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新 题 型 02 新 高 考 新 结 构 竞 赛 题 型 十 五 大 考 点 汇 总
高考数学中会出现与竞赛相关的考点，本专题主要针对高考中的竞赛考点进行分类归纳
【题型1集合中的竞赛考点】
{3 | }
+b 1≤a≤b≤4
【例1】（2022·新疆·竞赛）设集合 中的最大元素与最小元素分别为M，N，则
a
M-N= ．
【变式1-1】（2022·浙江·竞赛）已知集合A=¿，若集合A中恰有9个正整数，则n= .
【变式1-2】（2021·全国·高三竞赛）已知集合M={1,2,3,⋯,1995}，A是M的子集，当x∈A时，
19x∉A，则集合A元素个数的最大值为 ．
【变式1-3】（2020·江苏·高三竞赛）设n∈N∗，欧拉函数φ(n)表示在正整数1，2，3，…，n中与n互质
的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以φ(4)=2，则φ(2020)= ．
【变式1-4】（2021·全国·高三竞赛）设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，满足下列性质的集合称为“翔集
合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有 个“翔
集合”.
【题型2函数中的竞赛考点】
(2x+1) 2
【例2】（2018·吉林·高三竞赛）已知f (x)= +1在[−2018,0)∪(0,2018]上的最大值为M，最小
2x ⋅x
值为N，则M+N=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．01
【变式 2-1】（2018·吉林·高三竞赛）已知函数f (x)满足：f (1)= ，4f (x)f (y)=f (x+ y)+f (x−y)
4
(x,y∈R)，则f (2019)=（ ）.
1 1 1 1
A． B．- C． D．-
2 2 4 4
【 变 式 2-2 】 （ 2022· 新 疆 · 竞 赛 ） 已 知 f (x)=2x+ln(√x2+1+x)-2-x+1011， 则 不 等 式
f (2x+1)+f (x)>2022的解集为 ．
【变式2-3】（2022·广西·统考竞赛）设y=f (x)是严格单调递增的函数，其反函数为y=g(x)．设x ，x
1 2
分别是方程f (x)+x=2和g(x)+x=2的解，则x +x = ．
1 2
【变式 2-4】（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）设x>0，平面向量⃑AB=(0,1)，
⃑BC=(1,2)，⃑CD=(log x,log x)．若⃑AC⋅⃑BD=2，则x的值为 ．
3 9
【题型3函数与方程中的竞赛考点】
【例3】（2021·全国·高三竞赛）已知s､t是关于x的整系数方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，10,b>0)，g(x)=ln(x+2)，
b
若对∀x>−2，f (x)≥g(x)恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
a
A．[0,+∞) B．[1,+∞) C．[2,+∞) D．[e,+∞)
【 变 式 5-3 】 （ 2020· 全 国 · 高 三 竞 赛 ） 已 知 首 项 系 数 为 1 的 五 次 多 项 式 f(x)满 足 ：
f(n)=8n,n=1,2,⋯,5，则f(x)的一次项系数为 ．
【变式5-4】（2018·全国·高三竞赛）已知α、β、γ为方程5x3−6x2+7x−8=0的三个不同的根，则
(α2+αβ+β2)(β2+βγ+γ2)(γ2+γα+α2)的值为
．
【题型6三角函数中的竞赛考点】
【例6】（2024上·全国·高三统考竞赛）给定k∈R，若∃m>0，∀x,y∈R满足cosx+kcos y=1，
均有|y|≥m，则k的范围是（ ）
A．(−∞,0)∪(2,+∞) B．(−∞,0]∪[2,+∞)
C．[0,2] D．(0,2)
sinx
【变式 6-1】（2018·吉林·高三竞赛）已知f (x)= ，则对任意x∈R，下列说法中错误的是
2+cosx
（ ）
1 √3
A．f (x)≥ sinx B．|f (x)|≤|x| C．|f (x)|≤ D．f (π+x)+f (π−x)=0
3 3
【变式6-2】（2021·全国·高三竞赛）函数f(x)=cosx的图象与直线y=kx(k>0)恰有四个不同交点，设
四个交点中横坐标的最大值为α，则α⋅tanα= ．
【变式6-3】（2022·新疆·竞赛）已知二面角α-l-β的平面角为60°，A，D为直线l上的两点，射线DB
在平面α内，射线DC在平面β内，已知∠BDA=45°,∠CDA=30°，则cos∠BDC等于 ．
1 1 5
AC=5, + − =0
【变式6-4】（2021·全国·高三竞赛）在△ABC中， A C B ，则BC+AB的
tan tan tan
2 2 2
值为 ．
【题型7向量中的竞赛考点】
【例 7】（2022·江苏南京·高三强基计划）已知向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|=3，|⃗b|=2√2，⃗a⋅⃗b=6，且
(⃗a+⃗c)(⃗b+2⃗c)=0，则|⃗b+⃗c|最小值为 .
