递增；
（2） 函数 在 递增，
，即 ，
注意到 （1） ，故 （1），
即证 ，即证 ，
令 ， ，
只需证明 （1），
故 ，下面证明 ，即证 ，
由熟知的不等式 可知 ，
当 时，即 ，
故 ，
易知当 时， ，
故 ，
故 ，
故 ，即 递增，即 （1），
从而 ．
26．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数 ，a为实数．
(1)当 时，求函数在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
．
【解析】（1）当 时， ， ，
，故 ，故函数在 处的切线方程为 ，即 ；
（2） 定义域为 ，
，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（3）由题意得 ，解得 ，
故 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
可知函数 在 处取得极值，故 符合题意，
因为 ， ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
且当 时， 恒成立， ，当 时， ，
画出 的图象如下：故 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
故 在 上单调递减，
又 ，故 在 上恒成立，
即 ， ，
因为 ，所以 ，
其中 ，故 ，
其中 ， ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，
令 ， ，
则
，当 时，所以 单调递增，
由复合函数可得 在 上单调递增，
又 ，
故存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，
故当 时， 恒成立，
因为 ，故 ，即 ，
又 ，故 ，
其中 ， ， 在 上单调递增，
故 ，故 ，
综上， .
27．（2023·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知函数 ， ．（
为自然对数的底数）
(1)当 时，求函数 的极大值；
(2)已知 ， ，且满足 ，求证： ．【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值为 ；
（2）由题意知， ，由 可得 ，
所以 ，令 ，
由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
令 ， ，又 ， ，所以 ， ，则 ，
①若 ，则 ，即 ，所以 ；
②若 ，设 ，且满足 ，如图所示，
则 ，所以 ，下证： ．
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ．
由①②可知， 得证.
28．（2023·辽宁·高二统考期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得则 ，由 得 ，
若 ，当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单调递增，
若 ，当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减；
所以当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，两边取对数得 ，即 ，
由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，而 ， 时， 恒成立，
因此当 时，存在 且 ，满足 ，
若 ，则 成立；
若 ，则 ，记 ， ，则 ，
即有函数 在 上单调递增， ，即 ，
于是 ，
而 ， ， ，函数 在 上单调递增，因此 ，即 ，
又 ，则有 ，则 ，
所以 .
09 利用导数解决一类整数问题
29．（2023·浙江台州·统考一模）设
(1)求证： ；
(2)若 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据 ， ）
【解析】（1）要证： ，（ ， ），
只要证： ，又当 时， ，当 时， ，
即 与 同号，故只要证： ，即证： ，
令 ，（ ， ），则 ，
当 时， ， 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，故原不等式得证．
（2）因为 ，当 时，有 ，则 ，所以整数 ．
当 时，由（1）可得 ，
下证： ， ，只要证： ．
令 ， ，
因为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，所以得证,
综上所述，整数 的最大值为2．
30．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求整数 的最大值．
【解析】（1） ．
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时，令 ，可得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
（2）由（1）得，当 时， 在 上单调递增，所以 至多有一个零点，
要使函数 有两个零点，
则 ，且 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 即 在 上单调递减．
∵ ， ，
∴ ，使得 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，
且 ，
且 ，
所以函数有两个零点，符合题意；
当 时， ，不符合题意,
所以整数a的最大值为-2．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ．当 时，若
在 上恒成立，求整数 的最大值．
（注释：其中e为自然对数底数， ， ， ， ）
【解析】当 时， ， 恒成立，即 ， 恒成立，
当 时， ， ，
则 为不等式恒成立的必要条件，又 ，
下证，当 时， ，
设 ， ，
则 ，所以 ，故整数 的最大值为1．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求函数 的极值；
(2)若m为整数，对任意的 都有 成立，求实数m的最小值．
【解析】（1）由 （ ），
得 （ ），令 ，解得 ，令 ，解得 ，
∴函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
故函数 的极大值是 ，函数 无极小值．
（2）设 ，
则 （ ）.
