高一数学下学期核心高频考点速查（含二级结论）（三角函数与平面向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_0615数学

高一数学下学期核心高频考点速查
（含二级结论）
（三角函数与平面向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）
速查 01 集合与常用逻辑用语（29 个核心考点）
一、集合
1. 集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先检验互异性.
2. 常用数集的表示：自然数集N、正整数集N₊（或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
3. 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩（Venn）图法，明确描述法中代表元素的类型.
4. 空集的定义：不含任何元素的集合，记为∅，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集.
5. 子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集.
6. 集合的交集运算：A∩B表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合.
7. 集合的并集运算：A∪B表示由所有属于A或属于B（或两者都属于）的元素组成的集合.
8. 集合的补集运算：ð A表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围.
U
9. 集合运算性质：A∩A=A、A∪A=A；A∩∅=∅、A∪∅=A；A∩B=B∩A、A∪B=B∪A.
10. 若A⊆B，则A∩B=A、A∪B=B，解题时需注意A为空集的特殊情况.
11. 区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算.
12. 描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围（隐含定义域）.
13. 集合关系的判定：若A⊆B且B⊆A，则A=B.
14. 补集的性质：(1) ð （ U ð U A）= A；（2）A I (ðU A)=Æ;（3）A U (ð U A)=U
15．集合运算与集合间关系的转化：
AÇB= AÛ AÈB= BÛ AÍ BÛC BÍC A Û AÇC B=F ÛC AÈB= R.
U U U U
16．一组重要的结论：
(1)有限集合a ,a ,a , ,a 的子集情况：子集有2n个，真子集有2n -1个，非空子集有2n -1个，非空
1 2 3 L n
真子集有2n -2个.
(2)元素与集合的关系：xÎAÛ xÏC A,xÎC AÛ xÏA ．
U U
(3)德摩根公式：C (AÇB)=C AÈC B;C (AÈB)=C AÇC B ．
U U U U U U
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学科网（北京）股份有限公司(4)容斥原理：card(AÈB)=card(A)+card(B)-card(AÇB),
card(AÈBÈC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AÇB) -card(AÇC)-card(BÇC)+card(AÇBÇC).
二、常用逻辑用语
17. 命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题.
18. 四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假.
19. 否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论.
20. 充分条件的定义：若p⇒q，则p是q的充分条件（p能推出q）.
21. 必要条件的定义：若q⇒p，则p是q的必要条件（q能推出p）.
22. 充要条件的定义：若p⇔q，则p是q的充要条件（两者互相推出）.
23. 充分不必要条件：p⇒q，但q⇏p；必要不充分条件：q⇒p，但p⇏q.
24. 全称量词命题：含有“任意”“所有”“每一个”等量词，记为∀x∈M，p(x).
25. 存在量词命题：含有“存在”“有一个”“至少一个”等量词，记为∃x∈M，p(x).
26. 全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为∃x∈M，¬p(x).
27. 存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为∀x∈M，¬p(x).
28. 充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断.
29．常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
速查 02 函数（27 个核心考点）
一、函数核心考点（28条）
1. 函数的定义：设非空数集A、B，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在
集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
2. 函数的三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域.
3. 函数定义域的求解原则：分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0、底数大于0且不等
于1.
4. 函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分.
2 / 19
学科网（北京）股份有限公司5. 函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方
法.
6. 函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域.
7. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化.
8. 分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值.
9. 分段函数的求值：需先判断自变量所在区间，再代入对应解析式计算.
10. 函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量x₁、x₂，若x₁<x₂时，f(x₁)<f(x₂)则为
增函数，反之则为减函数.
11. 函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则.
12. 复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减.
13. 函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可用“∪”符号.
14. 函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-x)=f(x)为偶函数，若f(-x)=-f(x)为奇函数.
(2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称.
