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第一章 集合与常用逻辑用语单元总结
1．判断集合与元素的关系
首先要明确集合中元素的特征，其次要看元素是否满足集合中元素的公共属性，满足即为属于关系，
不满足即为不属于关系．
2．集合的表示
列举法是把集合中的元素一一列举出来，他适合元素较少或元素较多时但有一定规律性的情况；
描述法把集合中的元素所具有的特征表示出来，具有抽象、概括、普遍性的特点；
图表示集合的好处在于易引起清晰地视觉形象，能直观地表示集合中元素的构成以及集合间的关
系．
3．判断集合相等
对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，若两个集合中的元素完全相同，说明两个集合
相等；若为无限集，则需要同时说明 , ．
4．有限集的子集个数
若有限集合A中含有 个元素，则集合A的子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空子集为 ，非空真子集为 ．
5．空集
空集是一个特殊且很重要的集合，它不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在题设中隐含
有空集参与的集合问题时，往往忽视空集的特殊性而导致错误．
6．集合子集的写法
在写集合的子集和真子集时，一般是按照集合中元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，这样做，
这样做可以做到不重不漏．需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
因此，在写集合的子集和真子集的时候，不要遗漏空集．
7．集合中字母参数范围的求解
对于已知集合间的关系求参数的问题，一般是先观察集合间元素的关系，在列方程（组）求解．另外，
在处理含有参数的集合问题时，要注意对结果进行检验，以满足集合中元素的互异性．
8．集合的基本运算口诀
交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复只去一；全集U是大范围，U中去掉
A元素，剩余就成A补集．
9．补集思想
在解答一些较复杂问题时，如果从正面直接解决情况较多、较复杂，可以用“补集”思想，考虑问题
的方面，再求结果的补集，从而可以较简单的解答．
10、命题的概念
可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假
的语句叫假命题.
11.全称量词与全称命题
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一
个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为 ，
12.存在量词与存在性命题
存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一
个”，“有的”,“有些”等.
存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为 ， .
13.充分条件、必要条件、充要条件
对于“若p则q”形式的命题：①若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若既有p⇒q，又有q⇒p，记作p q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题
真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用 与 ； 与
； 与 的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运
用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.
如图：
“ ” “ ，且 ” 是 的充分不必要条件.
“ ” “ ” 是 的充分必要条件.
14、对含有一个量词的命题进行否定
（1）对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p： ，他的否定 ： 。全称命题的否定是特称命题。
（2）对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p： ，他的否定 ： 。特称命题的否定是全称命题。
类型1 运用集合中元素的性质解题
考题1设P,Q为两个非空实数集合，定义集合 ,若 ,则
中元素的个数是【解析】因为 ，所以对 分别取 中的元素，一一列出集合 中的元素．于是，
依 次 分 别 取 ， 并 分 别 求 和 ， 注 意 到 集 合 中 元 素 的 互 异 性 ， 则
，故共有8个元素．
【答案】8
考题2 由实数 所组成的集合中，最多含有元素的个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】本题主要考查集合中元素的个数问题，解决本题的关键是从集合中元素的互异性入手考虑，
若是相同的元素，在集合中只能用同一个元素表示．
由于 ， ，因此当 时，这几个实数均为 0，当 时，它们分别是
；当 时，它们分别是 ，均最多表示两个不同的数．故集合中的元素
最多有2个．
【答案】A
