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期中复习与测试（1）（第21-24 章）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符号题目要求）
1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）在一元二次方程 中，二次项系数和常数项分
别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2023·广东湛江·统考二模）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
4．（浙江省温州市十二中、十四中集团校2023-2024学年九年级上学期10月检测数学试题）将二次
函数 化为 的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的直径， ， ，
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
6．（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为 ，将
绕着点B顺时针旋转 ，得到 ，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，CD为 的直径，弦 交CD于点E，将
沿弦AB折叠，点C恰好落在OD的中点，若 ，则弦AB为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考周测）如图，在长为32米、宽为20米的
矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，
则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
9．（2022·四川·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为 ，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点
C作BD的垂线，垂足为B，BC＝3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·广东肇庆·九年级校考阶段练习）二次函数 的图像如图所示，下列
结论：① ；②当 时， 随 的增大而减小；③ ；④ ；⑤ ，其
中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为，则 ．
12．（2023秋·海南海口·九年级海南中学校考阶段练习）已知抛物线 经过点 ，则代
数式 的值为 ．
13．（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）三角形的两条边长分别为2和5，第三条边的长是
的一个根，则这个三角形的周长是 ．
14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在平行四边形 中， 、 分别为 、
的中点， 、 分别是一元二次方程 的两根 ，且 ，则 ．
15．（2023秋·天津和平·九年级天津市汇文中学校考阶段练习）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N
点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段 上移动，点A，B的坐标分别为 ， ，点N的横
坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为 ．
16．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在 中， 是 的直径， ，点 是
的中点，点 在弦 上，且 ，点 在 上，且 ，则 的长为 ．17．（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图所示，线段 是 的一条直径， ，过
点 作 的切线交 的延长线于点 ，则 等于 ．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）在 中， ， ， ，将 绕
点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段 中点，点P是线段 上的动点，将 绕点B
按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点 ，
（Ⅰ）如图①， ；
（Ⅱ）如图②，线段 的最大值为 ，最小值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，每小题4分，共58分）
19.（本小题满分8分）（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考阶段练习）解下列方程
（1） （2）
20.（本小题满分8分）（2023秋·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）已知：关于 的一元二次方程
有实数根．
（1）求 的取值范围；（2） 的斜边长 ，两条直角边长 、 恰好是方程 的两个根，求
的值．
21.（本小题满分10分）（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图网格中， 的顶点均在格点
上，点A、B的坐标分别是 、 ．
（1） 绕点O顺时针旋转 后得到 ，在方格纸中画出 ，并写出点 的坐标
（______，______）；
（2）点 可以看成由点A经一次平移得到，平移距离为______；
（3）在y轴上找一点P，使得 最小，最小值为______．
22.（本小题满分10分）（2022秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）某企业接到一批
粽子生产任务，按要求在 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 元，为按时完成任务，该企业招收
了新工人，设新工人李明第 天生产的粽子数量为 只， 与 满足下列关系式：
．
（1）李明第几天生产的粽子数量为 只？
（2）如图，设第 天每只粽子的成本是 元， 与 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第 天创造的利润为 元，求 与 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？
（利润 出厂价-成本）
（3）设（2）小题中第 天利润达到最大值，若要使第 天的利润比第 天的利润至少多 元，
则第 天每只粽子至少应提价几元？
23.（本小题满分10分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在边长为6的等边 中， 是
上的点，以 为圆心， 的长为半径作圆交 于点 ，交 于点 ．
（1）如图1，点 与点 重合时， 交 于点 ．
①连接 ， 的形状是________； ②求 的长．
（2）如图2，当 时，求证： 与 相切．
24.（本小题满分12分）（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四
边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
（1）如图1，点A、B、C在 上，点D在 外，线段 与 交于点E、F，试猜想
______180°；（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；（2）如图2，点A、B、C在 上，点D在 内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请
予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
