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人教版高一数学必修一第 3 章函数的概念与性质，单元卷(解
析版)
一、单选题（每题5分，共60分）
1．下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】B
【分析】
利用两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可
【详解】
选项A， 定义域为 ， 定义域为R，故不为同一函数；
选项B，两个函数定义域都为R，且 ，故两个函数是同一个函数；
选项C， 定义域为R， 定义域为 ，故不为同一个函数；
选项D， 定义域为 ， 定义域为 ，故不为同一个函数.
故选：B
2．在下列图象中，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
试卷第1页，共3页C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的定义，任意一个自变量的值对应因变量的唯一的值，依次判断即得解
【详解】
由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应因变量的唯一的值，
∴可作直线 从左向右在定义域内移动，看直线 与曲线图象的交点个数是否
唯一.
显然，A，B，C均不满足，而D满足
故选：D.
3．设 是定义域为 的奇函数，当 时， （m为
常数），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出m，再利用 代入求解即可.
【详解】
解：因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，因为当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以当 时， ，
试卷第2页，共3页所以 .
故选：C.
4．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2021)＝k，则f(－2021)等于（ ）
A．k B．－k
C．1－k D．2－k
【答案】D
【分析】
方法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，g(x)是奇函数，利用奇偶性即可求解；方法二：f(－x)
＋f(x)＝2，即可求解.
【详解】
方法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数，
从而f(－2021)＝g(－2021)＋1＝－g(2021)＋1.
又因为f(2021)＝k，所以g(2021)＝k－1，
从而f(－2021)＝－(k－1)＋1＝2－k.
方法二：因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，
所以f(－2021)＋f(2021)＝2.
又因为f(2021)＝k，所以f(－2021)＝2－k.
故选：D
5．函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令 ，则 ，利用反比例函数的单调性，即得解.
【详解】
由题意，令 ，由于 ，故 ，
故 ，由反比例函数的性质， 在 单调递增，
故当 时， ；当 时， ，
试卷第3页，共3页故函数在 的值域为： .
故选：A.
6．已知函数 在定义域 内单调递减，且 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数的定义域和单调性列出不等式组，解出答案即可.
【详解】
由题意， .
故选：A.
7．函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令 ，进而解出即可得到答案.
【详解】
令 .
故选：A.
8．如果函数 ， ，那么函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
试卷第4页，共3页把 配方之后，确定函数的单调区间，即可求函数值域.
【详解】
解： ，开口向上，对称轴为 ，
所以函数 在 单调递增，
所以 ，
所以函数 的值域为
故选：C
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）内单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用函数为偶函数以及在[0，+∞）内单调递减即可判断函数值的大小，
【详解】
解∶∵f(x)是定义在R上的偶函数，
f(x)在[0，+∞）内单调递减，
由 ，∴
故选∶D．
10．若 是奇函数，且在 内是增函数，又 ，则 的解集是
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
试卷第5页，共3页【分析】
根据奇函数的单调性的性质，结合不等式的性质分类求解即可.
【详解】
因为 是奇函数，在 上是增函数，所以 在 上也是增函数，
因为 是奇函数，所以 ，
当 时，由 ；
当 时，由
故选：D
11．已知定义在 上的函数 满足，① ，② 为奇函数，
③当 时， 恒成立.则 、 、 的大小
关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据单调性的定义可得 在 上单调递增，根据已知条件可得 是周期为
的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.
【详解】
由 可得 ，所以 的周期为 ，
因为 为奇函数，所以 为奇函数，
因为 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 为奇函数，所以 在 上单调递增，
试卷第6页，共3页所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
，
所以 ，即 .
故选：C.
12．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则 在 时的
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令 ，则 ，利用已知的解析式以及奇函数的定义求解即可．
【详解】
令 ，则 ，又当 时， ，
所以 ，
又 为奇函数，则 ，
所以 .
故选：C．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．函数 的定义域为__________.
【答案】
【分析】
直接求解即可得答案.
【详解】
试卷第7页，共3页解：要使函数有意义，则 ，解得
所以函数的定义域为 .
故答案为：
14．已知 ，则 ____________.
