文档内容
期中复习与测试（1）（第11-13 章）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符号题目要求）
1．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结
构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江·七年级统考开学考试）用一根50厘米长的铁丝围一个三角形，三边均为整数，这
个三角形中最长的边可能是（ ）厘米．
A．24 B．26 C．28 D．30
3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）嘉淇在电脑上用画图软件画出了如图1所示的图形，
与 交于点O，若嘉淇拖动图形，使得 的度数减小了 ，∠A的度数增加了 ，得到如图2所示
的图形，设图1中 的度数为 ，图2中 的度数为 ，则x与y的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知四边形 ，求证：
．在证明该结论时，需要添加辅助线，则添加辅助线不正确的是（
）A． B． C． D．
5．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，已知 ， 与 交于点C， 与
交于点D，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）如图，强强想测量旗杆 的高度，旗杆对面有一高为 米
的大楼 ，大楼与旗杆相距 米（ 米），在大楼前 米的点P处，测得 ，且
， ，则旗杆 的高为（ ）
A．8米 B． 米 C． 米 D． 米
7．（2023秋·河北石家庄·八年级校考阶段练习）下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺
设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·福建厦门·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴的负半轴上，点在第三象限， 是等边三角形，点 在线段 上，且 ，点 是线段 上的动点，点 是 轴
负半轴上的动点，当 的值最小时， ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图， 中， ，边 上的中线 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在学习完等腰三角形之后，某兴趣小组开展
了如下数学活动：如图，正方形纸片 ，①先对折使 与 重合，得到折痕 ；②折叠纸片，使
得点 落在 的点 上，沿 和 剪下 ，小组成员得到了如下结论：① ；②
；③ 是等边三角形；④ ；⑤四边形 和四边形 全等．正确的个数
是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·四川绵阳·八年级盐亭县富驿镇初级中学校考阶段练习）如图， ，点A、B、F在一条直线上，点C、B、E在一条直线上， 中， 边上的高是线段 ．
12．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）匠人制作马扎时，支撑架都设计成如右图形状，这种方法
是利用了三角形的 ．
13．（2023·全国·八年级假期作业）如图， 的度数为
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， ， ， 为射线， ，点P从点B
出发沿 向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线 运动，速度为x个单位/秒；若在
某时刻， 能与 全等，则 ．
15．（2023秋·吉林延边·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴
上，点C在AB的延长线上．过点C作 ，与y轴交于点D，且 ．若点D的坐标为 ，
则线段AC的长度为 ．16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知 ，射线 平分 ，过点E作
于点H，作 于点F，并延长 交 于点G，连接 ．若 ， 则
的长为 ．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，已知 ， ，作第一个等边
三角形 ，使点 在射线 上，使 ， 在射线 上，顺次作第二个等边三角形 ……，
则第 个等边三角形的周长是 ．
18．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点C是直线 上一点，点P是直线 外一点，小睿同
学先作了射线 ，又分别作了 和 的角平分线，接着小源同学又给添加了一条过点P的直线
，并且 ，最后子瑞同学拿着圆规完成了以下作图：①以E为圆心，任意长为半径画弧分别交
， 于点M，N；②在分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧交于点O，得射线 ，交
于点F，若 ，则 °．三、解答题（本大题共6个小题，每小题4分，共58分）
19.（本小题满分8分）（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）如图， 中， 于点 ，
点 为 上的点（不与点 重合），连接 ， ， ， ．
（1）当 平分 时，求 的度数；
（2）若 为 的中线，且 的面积为10cm2，直接写出 的长．
20.（本小题满分8分）（2021·浙江杭州·统考中考真题）在① ，② ，③
这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在 中， ，点 在 边上（不与点 ，点 重合），点 在 边
上（不与点 ，点 重合），连接 ， ， 与 相交于点 ．若______，求证： ．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．21.（本小题满分10分）（2023秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图， 是 的平
分线， 垂直 于点 ， 垂直 于点 ，且 ．求证：
（1） ；
（2） ．
22.（本小题满分10分）（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，已知：E 是∠AOB 的平分
线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接 CD，且交 OE 于点F．
（1）求证：OD=OC；
（2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．23.（本小题满分10分）（2023秋·江苏扬州·八年级扬州市竹西中学校考阶段练习）如图1，在长方
形 中， ，点M从点B出发，以 的速度沿 向点C运动，设点M
的运动时间为 ．
（1） _________ （用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点M从点B开始运动时，点N同时从点C出发，以 的速度沿 向点D运动，
