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专题 03 预备知识三：集合的基本运算
1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集
2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质
3、根据并、交集运算的性质求参数问题
1、交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，
记作 ，即 ．
2、并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，
记作 ，即 ．
3、补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，
即 ．
4、集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
5、高频结论
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1） ．
（2） , ．
对点特训一：交集
角度1：交集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·山东聊城·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由交集的定义求解.
【详解】集合 ，则 .
故选：D
例题2．（2024·全国·模拟预测）若集合 ，则集合 的真子集的个数为
．
【答案】3
【分析】根据交集运算求出 ，然后由n元集合的真子集个数为 可得.
【详解】因为 ，
所以 ，所以集合 的真子集的个数为 ．
故答案为：3
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合交集运算可得.
【详解】因为 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：A
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
角度2：根据交集的结果求集合或参数
典型例题
例题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合 . .若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可.
【详解】集合 . .
，
.
故选：C
例题2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合 ，集合 ，若
，则实数 的取值范围为 .
【答案】 或 ，
【分析】由题意分集合 是否为空集进行讨论，结合 ，列出相应的不等式（组），从而即可得
解.
【详解】集合 ，集合 ，且 ，
若 ，则 ，即 ，此时满足 ，即 满足题意；
若 ，则 ，即 ，此时若要使得 ，
则还需 或 ，解得 或 ，
注意到此时 ，从而此时满足题意的 的范围为 或 ；
综上所述，实数 的取值范围为 .
故答案为： 或 ，.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合 ，若 的子集有4个，
则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，得到 中有2个元素，且这两个元素为 和 ，即可求解.
【详解】由集合 ，
因为 ，且 的子集有4个，可得 中有2个元素，
则这两个元素为 和 ，所以 .
故选：C.
2．（2024·上海普陀·二模）已知 ，设集合 ，集合 ，若 ，则
.
【答案】2
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论 或4即可求解．
【详解】集合 ，集合 ， ，则 是 的子集，
当 时，等式不成立，舍去，
当 时，解得 ，此时 ， ，满足题意，
故 ．
故答案为：2．
角度3：根据交集的结果求元素个数
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则满足 的实数a的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【详解】依题意， ，若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述， 或 .
故选：B
例题2．（23-24高一上·广东珠海·期中）设 ， ，若 ，写出
由实数 所有可能值组成的集合 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】分 和 讨论即可.
【详解】由 解得 或 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，则有 或 ，解得 或 .
综上，实数 所有可能值组成的集合为 .
故答案为：
精练
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知 ， ，则满足条件的集合 的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定集合A中可能的元素即可得解.
【详解】由 ， ，得集合A中必有1，可能有2或3，
因此集合A可视为 与 的子集的并集，而 的子集有4个，
所以满足条件的集合 的个数为4.
故选：C
2．（23-24高三上·山西临汾·期中）设集合 ， ，则满足 且 的集合 的
个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出满足条件的集合 ，可得出结果.
【详解】已知集合 ， ，则满足 且 的集合 有： 、 、 、
，共 个.
故选：B.
对点特训二：并集
角度1：并集的概念及运算
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（2024·四川南充·二模）设集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合 ，根据并集的定义写出 .
【详解】 ，
.
故选：D.
例题2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若集合 或 ，则
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】
运用集合的并集的定义，借助于数轴表示即得.
【详解】由 或 可知，
.
故选：C.
精练
1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的运算可得答案．
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解.
【详解】由题， ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司则 .
故选：D.
角度2：根据并集的结果求集合或参数
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）设集合 ．若 ，则
（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据 ， 以及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
由 ， 得 或 ；
由 得 ，所以 ．此时 符合题意，
故选：B．
例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合 ，集合
．
(1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；
(2)若 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由判别式为0可得；
（2）由 得 ，然后对 分类讨论可得；
【详解】（1）集合B元素个数为1． ，
即 ，解得： ；
（2）∵ ，∴
对集合B讨论：
当 时，即 时， ，满足条件；
当 时，即 ，此时 ，满足条件；
当 时，要满足条件，必有 ，
由根与系数的关系有： ，此方程组无解，不满足条件舍去
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司综上所述，实数a的取值范围是
精练
1．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知集合 ， ，且 ，则实数n的值为
（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．
【答案】C
【分析】由题意得 ，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.
【详解】由题意 ，所以 ，而 ，即 ，
所以 或 ，解得 或 满足题意.
故选：C.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合 ， ，
.
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 且 ，求实数 的值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）由题意得出 ，再利用韦达定理求得参数值；
（2）由题意得出 ，求得 值后，再代入检验．
【详解】（1）由题可得 ，由 ，得 .
从而2，3是方程 的两个根，即 ，解得 .
（2）因为 ， .
因为 ，又 ，所以 ，
即 ， ，解得 或 .
当 时， ，则 ，不符合题意；
当 时， ，则 且 ，故 符合题意，
综上，实数 的值为 .
角度3：根据并集的结果求元素个数
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合 ， ，若 ，则 的
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司可能取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解.