【变式7-1】（2020·浙江·高三竞赛）已知⃗a，⃗b为非零向量，且|⃗a|=|⃗a+⃗b|=1，则|2⃗a+⃗b|+|⃗b|的
最大值为 .
【变式 7-2】（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量⃗a､⃗b､⃗c，满足|⃗a|=2,|⃗b|=|⃗c|=5,0<λ<1，若
|2 |
⃗b⋅⃗c=0，那么 |⃗a−⃗b+λ(⃗b−⃗c)|+ ⃗c+(1−λ)(⃗b−⃗c) 的最小值为 .
5
【变式 7-3】（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量 ⃗a、⃗b、⃗c、⃗x，且⃗a+⃗b+⃗c=0⃗，记
y=|⃗x−⃗a|+|⃗x−⃗b|+|⃗x−⃗c|，则y的最大值为 ．
【变式7-4】（2021·全国·高三竞赛）设 P是△ABC所在平面内一点，满足⃑PA+⃑PB+⃑PC=3⃑AB，若
△PAC的面积为1，则△PAB的面积为 .
【题型8数列中的竞赛考点】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{a }满足a =1，a =ln(1+a )，n∈N∗ .下列说法错误
n 1 n+1 n
的是（ ）
1
A．a >a B．a <2a C． a ≥ D．3a >4a
n n+1 n n+1 n 2n−1 n n+1
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{a }的各项都是正数且满足2a2−3a =a (n∈N∗ ，
n n n n−1n⩾2)，S 是数列{a }的前n项和，则下列选项中错误的一项是（ ）
n n
A．若{a }单调递增，则01
3 2020 2 2020
1 1
C．当a= 时，a <1 D．当a= 时，a >1
3 2020 4 2020
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结
构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{a }可以用如下方法定义：a =a +a (n≥3,n∈N∗)，
n n n−1 n−2
2022
∑ a2
a =a =1，则 i 是数列{a }的第（ ）项
1 2 i=1 (i=1,2,⋅⋅⋅,2022) n
a
2022
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式8-4】（多选）（2023·全国·高三专题练习）数学史上有很多著名的数列，在数学中有着重要的地
位.13世纪初意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列{F }：1，1，2，3，5，8，13，……
n
称之为斐波那契数列，满足F =1，F =1，F =F +F (n≥1).19世纪法国数学家洛卡斯提出数列
0 1 n+1 n n−1
{L }：2，1，3，4，7，11，18，……，称之为洛卡斯数列，满足L =2，L =1，L =L +L (n≥1).
n 0 1 n+1 n n−1
那么下列说法正确的有（ ）
A．L =2F −F (n≥1) B．{F F −F2}不是等比数列
n n n−1 n+1 n−1 n
C．L +L +⋅⋅⋅+L =L +1 D．L2+L2 =5F
0 2 2n 2n+1 n n+1 2n+1
【题型9不等式中的竞赛考的】
7
【 例 9 】 （ 2016· 北 京 · 高 三 强 基 计 划 ） （ 多 选 ） 设 函 数 f(x,y)=−6xy+ (x+ y)−2， 则
2
min { max {f(x,y)}}=
（ ）
x∈[0,1] y∈[0,1]
1
A．0 B．
24
1
C．− D． min { max {f(x,y)}}
24 y∈[0,1] x∈[0,1]
【变式 9-1】（2023·全国·高三专题练习）设a,b,c为△ABC的三边，S为△ABC的面积，若
a2+b2+2c2=8，则S的最大值为
．
1 9 1
【变式9-2】（2022·浙江·竞赛）设a，b，c，d∈R+ ，abcd=1，则 ∑ + 的最小值为 .
a2 4 Σa
2 2 3
【变式9-3】（2021·全国·高三竞赛）设a,b,c>0满足a−b+c+abc=0，则 − + 的最大
a2+1 b2+1 c2+1
值是 .