当 时， ， ， ，
∴ ，故 在 上单调递增，
又 ，不满足题意，∴舍去．
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
的最大值 ．
令 （ ），显然 在 上单调递减，
且 ， ，
故当 时， ，满足题意，故整数m的最小值为1．10 导数中的同构问题
33．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，若对任意 ， ， ，且 ，都有 ，求实数 的取值
范围．
【解析】解：（Ⅰ）当 ，函数定义域为 ， ， 恒成立，此时，函数
在 单调递增；
当 ，函数定义域为 ， ，则 ， ， 恒成立，此时，函数
在 单调递增；
（Ⅱ） 时， 在 ， 上递增， 在 ， 上递减，
不妨设 ，则 ．
，
等价于有 ，
即 ，
令 ，
等价于函数 在 ， 上是减函数，
即 在 ， 恒成立，分离参数，
得 ，令 ， ．
在 ， 递减， （1）
，
又 ，故实数 的取值范围为 ， ．
34．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）求证：若 对 恒成立，则 ；
（3）设 ，对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） ，
若 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递增，原函数无极值；
若 ，则当 时， ，当 时， ，
在 上为减函数，在 上为增函数，
则 的极小值为 （a） ；
证明：（2）由（1）知，当 时，函数 在 上是增函数，
而 （1） ， 当 时， ，与 恒成立相矛盾，
不满足题意；
当 时，函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
（a）（1） ， 当 时， （a） （1） ，此时与 恒成立相矛盾．
；
解：（3）由（2）可知，
当 时，函数 在 ， 上是增函数，又函数 在 ， 上是减函数，
不妨设 ，
则 ，
，即 ．
设 ，
则 等价于函数 在区间 ， 上是减函数．
， 在 ， 上恒成立，
即 在 ， 上恒成立，即 不小于 在 ， 内的最大值．
而函数 在 ， 是增函数， 的最大值为 ．
，
又 ， ， ．
35．已知函数 ， ， ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，且对任意 ， ， ，都有 ，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） 时， ，
， （1） ， （1） ，则曲线 在 处的切线方程是： ；
（2）当 时， ，
故函数 在 ， 上是增函数，
又函数 在 ， 上是减函数
不妨设
则 ，
即 ，
设 ，
则 等价于函数 在区间 ， 上是减函数，
因为 ，所以 在 ， 上恒成立，
即 在 ， 上恒成立，即 不小于 在 ， 内的最大值，
而函数 在 ， 是增函数，所以 的最大值为 ，
所以 ，又 ，所以 ， ．
36．已知函数 和 有相同的最大值．
（1）求 ；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等比数列．
【解析】解：（1） ， ，又 与 有相同的最大值，
，且 与 的符号草图分别为：
在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
两函数的最大值 （1）与 （e）相等，
即 ，又 ，
；
（2）证明：根据（1）知当直线 过两函数的交点 时，满足题意，
设 ， ，直线 与 在 的左边交点为 ， ，
直线 与 在 的右边交点为 ， ，
则 ，
且 ， ， ，
， ，
即 ，又 ， ，且 在 上单调递增，
，
，又 ，
，即 ，又 ， ，且 在 上单调递减，
，
，
，
，
， ， 成等比数列．
故原命题得证．
11 洛必达法则
37．已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
令 ，则
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 时， （1） ，
即 在 上单调递增，所以 的增区间为 ，无减区间．
（2）对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立．
当 ， 对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立．
记 ，则 ，
记 ，
则 ，
所以 在 单调递减，又 （1） ，
所以， 时， ，即 ，
所以 在 单调递减．
所以 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
38．已知函数 ．
（1）若函数 在点 ， （1） 处的切线 经过点 ，求实数 的值；
（2）若关于 的方程 有唯一的实数解，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） ， 在点 ， （1） 处的切线 的斜率 （1）
，
又 （1） ， 切线 的方程为 ，即 ，由 经过点 ，
可得 ．
（2）证明：易知 为方程的根，
由题只需说明当 和 时原方程均没有实数解即可．
①当 时，若 ，显然有 ，而 恒成立，此时方程显然无解，
若 ， ， ，
令 ，故 在 单调递增，在 单调递减，
故 在 单调递减 ，
从而 ， ，此时方程 也无解．
若 ，由 ，
记 ，则 ，
设 ，则 有 恒成立，
恒成立，
故令 在 上递增，在 上递减
（1） ，可知原方程也无解，
由上面的分析可知 时， ，方程 均无解．
②当 时，若 ，显然有 ，而 恒成立，此时方程显然无解，
若 ，和①中的分析同理可知此时方程 也无解．
若 ，由 ，记 ，则 ，
由①中的分析知 ，
故 在 恒成立，从而 在 上单调递增，
当 时， ，
如果 ，即 ，则 ，
要使方程无解，只需 ，即有
如果 ，即 ，此时 ， ，方程 一定有解，不满足．
由上面的分析知 时， ，方程 均无解，
综合①②可知，当且仅当 时，方程 有唯一解，
的取值范围为 ．
39．已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的切
线与直线 垂直．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ， ；
函数 在 处取得极值， ；又 曲线 在点 处的切线与直线 垂直， ；
解得： ；
（2）不等式 恒成立可化为 ，即 ；
当 时，恒成立；当 时， 恒成立，
令 ，则 ；
令 ，则 ；
令 ，则 ；
得 在 是减函数，故 ，进而
（或 ， ，
得 在 是减函数，进而 ）．
可得： ，故 ，所以 在 是减函数，
而 要大于等于 在 上的最大值，但当 时， 没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案， ，故答案为 ．
12 导数与三角函数结合问题40．（2023·江西景德镇·高一统考期中）已知 .