是否存在这样的x值，使得 与 全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
24.（本小题满分12分）（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在 中， ，点D是直
线 上一点（不与B、C重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ，连
接 ．
【发现】（1）如图1，点D在线段 上．
①当 时，求证： ，并求 的度数；
②当 时，直接写出 的度数；
【探究】（2）如图2，设 ．当点D在线段 的延长线上时，α，β之间有怎样
的数量关系？请说明理由；
【拓展】（3）若 为锐角三角形，且 ．在点D的运动过程中，当 垂直于
的某边所在直线时，直接写出 的度数．（用含γ的式子表示）参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称图形，解题关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．A
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，这个三角形的最长边要小于三角形周长的一半，据此
解答即可．
解：由题意得
（厘米），
因为这个三角形的最长边小于 厘米，
三边均为整数，
所以最长边可能为 厘米；
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，理解关系是解题的关键．
3．A
【分析】根据三角形内角和证明 的度数不变即可．
解：∵ 的度数减小了 ，∠A的度数增加了 ，
∴ 的度数不变，
∴ 的度数不变，
∴ 的度数不变，
∴ ．
故选A．
【点拨】本题考查了三角形内角和，对顶角相等，熟练掌握三角形内角和等于 是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据三角形的内角和定理，在四边形中添加辅助线构成三角形即可求解．
解： 、根据图示可得， 的内角和为 ， 的内角和为 ，由此可得
，故原选项正确，不符合题意；
、 的内角和为 ，然后减去平角 ，可得
，故原选项正确，不符合题意；
、 的内角和为 ，然减去以点 为圆心的周角 ，可
得 ，故原选项正确，不符合题意；
、不能证明，故原选项不正确，符合题意；
故选： ．
【点拨】本题主要多边形的内角和的计算方法，掌握添加辅助线构成三角形，运用三角形的内角和定
理即可求解．5．B
【分析】由 可得选项A、C是正确的，再利用外角的性质可得D是正确的，选项B是
错误的．
解：∵ ，
∴ ，故A、C正确；
∵ ．
∴ ，故D正确；
∵ 与 不平行，
∴ ，
∴ ，故B错误．
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
6．B
【分析】根据题意计算得 ，则 ，根据 ， 得 ，
则 ，根据 得 ，则 ，利用 可证明
，
即可得．
解：由题意得， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形判定与性质．
7．A
【分析】如图，由题意可得 是等边三角形，可得 ，延长 交 于点E，则
，求出 ，即正n边形的一个外角是 ，进而得出这个多边形是十二边形，从而得到答
案.
解：如图，由题意可得 是等边三角形，
∴ ，
延长 交 于点E，则 ，
∴ ，即正n边形的一个外角是 ，
∴这个多边形是 边形，
∴正n边形的内角和为 ；
故选：A.
【点拨】本题考查了正多边形的内角和外角、等边三角形的性质等知识，掌握求解的方法是关键.
8．B
【分析】作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 交 轴于点 ，进而得出 的值最小
的情况，然后根据 所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案．解：作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 交 轴于点 ，如图：
则此时 的值最小，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称－最短路径以及含 的直角三角形的性质，根据题意得出 的值最
小时的情况是解本题的关键．
9．C
【分析】延长 至点 ，使 ，利用中线的性质得到 ，继而证明
，由全等三角形对应边相等解得 ，最后利用三角形三边关系解题即可．
解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
是 的中线，在 中，根据三角形三边关系，
故选：
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、中线的性质等知识，是重要考点，准确作出辅助线是解
题关键．
10．D
【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质可得 ，因为 是 的垂直平分线，利用垂直
平分线的性质，可得 ，又根据折叠的性质可知 ，故 ，可得 是正
三角形，可得 ，从而计算出 ， ，得到 ，等量代换可得 ，再
说明四边形 和四边形 四条边相等，四个角相等，即可证明全等．
解：在正方形 中，
， ，
由折叠可知： ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
，
是正三角形，故③正确；
∴ ，
∴ ，故④正确；，故①正确；
∴
∵ ，
∴ ，故②正确；
由折叠可知： ，
∵ ， ， ，
又 ， ， ，
∴四边形 和四边形 全等，故⑤正确；
∴正确的有5个，
故选D．
【点拨】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，全等图形的判
定，掌握正三角形的判定方法是正确解答的关键．
11． /
【分析】根据三角形高线的定义，求解即可，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂
足之间的线段叫做三角形的高．
解：由三角形高线的定义可得： 中， 边上的高是线段 ，
故答案为：
【点拨】此题考查了三角形高线的定义，解题的关键是掌握三角形高线的定义．
12．稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性即可解决．
解：支撑架设计成如图形状，主要利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点拨】本题主要考查了三角形的性质，三角形具有稳定性，马扎的支撑架设计成三角形是为了保持
稳定．
13．80
【分析】根据三角形外角的性质可进行求解．
解：由图可知： ；
故答案为：80．
【点拨】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
14． 或【分析】设运动时间为 秒，由题意可知， ， ，分两种情况讨论：①当
时；②当 时，利用全等三角形的性质，分别求出 的值，即可得到答案．
解：设运动时间为 秒，
由题意可知， ， ，
，
，
①当 时， ， ，
，解得： ，
②当 时， ， ，
，解得： ，
综上可知， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关