（3）如图3，凸四边形 中，对角线 长为6， ，则四边形 面积的最
大值是______．
参考答案
1．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直
线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形
绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．D
【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进
行判断即可．一元二次方程的一般形式是： （ ， ， 是常数且 ）特别要注意
的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项， 叫一次项， 是常数项．
其中 ， ， 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：一元二次方程 的二次项系数和常数项分别是 和 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．B
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式 ，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得
出m的取值范围．
解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式 ，
找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
4．B
【分析】配方法将一般式转化为顶点式即可．
解：，
故选：B．
【点拨】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，解题的关键是掌握配方法，正确的进行转化．
5．B
【分析】根据 ，得出 ，计算 ，根据 ，计算
，选择答案即可．
解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的
关键．
6．B
【分析】过点 作 ，由题意可得： ， ，再利用含30度直角三角形
的性质，求解即可．
解：过点 作 ，如下图：
则
由题意可得： ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ 点的坐标为 ，
故选：B
【点拨】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关
键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
7．D
【分析】连接 ，令OD的中点为 ，根据折叠的性质可得 ， ，即可求得
，根据垂径定理可得 ，勾股定理可求得 ，即可求解．
解：连接 ，令OD的中点为 ，如图：
∵将 沿弦AB折叠，点C恰好落在OD的中点 上，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故 ，
∵CD为 的直径，弦 交CD于点E，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8．C
【分析】可借助平移性质得到小路的长为 、宽为 的矩形，再减去一个重叠的边长为 的正
方形的面积，列方程即可．
解：根据题意，小路的长为 米、宽为 米，
故所列方程为 ，
即 ，
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是
解答的关键．
9．C
【分析】根据题意构造△CDF，由圆的性质可证△CDF∽△CBD，有相似的性质即可得CD的值，从
而求sin∠A；
解：作直径CF，连接CD和DF，
则∠A＝∠F，∵BD切 O于D，
∴∠CDB⊙＝∠F，
∵CB⊥DB，CF为直径，
∴∠CDF＝∠B＝90°，
∴△CDF∽△CBD，
∴ ，
∵ ＝7，BC＝3，
∴CD＝ ，
∴sinA＝sinF＝ ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆的性质、三角形的相似，正确构造出三角形并能够通过圆的相关知识进行
相似的证明是解题的关键．
10．B
【分析】由抛物线的开口方向及与 轴交点的位置，即可得出 、 ，进而可得出 ，结论
①错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当 时， 随 的增大而增大，结论②错误；由抛物线
对称轴为直线 ，即可得出 ，进而可得出 ，结论③正确；由函数图像与x轴有两个交
点，可得出 ，结论④错误；由当 时， 可得出 ，结论⑤正确．综上即
可得出结论．
解：∵抛物线开口向上，且与 轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，结论①错误；
∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，结论②错误；
抛物线对称轴为直线 1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，结论③正确；∵函数图像与x轴有两个交点，
∴ ，结论④错误；
∵当 时， ，
∴ ，结论⑤正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解
题的关键．
11．1
【分析】根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均互为相反数，求出 的值，再代入计算即可．
解：∵点 关于原点对称的点为 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查坐标与中心对称．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标均互为相反数，是
解题的关键．
12．
【分析】把 代入抛物线 ，得 ，即可知道 的值．
解：依题意，
把 代入抛物线 ，
则 ，
即 ，
那么 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象性质，以及已知式子的值求代数式的值等知识内容，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
13．11
【分析】求解一元二次方程的根，根据三角形三边关系确定哪一个根为第三边，求周长．
解： ，
，解得 或 ，
∵ ，即 ，于是第三边长为 ，
∴三角形周长为 ．
故答案为：11
【点拨】本题考查三角形三边关系定理，一元二次方程的求解；掌握方程的求解是解题的关键．
14．
【分析】先解方程得到 ， ，延长 交 延长线于 点，过 作 于点 ，
先证明 ，得到 ，然后在 中，利用 直角三角形的性质和勾
股定理可求 ， ，然后在 中利用勾股定理求出 值，依据 ，则
值可求．
解： ，
，
， ，
、 分别是一元二次方程 的两根 ，
， ，
如图，延长 交 延长线于 点，过 作 于点 ，
为 中点，
，
，
，
又 ，，
， ，
，
在 中， ，
，
， ，
，
在 中，利用勾股定理得： ，
四边形 是平行四边形，
，
又 为 中点，
，
，
，解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的求解，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键．
15．
【分析】根据顶点P在线段 上移动，又知点A、B的坐标分别为 ， ，分别求出对称轴过
点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过点B ，点N的坐标为 ，此时的M点坐标为 ，