(1)求函数 的值域；
(2)当 时，
①讨论函数 的零点个数；
②若函数 有两个零点 ， ，证明 .
【解析】（1） ，
设 ， ，对称轴为 ，
则 ，
则函数 的值域为 ，即函数 的值域为 ；
（2）①， 即 ，
当 时， ， ，题设即 ，
当 或 ，即 或 时，方程 无解；
当 ，即 时，方程 仅有一解 ，此时 ；
当 ，即 时，方程 有两解，此时函数 有两个零点；
综上所述，当 时，函数 没有零点；
当 时，函数 有一个零点；
当 时，函数 有两个零点；
②，由①可知 ， 满足方程 ，
则 ，则 ，
由于 ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，
由于 ， ，则 ，即 ，即证.
41．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知 ， ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求证：对于 和 ，且 ，都有 ；
(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以求 在 处的切线方程为 ．
（2）不妨设 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上恒成立． 在 上单调递减，
所以 ，即 ．（3）对于任意的 ，任意的 ， ，
都有 ，
证明：①当 时，由（2）知，命题显然成立．
②假设当 时命题成立．
即对任意的 ， ， ，…， 及 ， ，2，3，…，k， ．
都有 ．
现设 ， ， ，…， ， 及 ， ，2，3，…，k， ， ．
令 ， ，2，3，…，k，则 ．
由归纳假设可知
所以当 时命题也成立．
综上对于任意的 ，任意的 ，且 ，都有 ．
42．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知函数
.
(1) ，求实数 的值；
(2)若 ，且不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，试利用结论 ，证明：若 ，其中 ，则
.
【解析】（1）由函数 ，可得 ，所以 ， .
又由 ，所以 ，解得 .
（2）若 ，可得 ，
则 ，则不等式 可化为 ，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，设函数 ，可得 ，
因为 ，所以 恒成立，所以函数 在 上严格递增，
所以 ，故 ，即实数 的取值范围为 .
（3）解法1：由 ，因为 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立；
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，
当且仅当 时等号成立.
因此有 ，
，
，
以上 个式子相加得：
.
解法2：由 ，
可得 ，
当且仅当 时等号同时成立.
故 ，
，
，
以上 个式子相加得：
.43．（2023·湖北孝感·高三校联考阶段练习）已知：函数 ，且 ， .
(1)求证： ；
(2)设 ，试比较 ， ， ， 的大小.
【解析】（1）由对称性，不妨设 ， ，
则
由于 ，欲证 ，即证：
， .
设 ， ，由切线不等式
得 ，
故 ， 单调递增， ， 得证.
（2）证法一：由 ，得 在 上单调递减，且 ，
在 上单调递增且 ；
由（1）知
当 时， 在 上单调递增，
故 ，即 .当 时，
由上面的结论，得 时，
有 ，即
由 在 上单调递增，
故 ，
即 .综上，得
∵ ，∴ ，
∵ ， 关于 单调递减，
∴ ， .
综上，得 .
证法二：∵ ，∴ ，
∵ ，在 上是减函数，
∴ ，即 ；
，在 上是减函数，
∴ ，即
下面证明：当 时， .（1）
设 ，则 ，
∴ ，即 ；设 ，则 ，
∴ 即 ，
∴（1）式成立
下面证明：
（2）
∵ ，∴ ，
∴（2）式成立.