【答案】1
【分析】
根据分段函数解析式，直接将 代入解析式即可求解.
【详解】
解：∵ ，
则 ，
故答案为：1.
15．函数 的定义域___．
【答案】
【分析】
依题意可得偶次方根的被开方数为非负数，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为 ，所以 ，即 ，解得 或
，故函数 的定义域为
故答案为：
16．设m为实数，若函数 （ ）是偶函数，则m的值为
__________.
【答案】0
【分析】
试卷第8页，共3页根据函数的奇偶性的定义可得答案.
【详解】
解：因为函数 （ ）是偶函数，所以 ，
所以 ，得 ，所以 ，
故答案为：0.
三、解答题（共70分）
17（12分）．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）由偶次根式被开方数大于或等于 ，分母不等于 列不等式，解不等式即可求解；
（2）由偶次根式被开方数大于或等于 ，即可求解.
（3）由偶次根式被开方数大于或等于 ，分母不等于 列不等式，解不等式即可求解；
【详解】
（1）由题意可得 ，解得： 且 ，
所以这个函数的定义域是 ；
（2）由题意可得 ，解得： ，
所以这个函数的定义域是 ；
（3）由题意可得 ，解得： ，
所以这个函数的定义域是 ．
试卷第9页，共3页18（12分）．（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域；
（2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域．
【答案】（1） ；（2）[-1，1]．
【分析】
(1)根据复合函数的意义列出不等式组，求解即得；
(2)根据复合函数的意义求出函数2x-3在区间[1，2]上的值域即可.
【详解】
（1）因为函数f(x)的定义域为[2，3]，则在函数f(2x-3)中，有2≤2x-3≤3，解得 ，
所以函数f(2x-3)的定义域为 ；
（2）因为函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，则2x∈[2，4]，2x-3∈[-1，1]，
所以f(x)的定义域为[-1，1].
19（12分）．已知函数f(x)= ，g(x)=3x+1.
（1）求f(1)，g(f(0))的值；
（2）求f(1-x)，f(g(x))．
【答案】（1）f(1)=1，g(f(0))=-2；（2）f(1-x)= ，f(g(x))= .
【分析】
(1)根据给定条件求出f(1)，f(0)，进而即可计算g(f(0))得解；
(2)分别用1-x及g(x)代换f(x)中x再化简计算即得.
【详解】
（1）f(1)= =1，f(0)=-1，g(f(0))=g(-1)=-3+1=-2；
（2）当 ，即 时，f(1-x)= = ，
当 ，即 时，f(g(x))= = .
20（11分）．已知函数 ，且 ， ，求 ， 的值.
【答案】 ；
【分析】
由 ， 解得 ，再根据 可求出结果.
试卷第10页，共3页【详解】
由已知可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， .
21（12分）．已知函数y＝f(x)满足 ，求函数y＝f(x)的解析式．
【答案】
【分析】
利用配凑法求得 的解析式.
【详解】
，其中 ，
所以 .
22（13分）．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f（x＋y）－f（y）＝x（x＋2y＋1）
成立，且f(1)＝0
（1）求f(x)的解析式；
（2） ，若存在 ，使得 ，有
成立，求a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）赋值法，令y＝1，求出 ，进而求出 ；（2）根据题干中的条件，只需
，先求出函数 的最大值，转化为关于a
的一元二次不等式，进而求出a的取值范围.
试卷第11页，共3页【详解】
解：（1）令y＝1，则由已知 ，
．
（2）由题意 ，有 ，
则
对于g(x)，当x＝0时，g(0)＝0，当 时， ，设 ，
则y在（0，1）单调递减，在 单调递增，在x＝1处取到最小值 ，
所以 ，所以 ，综上， ，当且仅当x＝1时取到，
所以不等式 ；
设 ，则h(x)为开口向上的二次函数，其对称轴为
x＝a，下面通过对称轴的位置对h(x)的最值情况进行分类讨论：
1）当 时，对称轴距离区间右侧x＝2更远，故
原不等式 ，即 ；
2）当 时，对称轴距离区间左侧x＝－1更远，故
原不等式 ，即 ；
综上， ．
试卷第12页，共3页试卷第13页，共3页