15．函数的奇偶性性质：
(1)如果一个奇函数 f x在原点处有定义，即 f 0有意义，那么一定有 f 0=0．
(2)如果函数 f x是偶函数，那么 f x= f  x  ．
(3)若函数y = f x+a是偶函数，则函数y = f x的图象关于直线x=a对称．
(4)若函数y = f x+b是奇函数，则函数y = f x的图象关于点（b，0）中心对称．
16. 判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.
17. 常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数.
18. 一次函数的解析式与性质：y=kx+b（k≠0），k决定单调性，b决定与y轴交点.
19. 二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴.
20. 二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况.
21. 指数函数的解析式：y=aˣ（a>0且a≠1），底数a决定函数单调性.
22. 指数函数的性质：定义域为R，值域为(0,+∞)，过定点(0,1).
23. 对数函数的解析式：y=logₐx（a>0且a≠1），与指数函数y=aˣ互为反函数.
3 / 19
学科网（北京）股份有限公司24. 对数函数的性质：定义域为(0,+∞)，值域为R，过定点(1,0)，底数a决定单调性.
25. 幂函数的解析式：y=xᵃ（a为常数），重点掌握a=1,2,3,-1,1/2的图象与性质.
26. 函数的周期性
(1)定义：若存在非零常数T，使得对于定义域内任意x，都有f(x+T)=f(x)，则T为函数的周期.
(2)对 f x定义域内任一自变量的值x：①若 f x+a=-f x，则T =2aa >0．
1
②若 f x+a= ，则T =2aa >0．
f x
1
③若 f x+a=- ，则T =2aa >0．
f x
27. 函数图象的变换：
（1）平移变换：①y = f x的图象¾¾a>0,¾右移¾a个¾单位¾®y = f x-a的图象；
a<0,左移a个单位
②y = f x的图象¾¾b>0,¾上移¾b个¾单位¾®y = f x+b的图象．
b<0,下移b个单位
“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在 f x整体上加减．
（2）对称变换
①y = f x的图象¾¾关于¾x轴对¾称¾®y =-f x的图象；
②y = f x的图象¾关¾于¾y轴对¾称¾®y = f -x的图象；
③y = f x的图象¾关¾于¾原点¾对称¾®y =-f -x的图象；
④y =axa >0且a ¹1的图象¾关¾于¾直线¾y=x¾对称¾®y =log xa>0 且a¹1的图象．
a
（3）伸缩变换
1
a>1,横坐标缩短为原来的 纵坐标不变
①y = f x的图象¾¾¾¾¾¾¾¾a¾¾¾¾®y = f ax的图象．
1
0<a<1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变
a
②y = f x的图象¾¾a>1¾,纵坐¾标伸¾长¾为原¾来的¾a倍¾,横坐¾标不¾变¾®y=af x的图象．
0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变
（4）翻折变换
4 / 19
学科网（北京）股份有限公司①y = f x的图象x轴下方部分翻折到上方y = f x 的图象；
②y = f x的图象¾¾¾¾y轴右¾侧部¾分¾¾¾®y = f  x  的图象．
原y轴左侧部分去掉,右侧不变
（1）平移变换
①y = f x的图象¾¾a>0,¾右移¾a个¾单位¾®y = f x-a的图象；
a<0,左移a个单位
②y = f x的图象¾¾b>0,¾上移¾b个¾单位¾®y = f x+b的图象．
b<0,下移b个单位
“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在 f x整体上加减．
（2）对称变换
①y = f x的图象¾¾关于¾x轴对¾称¾®y =-f x的图象；
②y = f x的图象¾关¾于¾y轴对¾称¾®y = f -x的图象；
③y = f x的图象¾关¾于¾原点¾对称¾®y =-f -x的图象；
④y =axa >0且a ¹1的图象¾关¾于¾直线¾y=x¾对称¾®y =log xa>0 且a¹1的图象．
a
（3）伸缩变换
1
a>1,横坐标缩短为原来的 纵坐标不变
①y = f x的图象¾¾¾¾¾¾¾¾a¾¾¾¾®y = f ax的图象．
1
0<a<1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变
a
②y = f x的图象¾¾a>1¾,纵坐¾标伸¾长¾为原¾来的¾a倍¾,横坐¾标不¾变¾®y=af x的图象．
0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变
（4）翻折变换
①y = f x的图象x轴下方部分翻折到上方y = f x 的图象；
②y = f x的图象¾¾¾¾y轴右¾侧部¾分¾¾¾®y = f  x  的图象．
原y轴左侧部分去掉,右侧不变
28．函数图象的对称性