【题型小结】集合元素的性质包括：确定性、互异性、无序性．确定性即集合中的元素必须是确定的，
对于任何一个对象都能明确判断出来它是或者不是所给集合中的元素；互异性即集合中任意两个元素
都是不相同的；无序性即集合与组成它的元素的顺序无关．在解题时，常常因忽略集合中元素的性质
而出错，所以要加强对集合中元素性质的理解．
类型2 求子集的元素之和问题
考题3 已知集合 ，则集合 的所有子集的元素之和为 ．
【解析】集合 的所有子集分别是 ， ，，注意到 中的每个元
素 出现在 的4个子集之中，即在其和中出现4次．故所求之和为 ．
【答案】36
【探究】 中的每个元素出现在 的4个子集之中，这是在写出 的子集后观察出来的结果，能否不
写出 的子集也得出这样的结论呢？注意到 中的元素1，出现在 的子集 中，如果在这些子集中排除这个数1，剩下来的元素依次组成的集合集合 ， ，也就是 除
元素1组成集合 的子集，即有 个．因此，利用 “整体思想”可知，再求其和的过程中，1
出现了4次，同理3出现了4次，5出现了4次．故所求的和为 ．
推广到一般，即已知 ，求 的所有子集的元素之和．类似上面的推导可知， 出
现在 中，即 在其和中出现的次数等价于集合 的子
集个数（即 个）．同理 在其和中也出现了 次， 在其和中也出现了 次，…, 在其和
中也出现了 次,故所求的和为 ．
【题型小结】在求解子集个数问题时，要注意问的是“子集的个数”还是“真子集的个数”或者是
“非空真子集的个数”，同时关注子集应满足的相应条件．
类型3 集合的运算及其应用
考题4若全集为 ，集合 是 的子集，定义 与 的运算：
，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知 , ,
,从而 ，即
【答案】B
考 题 5 （ 1 ） 若 全 集 , 集 合 ， ， 则=( )
A． B． C． D．
（ 2 ） 已 知 ， ， ，
，则有 （ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）集合 都是点集，集合 的关系式可以变为 ，它的几何意义是直线
上去掉点 后所有的点的集合；集合 表示直线 外所有点的集合．可知
，表示直线 外所有点及直线 上点 的集合；
，表示直线 外所有点的集合．从而可得 只有一个元素
．
（2）因为 ，且 ,所以 ．
【答案】（1）B (2)A
【题型小结】解答集合问题的一般步骤：先认清集合元素的属性，然后依据元素的不同属性采用不同
的方法求解．一般的规律表现为“若给定的集合是不等式的解集，则用数轴求解，特别要注意端点的
取值；若给定的集合是则用数形结合法求解；若给定的集合是抽象集合，则用图象法（Venn图）求
解”．
类型4 充分条件与必要条件的理解及判定
考题6 已知 ： ， ， ：关于 的方程 有两个小于1的正实根，试判断
是 的什么条件．
分析：判断 是 的什么条件，要对 和 进行分析和转化，根据得出的结果作出相应的判断．解：若关于 的方程 有两个小于1的正实根，则 ，即 ．设方程的
两根为 ， ，则 ， ，有 ，且 ．
根据根与系数的关系，有 ，解得 ．
所以 ， ，且 ，即有 ．
反 之 ， 取 ， ， 那 么 方 程 变 为 ， ． 此 时 方 程
无实根，所以 ．综上所述， 是 的必要不充分条件．
解后反思：若 ，但 ，则 是 的充分不必要条件；若 ，但 ，则 是 的必
要不充分条件；若 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条
件．
考题7设 ，则“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
解析：方法1：当 时，直线 ： 与直线 ： 显然平行；若直线
与直线 平行，则有 ，解得 或 ，经检验，均符合．故是充分不必要条件．
方法 2：把命题“ ”看作集合 ，把由命题“直线 ： 与直线 ：
平行”得出的 值的集合看作 ，易知 是 的真子集，所以是充分不必要条
件．
答案：A
解后反思：一般地，如果条件甲为 ,条件乙为 ，当且仅当 时，甲是乙的充分条件；当
且仅当 时，甲是乙的必要条件；当且仅当 时，甲是乙的充要条件．
类型5 全称命题与特称命题考题8 命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ）
A．对任意 ，都有 B．不存在 ，使得
C．存在 ，使得 D．存在 ，使得
解析：题设命题为全称命题，它的否定为特称命题．需先变换量词，再否定结论，即存在 ，使
得 ．
答案：D
解后反思：写含逻辑联结词的命题的否定时，先变换量词，再否定结论．
考题 9 已知 ， ，若同时满足条件：① 或
；② ，则 的取值范围是 ．
解析：当满足条件①时，由 ，得
要使 或 ，必须使 时， 恒成立．
而当 时， ，不满足条件，
所以二次函数 必须开口向下，也就是 ．
要满足条件，必须使方程 的两根 ， 都小于1，即 ，得 ．
当满足条件②时，因为 时，
所以要使 ，只要 ，使 即可
只要使-4比 ， 中较小的一个大即可．
当 时， ，只要 即可，解得 ，它与 的交集为空集；
当 时，两根均为-2，-2>-4，不符合；当 时， ，所以只要 即可，所以 ．综上可知， ．
答案：
解后反思：本题利用全称命题和特称命题作为已知条件，综合考查了二次函数与指数函数的相关知识．
在解题过程中，要特别注意分类讨论思想的应用．