键．
15．
【分析】证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，即可求解．
解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点D的坐标为∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明 是解题的关键．
16．2
【分析】先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义和“等角的余角相
等”可得 ，再由 ，可得 ，由角平分线的性质可得
，即可求出 的长．
解： ，
，
即 ．
，
，
．
∵ 平分 ，
，
，
∴ 平分 ．
，
．
，
，
∴ ．
故答案为：2
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且
证明 平分 是解题的关键．
17．
【分析】根据等边三角形的性质和三角形的外角性质可得出 ，得到 ，
进而可得 的周长 ， ，同理得到 的周长 ， 的周长，进而求解．
解：∵等边三角形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ， ，
同理可得： ， ，
∴ 的周长 ，
的周长 ，
依次类推……，
第 个三角形的周长是 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质和等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相
关图形的性质定理、得出规律是解题的关键．
18．75
【分析】角平分线的性质得出求出 ，平行线的性质内错角相等得出
，因为 平分 ， 平分 ，得出 ，再根据内角和得出 ．
解：由题可得， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：75．
【点拨】此题考查了角平分线和平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是通过角的相等关系
求出角的度数．
19．（1） ；（2）5cm
【分析】（1）由角平分线定义得到 ，由垂直的定义得到 ，由三角
形外角的性质得到 ；
（2）由三角形面积公式，即可求解．
（1）解： 平分 ，
，
于点 ，
，
；
（2）解： 为 的中线，
，
的面积为 ，
，
．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、根据三角形的中线求长度、三角形的
面积，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解题的关键．
20．见分析
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
解：选择条件①的证明：
因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ≌ ，
所以 ．
选择条件②的证明：
因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ≌ ，
所以 ．
选择条件③的证明：
因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ≌ ，
所以
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS，AAS，SAS，
ASA，HL
21．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）先利用角平分线的性质和垂直定义得到 ， ，再证明
，即可得到结论；
（2）同理证明 ，推出 ，进一步计算即可证明 ．
解：（1）证明：∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
．
【点拨】此题考查了角平分线的性质定理、直角三角形全等的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质
定理是解题的关键．
22．（1）详见分析；（2）详见分析；（3）OE=4EF．
【分析】（1）证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可，（2）通过上一问得OD=OC，ED=EC即可证明，（3）根
据30°角所对直角边是斜边一半即可得到关系．
解：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC；
（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，ED=EC，
∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上，
∴OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）OE=4EF．
∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【点拨】本题考查了特殊的直角三角形，三角形全等的判定，垂直平分线等知识，综合性强，中等难度．读图能力是解题关键．
23．（1） ；（2）当 或 时， 与 全等．
【分析】（1）先求解 ，再利用线段的和差计算即可；
（2）分 和 两种情况，根据全等三角形的性质建立方程解答即可．
（1）解：∵点M的速度是 ，
∴ 后 ，
∴ ，
（2）依题意得： ，
∵四边形 是长方形，
，
当 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得， ， ，
当 时，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得， ， ，
综上所述，当 或 时， 与 全等．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用
分情况讨论思想是解题的关键．
24．（1）①证明见分析， ；② ；（2） ；（3） 的值为 或
或 ．
【分析】（1）①由“ ”可证 ，得 ，可求 的度数；②同
理由“ ”可证 ，得 ，可求 的度数；
（2）由“ ”可证 得出 ，再用三角形的内角和即可得出结论；
（3）分三种情形：如图3-1中，当 时， 平分 ，如图3-2中，当 时，如图3-3中，当 时，利用三角形内角和定理以及全等三角形的性质求解即可．
解：（1）①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ， ，
∴ ，
同理， ，
∴ ，
∴ ；
（2）当点D在 的延长线上时， ，
理由如下：∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图3-1中，当 时，则 平分 ，
同理 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图3-2中，当 时，；
如图3-3中，当 时，
．
综上所述，满足条件 的值为 或 或 ．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于
中考压轴题．