（1）函数图象自身的轴对称
① f -x= f xÛ函数y = f x的图象关于 y轴对称；
5 / 19
学科网（北京）股份有限公司② 函 数 y = f x的 图 象 关 于 x=a对 称
Û f a+x= f a-xÛ f x= f 2a-xÛ f -x= f 2a+x；
③若函数 y = f x的定义域为 R ，且有 f a+x= f b-x，则函数 y = f x的图象关于直线
a+b
x= 对称．
2
（2）函数图象自身的中心对称
① f -x=-f xÛ函数y = f x的图象关于原点对称；
②函数y = f x的图象关于（a，0）对称
Û f a+x=-f a-xÛ f x=-f 2a-xÛ f -x=-f 2a+x；
③函数y = f x的图象关于点（a，b）成中心对称
Û f a+x=2b- f a-xÛ f x=2b- f 2a-x．
（3）两个函数图象之间的对称关系
b-a
①函数y = f a+x与y = f b-x的图象关于直线x= 对称（由a+x=b-x得对称轴方程）；
2
②函数y = f x与y = f 2a-x的图象关于直线x=a对称；
③函数y = f x与y =2b- f -x的图象关于点（0，b）对称；
④函数y = f x与y =2b- f 2a-x的图象关于点（a，b）对称．
速查 03 三角函数与解三角形（52 个核心考点）
一、三角函数
1. 任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角.
2. 终边相同的角的表示：与角α终边相同的角可表示为α+2kπ（k∈Z）.
3. 象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限.
4. 弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为1rad.
6 / 19
学科网（北京）股份有限公司p æ180öo
5. 角度与弧度的换算：180°=πrad，1°= rad，1rad=ç ÷ .
180 è p ø
6. 弧长公式：l=|α|r（α为弧度制，r为半径）.
1 1
7. 扇形面积公式：S=S = lr = |a|r2（l为弧长，α为弧度制，r为半径）.
2 2
8. 任意角的三角函数定义：设角α终边上一点P(x,y)， r = x2 + y2 ，
y x y
则sina= 、cosa= 、tana= (x¹0).
r r x
9. 三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sinα、cosα、tanα的正负.
p p p p
10. 特殊角的三角函数值：牢记0、 、 、 、 及相关诱导角的三角函数值.
6 4 3 2
sina
11. 同角三角函数基本关系：sin²α+cos²α=1，tana= （osα≠0）.
cosa
12. 诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限（“奇、偶”指π/2的奇数倍、偶数倍）.
13. 正弦函数y=sinx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π.
14. 余弦函数y=cosx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π.
p
15. 正切函数y=tanx的定义域：{x|x≠ +kπ,k∈Z}，值域：R，周期：π.
2
16. 正弦、余弦函数的奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数.
17. 三角函数的单调性：掌握y=sinx、y=cosx、y=tanx的单调区间.
18. 三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心.
19. 三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减”的规律.
20. 三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响.
21. 函数y=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0）的振幅：A，周期：T=2π/ω，相位：ωx+φ，初相：φ.
22. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法：五点法（零点、最高点、最低点）.
二、三角变换
23. 两角和与差的正弦公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.
24. 两角和与差的余弦公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.
p
tana±tanb
25. 两角和与差的正切公式：tan(a±b)= （α、β、α±β≠ +kp,kÎZ)π/2+kπ）.
1 tanatanb 2
m
26. 二倍角的正弦公式：sin2α=2sinαcosα.
27. 二倍角的余弦公式：cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α.
