文档内容
专题 07 函数与导数常考压轴解答题
目 录
01 含参数函数单调性讨论...................................................................................................................2
02 导数与数列不等式的综合问题........................................................................................................3
03 双变量问题......................................................................................................................................7
04 证明不等式....................................................................................................................................12
05 极最值问题....................................................................................................................................15
06 零点问题........................................................................................................................................18
07 不等式恒成立问题.........................................................................................................................26
08 极值点偏移问题与拐点偏移问题..................................................................................................31
09 利用导数解决一类整数问题..........................................................................................................39
10 导数中的同构问题.........................................................................................................................42
11 洛必达法则....................................................................................................................................46
12 导数与三角函数结合问题..............................................................................................................4901 含参数函数单调性讨论
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性．
02 导数与数列不等式的综合问题
3．（2023·广东·高三执信中学校联考期中）设函数 ， ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意 ，函数 均有2个零点，求实数m的取值范围；
(3)设 且 ，证明： ．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 ，且 ，求证： ．
5．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数 的极值；
(2)已知 ，若 恒成立.求证：对任意正整数 ，都有 .
03 双变量问题
6．（2023·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期中）已知函数
(1)若 ，证明： 在 上恒成立；
(2)若方程 有两个实数根 且 ，证明：
7．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 ．(1)当 时，求证： 在 上单调递减；
(2)若 有两个不相等的实数根 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
8．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)设函数 ，当 有两个极值点 时，总有
成立，求实数 的值．
04 证明不等式
9．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数 （ ……是自然对数底数）．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．10．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 ， 时，证明： .
11．（2023·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知 ， 是 的导函数，其中
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ， 与x轴负半轴的交点为点P， 在点P处的切线方程
为 ．求证：对于任意的实数x，都有 .
05 极最值问题
12．（2023·广东韶关·统考一模）已知函数 .
(1)若 在 处的切线与 的图象切于点 ，求 的坐标；
(2)若函数 的极小值小于零，求实数 的取值范围.13．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的最小值.
14．（2023·四川成都·统考二模）已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 是 的最大的极大值点，求证： .
06 零点问题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值．
(2)在（1）的条件下，若 ，试探究 在 上零点的个数．16．（2023·四川南充·阆中中学校考一模）已知函数
(1)当 时，求 在 上的最小值；
(2)若 在 上存在零点，求 的取值范围.
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 ，e为自然对数的底数.
(1)若 ，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若对任意 ，不等式 ，求a的取值范围；
(3)若 ， ，判断方程 的解的个数，并说明理由.
18．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，过点 与函数 相切的直线有几条？
(2)若 有两个交点，求实数 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最值；
(2)若方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围．
07 不等式恒成立问题
20．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（2023·河北·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 的最大值是0，求 的值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
22．（2023·河南·高三校联考期中）已知函数 ．(1)若 在区间 上无零点，求实数m的取值范围；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
23．（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间，
(2)当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
08 极值点偏移问题与拐点偏移问题
24．已知函数 ， 且 为定义域上的增函数， 是函数 的导数，
且 的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设函数 ，且 ，求证： ．
25．已知函数 ，其定义域为 ．（其中常数 ，是自然对数的底数）（1）求函数 的递增区间；
（2）若函数 为定义域上的增函数，且 ，证明： ．
26．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数 ，a为实数．
(1)当 时，求函数在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
．
27．（2023·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知函数 ， ．（
为自然对数的底数）
(1)当 时，求函数 的极大值；
(2)已知 ， ，且满足 ，求证： ．28．（2023·辽宁·高二统考期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： .
09 利用导数解决一类整数问题
29．（2023·浙江台州·统考一模）设
(1)求证： ；
(2)若 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据 ， ）
30．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求整数 的最大值．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ．当 时，若在 上恒成立，求整数 的最大值．
（注释：其中e为自然对数底数， ， ， ， ）
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求函数 的极值；
(2)若m为整数，对任意的 都有 成立，求实数m的最小值．
10 导数中的同构问题
33．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，若对任意 ， ， ，且 ，都有 ，求实数 的取值
范围．
34．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；（2）求证：若 对 恒成立，则 ；
（3）设 ，对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
35．已知函数 ， ， ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，且对任意 ， ， ，都有 ，求实数 的取值范围．
36．已知函数 和 有相同的最大值．
（1）求 ；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等比数列．
11 洛必达法则
37．已知 ．（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
38．已知函数 ．
（1）若函数 在点 ， （1） 处的切线 经过点 ，求实数 的值；
（2）若关于 的方程 有唯一的实数解，求实数 的取值范围．
39．已知函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的切
线与直线 垂直．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
12 导数与三角函数结合问题40．（2023·江西景德镇·高一统考期中）已知 .
(1)求函数 的值域；
(2)当 时，
①讨论函数 的零点个数；
②若函数 有两个零点 ， ，证明 .
41．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知 ， ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求证：对于 和 ，且 ，都有 ；
(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．
42．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知函数
.
(1) ，求实数 的值；
(2)若 ，且不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，试利用结论 ，证明：若 ，其中 ，则.
43．（2023·湖北孝感·高三校联考阶段练习）已知：函数 ，且 ， .
(1)求证： ；
(2)设 ，试比较 ， ， ， 的大小.
