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专题 09 预备知识九：函数的概念
1、学会运用集合语言表示函数，理解函数的定义及构成要素，会求解简单函数的定义域和值域
2、掌握函数相等与判定的方法
知识点一：函数的概念
1、初中学习的函数的传统定义
设在一个变化的过程中，有两个变量 和 ，如果给定了一个 值，相应地就有唯一确定的一个 值
与之对应，那么我们就称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖
关系.
2、函数的近代定义
一般地，设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系
，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数
(function)，记作 ， .其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相
对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是集合 的子集.
函数的四个特征：
①非空性： ， 必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在
的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
知识点二：函数的三要素
1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
2、对应关系：对应关系 是函数的核心，它是对自变量 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域(range).
知识点三：函数相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
知识点四：区间的概念
1区间的概念
设 ， 是实数，且 ，满足 的实数 的全体，叫做闭区间，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司记作 ，即， 。如图： ， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若
区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
集合
区间
2含有无穷大的表示
全体实数也可用区间表示为 ，符号“ ”读作“正无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，即
。
集合
区间
对点特训一：函数关系的判断
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，那么
函数 的图象可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将
“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合
， ，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 到 的函数的
是（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（多选）（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合 ，则下列图象能表示
集合 到集合Q的函数关系的有（ ）
A． B．
C． D．
对点特训二：集合与区间的转化
典型例题
例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）区间 表示的集合是（ ）
A． 或 B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中） 用区间表示为 ； 用区
间表示为 ．
例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 或 .
精练
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（ ）
A． 用区间可表示为 B． 用区间可表示为
C． 用集合可表示为 D． 用集合可表示为
2．（23-24高一上·重庆·期中）集合 用区间表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·广东江门·期中）不等式 的解集用区间表达为 ．
对点特训三：同一个函数
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
例题2．（多选）（23-24高一上·浙江·期中）下列各组函数不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列函数 与 表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训四：函数求值问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象
是如图的曲线 ，其中 ，则 的值为（ ）
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
例题2．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知 ， .
(1)求 ， 的值；
(2)求 ， 的值.
精练
1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知 ，则 ．
2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若 表示不大于 的最大整数，比如 ，则
．
对点特训五：求函数的定义域
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司典型例题
例题1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数 的定义域为（ ）
A．{ 且 } B．{ 且 }
C． D．{ 且 }
例题2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高一上·湖南张家界·阶段练习）已知函数 ，则 的定义域为
精练
1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·山东·期中）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
.
对点特训六：函数的值域
角度1：一次、二次、反比例函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数 ，函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023高一·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1) ， ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2) ， ；
精练
1．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数 的值域为 .
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 ， 的值域为 .
角度2：根式型值域
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
例题2．（22-23高一上·浙江·期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
精练
1．（23-24高一上·安徽亳州·期中）函数 的值域为
2．（22-23高一上·湖北鄂州·期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
角度3：分式型值域
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）函数 的值域是 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数 的最大值为 ．
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）对任意的 ， 表示不超过x的最大整数，十八世纪，
被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·河南·期中）若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数 的定义域为R，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
8．（19-20高一上·安徽芜湖·阶段练习）在实数集 中定义一种运算“ ”，具有下列性质：
①对任意a， ， ；
②对任意 ， ；
③对任意a， ， ．
则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
三、填空题
10．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）函数 的值域为
四、解答题
11．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函数 .
(1)当 时，求 的值域；
(2)若 的定义域为 ，求实数 的值；
(3)若 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）完成下列各小题:
(1)若正数 ， 满足 ，求 的最小值.
(2)已知 ，求 的最小值.
(3)已知定义在 的函数 ，求函数的值域
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