7 / 19
学科网（北京）股份有限公司2tan𝛼 p kp
28. 二倍角的正切公式：tan 2α＝ .（α≠ + ,kÎZ).
1－tan2𝛼
4 2
1+cos2𝛼 1－cos2𝛼 1－cos2𝛼 1
29. 降幂公式：cos2α＝ ；sin2α＝ ；tan2α＝ ；sin αcos α＝ sin 2α.
2 2 1+cos2𝛼 2
30. 升幂公式：1+cos2α=2cos²α，1-cos2α=2sin²α.
31. 半角公式：sin 𝛼 ＝± 1－cos𝛼 ；cos 𝛼 ＝± 1+cos𝛼；tan 𝛼 ＝± 1－cos𝛼 .符号由 𝛼 所在象限决定.
2 2 2 2 2 1+cos𝛼 2
𝛼 sin𝛼 1－cos𝛼
32．半角正切公式的有理化：tan ＝ ＝ .
2 1+cos𝛼 sin𝛼
b
33. 辅助角公式：asin α＋bcos α＝ 𝑎2＋𝑏2sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中tanj= .
a
34．积化和差公式
1
cos αcos β＝ [cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
2
1
sin αsin β＝－ [cos(α＋β)－cos(α－β)]；
2
1
sin αcos β＝ [sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
2
1
cos αsin β＝ [sin(α＋β)－sin(α－β)].
2
35．和差化积公式
𝛼＋𝛽 𝛼－𝛽
sin α＋sin β＝2sin cos ；
2 2
𝛼＋𝛽 𝛼－𝛽
sin α－sin β＝2cos sin ；
2 2
𝛼＋𝛽 𝛼－𝛽
cos α＋cos β＝2cos cos ；
2 2
𝛼＋𝛽 𝛼－𝛽
cos α－cos β＝－2sin sin .
2 2
36．配方变换公式：1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)2.
37．因式分解变换公式：cos2a=(cosa+sina)(cosa-sina).
a a a
2tan 1-tan2 2tan
2 2 2
38.万能公式：sina= , cosa= , tana= .
a a a
1+tan2 1+tan2 1-tan2
2 2 2
39．三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幂、升幂、角的配凑.
40. 角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如α=(α+β)-β、2α=(α+β)+(α-β).
41. 三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数.
42. 三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角.
43. 给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角.
44. 三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果.
8 / 19
学科网（北京）股份有限公司45. 利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式.
46. 辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，便于求性质.
三、解三角形
47 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角.
a b c
48 正弦定理： = = =2R（R为三角形外接圆半径）.
sinA sinB sinC
49正弦定理的变形：1a:b:c=sinA:sinB:sinC
2a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a b c
3sinA= ,sinB= ,sinC =
2R 2R 2R
50 余弦定理：a2 =b2 +c2 -2bccosA,b2 =a2 +c2 -2accosB,c2 =a2 +b2 -2abcosC
b2 +c2 -a2 a2 +c2 -b2 a2 +b2 -c2
51余弦定理的变形：cosA= ，cosB= ,cosC = .
2bc 2ac 2ab
52角形面积公式:
1 1 1 abc 1
S = absinC = bcsinA= acsinB= = a+b+c×rr是三角形内切圆的半径 ，并可由
VABC 2 2 2 4R 2
可由此计算R、r．
速查 04 平面向量（26 个核心考点）
一、平面向量
1. 向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）.
2. 零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行.
3. 单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量.
4. 相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关.
5. 相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量记为-a.
6. 向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律.
7. 向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则.
8. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积为λa，模为|λ|·a |，方向由λ的符号决定.
9. 向量数乘的性质：λ(μa)=(λμ) a；(λ+μ)a=λa+μa；λ(a +b)=λa +λb.
9 / 19
学科网（北京）股份有限公司10. 向量共线的充要条件：非零向量a与b共线⇔存在唯一实数λ，使得b=λa.
11. 向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角，θ∈[0,π]），结果为实数.
12. 数量积的性质：a·a=|a|²；a⊥b⇔a·b=0（a,b为非零向量）；|a·b|≤|a||b|.