【详解】由于 ， ， ，所以 或 ,
故选：B
例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知集合 ，则满足 的实数
的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，得 ，则可得 或 ，求出 后，再根据集合中的元素具有互异
性判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 或 ，
当 时， ，此时集合 中有两个1，所以 不合题意，舍去，
当 时，得 或 ，
当 时，集合 和集合 中均有两个1，所以 不合题意，舍去，
当 时， ，符合题意，
综上， ，
所以满足 的实数 的个数为1，
故选：B
精练
1．（2024·辽宁沈阳·三模）设集合 ，则满足 的集合B的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】B
【分析】根据集合交运算的结果，结合集合 的元素，直接求解即可.
【详解】 ，又 ，则 的元素必有 ，
故 可以为如下 个集合中的任意一个：
.
故选：B.
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合 ，若 ，满足条件的集合B有
个．
【答案】4
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用并集的概念分类讨论即可.
【详解】根据题意可知：若集合B有一个元素，则 ，
若集合B有两个元素，则 或 ，
若集合B有三个元素，则 ，综上满足条件的B有4个.
故答案为：4.
对点特训三：补集
角度1：补集的概念及运算
典型例题
例题1．（2024·北京丰台·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由补集和交集的定义求解.
【详解】集合 ，
， ， .
故选：C
例题2．（2024·北京房山·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】因为全集 ，集合 ，
所以 .
故选：B.
精练
1．（2024·全国·二模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】全集 ， ，则 ，而 ，
所以 .
故选：B
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集 ，集合 ，则韦恩图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得阴影部分表示的集合为 ，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】由题意得 ，
阴影部分表示的集合为 ．
故选：C.
角度2：根据补集运算确定集合或参数
典型例题
例题1．（23-24高一·全国·课后作业）设集合 ，全集 ,若 ,则有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式 得到 ，再求出 ，利用数轴法即可得到 .
【详解】由 ，解得 ，故
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，由数轴法得 .
故选：C.
例题2．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合
(1)若 ，求 ；
(2)在① ，② ，③ 中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的概念求出答案；
（2）选①②③均可得到 ，从而得到不等式组，求出答案.
【详解】（1） 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故 ；
（2）选①， ，则 ，
由于 ，故 ，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ；
选②， ，故 ，
由于 ，故 ，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ；
选③， ，故 ，
由于 ，故 ，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
精练
1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合 ，集合 ，若
，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】先得到 ，从而由交集为空集得到 的取值范围.
【详解】由题意得 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
故答案为：
2．（23-24高一上·上海·期末）若全集 ， ，且 ，求实数 的值
【答案】
【分析】根据补集运算求解即可.
【详解】由题意可知： ，
则 ，解得 ，
所以实数 的值为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训四：集合的并交补
角度1：并交补混合运算
典型例题
例题1．（2024·天津·二模）设集合 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用交集与并集的概念计算即可.
【详解】易知 ，所以 .
故选：C
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集 ，集合 ， ，则
图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 ，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 ，
因为 ， ， ，
所以 ，则 .
故选：A．
精练
1．（2024·吉林延边·一模）已知集合 ， ， ，则图中阴影部分表示的集
合为（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示 ，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示 ，
，所以 .
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）已知全集 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据Venn图结合交、并、补集的定义可得.
【详解】如图，因为 ，且 ，所以 ．
故选:B．
角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合 ，
(1)求集合 中的所有整数；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，0，1，2，3；
(2) .
【分析】（1）对集合 进行求解，得到 ，从而找到 中的所有整数；
（2）根据题干中的关系式 ，得到 ，从而根据子集关系进行讨论， 为空集，或者不
为空集即可得到实数 的取值范围.
【详解】（1）不等式 ，解得 ，得
∴集合 中的所有整数为 ，0，1，2，3；
（2）∵ ，∴ ，
①当 时， ，即 ， 成立；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司②当 时，由 ，有 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合 ，集合 ．
(1)求 和 ；
(2)设 ，若 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案；
（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）由题意，可得 ，
所以 ， ．
（2）因为 ，若 ，
所以 解得 ，所以a的取值范围是 ．
例题3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集 ，集合
．
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据集合运算的定义计算；
（2）由已知得 ，再由集合包含的关系得出不等式，从而得出结论．
【详解】（1）由已有 ， 或 ，
∴ ；
（2）∵ ，∴ ，
若 ，则 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，解得 ，∴ ，
综上， 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)设 ，若 且 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，再分 和 两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即
可.
（2）因为 且 ，所以集合 中至少存在一个整数，得 ，求解即得.
【详解】（1） ，且 ，所以 .
若 ，此时 ，解得 ；
若 ，此时 ，且 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
（2）因为 且 ，所以集合 中至少存在一个整数.
或 ， ，要使 中至少存在一个整数，
则 ，解得 ，则实数 的取值范围是 .
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合 ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.
（2）判断出 是 的子集，根据 是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，∴ .
（2） ，则 是 的子集， ，
当 ，即 时， ，满足题意；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， 或 解得：
综上得 的取值范围是： .
3．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合 ， ，若 ，求
实数a的取值范围.
【答案】
【分析】先假设 ，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可.