【变式9-4】（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足4x2+4 y2+z2+2z=3，则5x+4 y+3z
的最小值为 ．
【题型10解析几何中的竞赛考点】【例10】（2024上·全国·高三统考竞赛）设双曲线Γ:x2−3 y2=−3，A(0,2)，B，C在Γ上且直线BC经
过A.设l ,l 分别为Γ在B，C处的切线，点D满足BD⊥l ,CD⊥l ，则D的轨迹方程是 ;若
B C B C
D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是 .(写出1个即可).
x2 y2
【变式10-1】（2023·湖北武汉·统考一模）设F为双曲线E: − =1(a>0,b>0)的右焦点，A，B分
a2 b2
别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线
t
交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则 的最大值为 .
a
(x-4) 2 y2
【变式10-2】（2022·江苏南京·高三强基计划）设F，l分别为双曲线 - =1的右焦点与右准线，
12 12
椭圆Γ以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y=√3x的直线，交椭圆Γ于A､B两点，若Γ
的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为 .
y2
【变式10-3】（2021·全国·高三竞赛）已知▱ABCD的四个顶点均在双曲线x2− =1上，点P(0,1)在
4
AP 1
边AB上，且 = ，则▱ABCD的面积等于 .
PB 2
x2 y2
【变式10-4】（2021·全国·高三竞赛）已知S(2,1)为椭圆Γ: + =1上的点，对椭圆Γ上的任意两点
8 2
P、Q，用如下办法定义它们的“和”P+Q：过点S作一条平行于PQ（若点P与Q重合，则直线PQ表示
椭圆Γ在P处的切线）的直线l与椭圆Γ交于不同于S的另一点，记作P+Q（若l与椭圆Γ相切，则规定
S为P+Q）.并规定 nP=P+P+⋯+P .
¿
(1)若点P(2√2,0),Q(0,−√2)，求P+Q、2P以及100P的坐标.
(2)在椭圆Γ上是否存在不同于S的点P，满足3P=S？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
x2 y2
【变式10-5】（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆C : + =1(a>b>0)，其右焦点为F，过F作直线l
1 a2 b2
交椭圆C 于A、B两点（l与x轴不重合），设线段AB中点为D，连结OD（O为坐标原点），直线OD交
1
|MN| 8
椭圆C 于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且 = ，求椭圆C 的离心率．
1 |OD| 3 1
【题型11立体几何中的竞赛考点】
【例 11】（2023 上·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥A−BCD中，AB=CD=3√2，
AC=AD=BC=BD=5，空间中的动点M满足MA≥2MB，则平面BCD截M的轨迹形成的图形的面积
为 ．
【变式11-1】（2022·江苏徐州·统考模拟预测）已知A，B，C，D是半径为4的球面上四点，E，F分别
为AB,CD的中点，AB=4√3，CD=2√7，则以EF为直径的球的最小表面积为 ；若A，
B，C，D不共面，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．
【变式11-2】（2021·全国·高三竞赛）把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值
为 ．
【变式11-3】（2021·全国·高三竞赛）A、B、C、D是半径为1的球面上的4个点，若AB=CD=1，
则四面体ABCD体积的最大值是 ．
【变式11-4】（2021·全国·高三竞赛）正四面体ABCD中，点G为面ABC的中心，点M在线段DG上，
3√51 |⃑DM|
且tan∠AMB=− ，则 = .
5 |⃑DG|
【变式11-5】（2023·全国·统考竞赛）已知三棱柱Ω:ABC−A B C 的9条棱长均相等.记底面ABC所在
1 1 1
平面为α.若Ω的另外四个面（即面A B C ，ABB A ，ACC A ，BCC B ）在α上投影的面积从小到
1 1 1 1 1 1 1 1 1
大重排后依次为2√3，3√3，4√3，5√3，求Ω的体积.
【题型12排列组合中的竞赛考点】【 例 12 】 （ 2024 上 · 全 国 · 高 三 统 考 竞 赛 ） 设 {a ,a ,⋯,a }={1,2,⋯,9}， 且
1 2 9
a >a 5时，3x3+4 y3+5z3=0(mod p)必有一组非零解(x,y,z)∈[ℤ∗∪{0}] 3 .
p