当对称轴过点A 时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为 ，M点的坐标为 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数
在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
16．
【分析】延长 交 于点 ，连接 ，根据等腰直角三角形的性质求出 ，进而得到 的长，
根据勾股定理求出 ，结合图形计算，得到答案．
解：延长 交 于点 ，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质、圆的基本概念是解题的关键．
17． /50度
【分析】连接 ，先利用切线的性质得 ，再根据圆周角定理得
，然后利用互余计算 的度数．
解：连接 ，如图所示，
为 的切线，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，比连过切点的
半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理．
18． ； ； ．
【分析】（Ⅰ）作 交 与点D，由 所对的直角边等于斜边的一半可得 ，再利用
，求出 ，进一步可得 ；
（Ⅱ）作 交 与点D，求出 ，分情况讨论：当P点运动到点D时， 在
与 的交点处， 最小， ；当 、E 、B三点共线，点P运动到点C时， 最
大，最大值为 ．
解：（Ⅰ）作 交 与点D，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（Ⅱ）作 交 与点D，
由（Ⅰ）可知： ， ，
∵E是 中点，
∴ ，
当P点运动到点D时， 在 与 的交点处，此时 ， 最小，最小值为
;
当 、E 、B三点共线，点P运动到点C时， 最大，最大值为
故答案为： ； ；
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三
角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
19．（1） ， ；（2）
【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；（2）首先去分母转化成整式方程，然后利用因式分解法解一元二次方程，然后检验即可．
解：（1）
直接开方得
解得： ， ；
（2）
去分母得：
∴ 或
解得： ，
检验：将 代入 ，符合题意；
将 代入 ，是增根，应舍去
∴ ．
【点拨】此题考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系即可求出答案．
（1）解：）由题意可知： ，
解得 ．
故 的取值范围是 ；
（2）由题意可知： ， ，
由勾股定理可知： ，
，，即 ，
解得 （舍去）， ．
故 的值为12．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，根的判别式以及勾股定理，解题的关键是熟练运用一元二次方
程根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
21．（1）图见分析，3， ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质，画出 ，再写出 的坐标即可；
（2）根据平移规则，结合勾股定理进行求解即可；
（3）利用将军饮马模型，作出 点即可．
（1）解：如图， 即为所求，
点 的坐标 ，
故答案为：3， ．
（2）如图，由勾股定理，得： ；
（3）如图，点P即为所求作，最小值为 ．
【点拨】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转，平移，轴对称的性质，是解题的关键．
22．（1）第 天生产的粽子数量为 只；（2）当 时， 有最大值，最大值为 ；（3）第
天每只粽子至少应提价 元【分析】（1）把 代入 ，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本 与 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到
与 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出 ，根据利润等于订购价减去成本价得出提价 与利润 的关系式，再根
据题意列出不等式求解即可．
解：（1）设李明第 天生产的粽子数量为420只，
由题意可知： ，解得 ．
第 天生产的粽子数量为 只．
（2）由图象得，当 时， ；
当 时，设 ，
把点 ， 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
① 时， ，当 时， （元）；
② 时， ，
∵ 是整数，
∴当 时， （元）；
③ 时， ，
∵ ，
∴当 时， （元）；
综上，当 时， 有最大值，最大值为
（3）由（2）可知 ， ，
设第 天提价 元，由题意得， ，∴ ，解得 ．
答：第 天每只粽子至少应提价 元．
【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利
用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
23．（1）①等边三角形；② 的长为 ；；（2）见分析
【分析】（1）①连接 ，证明 、 、 都是等边三角形，据此即可证明
是等边三角形；
②利用弧长公式即可求解；
（2）过点O作 于点H，在 中，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得
，据此即可得到结论．
（1）解：①连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
同理 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ 是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
②由①知 ，
∵点 与点 重合，
∴ 的半径为 ，
∴ 的长 ；
（2）证明：如图，过点O作 于点H，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，即 为 的半径，
∴ 与 相切．
【点拨】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，弧长公式，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
24．（1）＜，证明见分析；（2）（1）中猜想的结论不成立， ，证明见分析；（3）
36
【分析】（1）四边形 为圆O的内接四边形，则 ，在 中， ，
即可求解；
（2）延长 交圆O于点E，则 ，在 中， ，即可求解；
（3）分别过点A、C作 于点M， 于点N，由四边形 面积=知，当A、M、N、C共线且 为圆的直径时，四边形
面积最大，进而求解．
解：（1）连接 ，
∵四边形 为圆O的内接四边形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为：＜；
（2）（1）的结论不成立， ，理由：
延长 交圆O于点E，连接 ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，
即 ；
（3）∵ ，四边形 的内角和为360°，
∴ ，
即四边形 四点共圆，
分别过点A、C作 于点M， 于点N，则四边形 面积= ，
当A、M、N、C共线且 为圆的直径时，四边形 面积最大，连接OB、OD，
∵ ，
∴ ，
故 为等边三角形，则 ，
则 ，
则四边形 面积最大值 ，
故答案为：36．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，图形的面积计算，圆内接四
边形的对角互补等知识，理解准平行四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点．