【详解】∵ .
假设 ，则
① ，有 ，解得 ；
② ，有 ，a无实数解；
③ ，有 ，解得 ；
④ ，有 ，a无实数解.
∴ 时， ，
即满足 的实数a的取值范围是
对点特训五： 图
典型例题
例题1．（2024·广西南宁·一模）已知集合 ，集合 ，则如图中的阴影部分表示
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形所表示的含义再结合交集和补集的定义即可.
【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于 不属于 的元素组成的集合，
又 ，所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：C.
例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）全集 ，集合
的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 ，得到阴影部分表示的集合.
【详解】图中阴影部分表示的集合为 中元素去掉 的元素后的集合，
，故图中阴影部分表示的集合为 .
故选：B
精练
1．（2024·北京东城·一模）如图所示， 是全集， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得
解.
【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是 .
故选：D.
2．（2024·宁夏银川·一模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求集合A，结合集合间的运算分析求解.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得： ，
可得 ，
所以图中阴影部分表示的集合为 .
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合 ，则集合 的元素
个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】易知 ，结合交集的概念与运算即可求解.
【详解】由题意知， ，
所以 ，共3个元素.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， 为除以3余1的整数的集合，则
的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】求出集合B，由交集运算可得.
【详解】由于除以3余1的数可以写成 ， ，故 ．
又 ，所以 ，
所以 的元素个数是4．
故选：D．
3．（2024·上海松江·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根据交集概念求解.
【详解】因为集合 ， ，
所以 .
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合 ， ，若 中恰有三个元素，则由a的取
值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
【详解】因为 中恰有三个元素，所以 或 或 ，
结合集合中元素的互异性，解得 或 或 （舍去）或 .
故选：D．
5．（2024·北京顺义·二模）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：D
6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由并集和补集的定义求解即可.
【详解】因为 ，
故 ，所以 .
故选：D.
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合 ， ， ，则集合
的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】首先用列举法表示出集合 、 ，即可求出集合 ，再求出其子集个数.
【详解】因为 ，又 ，
所以 ，所以 ，则集合 的子集共有 个．
故选：C
8．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用并集及补集的定义即可求解.
【详解】因为 ，
所以 或 ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集 ，集合 ， ，则
下列说法不正确的是（ ）
A．集合 的真子集有 个 B．
C． D． ，
【答案】BCD
【分析】根据含有 个元素的集合的真子集有 个判断A，依题意可得 ，即可判断B，根据 ，
判断C，由 判断D.
【详解】对于A：因为 含有 个元素，则集合 的真子集有 个，故A正确；
对于B：因为 且 ，所以 ，则 ，故B错误；
对于C：因为 ，
显然 ， ，所以 不是 的子集，故C错误；
对于D：依题意 ，
所以 ，显然 ，故D错误.
故选：BCD
10．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形 表示全集， 是 的两个子集，则阴影部分可
表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素 ，分析元素 与各集合的关系，即可得出合适的选项.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 且 ，即 且 ，
所以阴影部分可表示为 ，A对；
且 ，阴影部分可表示为 ，而 ，故C错误；
且 ，阴影部分可表示为 ，D对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为 的真子集，B选项不合乎要求.
故选：AD.
三、填空题
11．（2024·辽宁·二模）已知集合 ， ，若 ．则m的取值范围是
．
【答案】
【分析】由题意可得 ，再列出不等式组，解之即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
所以 且 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
12．（2024·海南·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 .
【答案】2
【分析】根据交集结果可知 ，结合子集关系分析求解.
【详解】因为 ，可得 ，
可知 ，且 ，所以 .
故答案为：2.
四、解答题
13．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知集合 ，
(1)当 时，求 ；
(2)在① ② 中任选一个作为已知，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时，写出集合 ，利用补集和交集的定义可求得集合 ；
（2）选条件①或②，都有 ，分 、 两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实
数 的不等式（组），综合可得出实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：因为 ，所以， 或 ，
当 时， ，
因此， .
（2）解：选条件①或②，都有 ，
当 时， ，解得 ，满足题意；
当 时，则 ，解得 ，
综上： ，因此，实数 的取值范围为 .
14．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合 （ 且 ）， ，且
．若对任意 ，当 时，存在 ，使得 ，
则称 是 的 元完美子集．
(1)判断下列集合是否是 的3元完美子集，并说明理由；
① ；
② ．
(2)若 是 的3元完美子集，求 的最小值．
【答案】(1) 不是 的3元完美子集， 是 的3元完美子集，理由见解析
(2)
【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；
（2）分别设 ， ，以及 时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值，
即可求解.
【详解】（1）①因为 ，且 ，
所以 不是 的3元完美子集；
②因为 ，且 ，
而 ，
是 的3元完美子集．
（2）不妨设 ．
若 ，则 ，且 ，
则集合 的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾；
若 ，则 ，而 ，符合题意，
此时 ，即 ,
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司此时 ．
若 ，则 ，于是 ， ，若存在3元完美子集，
则 或 ，即 ，所以 ．
综上， 的最小值是12．
【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义.
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