13. 向量数量积的运算律：a·b=b·a；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(a+b)·c=a·c+b·c.
14. 平面向量的坐标表示：若a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂).
15. 向量数乘的坐标运算：λa=(λx₁,λy₁)；向量数量积的坐标运算：a·b=x₁x₂+y₁y₂.
𝑥 𝑥 ＋𝑦 𝑦
1 2 1 2
16. 向量夹角的坐标计算公式：cos θ＝ （a,b非零）.
𝑥2＋𝑦2· 𝑥2＋𝑦2
1 1 2
17．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图.
18.三点共线的等价转化
A，P，B三点共线⇔𝐴𝑃＝λ𝐴𝐵(λ≠0)⇔𝑂𝑃＝(1－t)·𝑂𝐴＋t𝑂𝐵(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔𝑂𝑃＝
x𝑂𝐴＋y𝑂𝐵(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1).
19.向量的中线公式
1
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则𝑂𝑃＝ (𝑂𝐴＋𝑂𝐵).
2
20.三角形重心的向量式
在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论：
①𝐺𝐴＋𝐺𝐵＋𝐺𝐶＝0；
1
②𝐴𝐺＝ (𝐴𝐵＋𝐴𝐶)；
3
1 1
③𝐺𝐷＝ (𝐺𝐵＋𝐺𝐶)＝ (𝐴𝐵＋𝐴𝐶).
2 6
21.向量模长不等式
对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.
22.有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b，则
①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π.
𝑎·𝑏 𝑏
(3)向量a在向量b上的投影向量为 · .
｜𝑏｜｜𝑏｜
23.极化恒等式：
(1)向量通用形式：对任意平面向量 𝑎、𝑏，有：𝑎⋅𝑏= 1 |𝑎+𝑏|2―|𝑎―𝑏|2
4
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学科网（北京）股份有限公司(2)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 1，
4
r r 1éuuur2 uuur2ù
即：a×b= AC - DB
4êë úû
（3）三角形中点模型（高频核心）：在 △ABC 中，𝑀 为 𝐵𝐶 中点，则：
1 2
𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=|𝐴𝑀|2―|𝐵𝑀|2=|𝐴𝑀|2― |𝐵𝐶|
2
本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算.
③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 𝐴、𝐵，若 𝑀 为线段 𝐴𝐵 中点，则对平面内任意点 𝑃，有：
𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=|𝑃𝑀|2―|𝐴𝑀|2
24.矩形大法
矩形恒等式（核心）：若四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 为矩形，𝑃 为平面内任意一点，则：
|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐶|2=|𝑃𝐵|2+|𝑃𝐷|2
拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”.
②衍生结论：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线相等且互相平分，即 𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐷，且 |𝐴𝐶|=|𝐵𝐷|，可快速转化
向量模长关系.
25.等和线
（1） 基本原理与公式（熟记）
定义：设 𝑂𝐴、𝑂𝐵 为平面内一组不共线基底，若动点 𝑃 满足 𝑂𝑃=𝑥𝑂𝐴+𝑦𝑂𝐵（𝑥,𝑦∈ℝ），则所有满足
𝑥+𝑦=𝜆（𝜆 为常数）的点𝑃构成的直线称为“等和线”.
（2）核心性质：
①当 𝜆=1 时，等和线为直线 𝐴𝐵（基底所在直线）；
②等和线与直线 𝐴𝐵 平行，𝜆 的绝对值与等和线到原点 𝑂 的距离成正比；
③若两等和线关于原点对称，则对应的 𝜆 互为相反数；
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学科网（北京）股份有限公司④若 𝑃 在直线 𝐴𝐵 与原点之间，0<𝜆<1；若原点在直线 𝐴𝐵 与等和线之间，𝜆>1 或 𝜆<0.
26. 奔驰定理
奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量
表达式结构对称，形似奔驰车标而得名.
（1）核心定理（三角形内部点）
O是△ABC内一点，且xOA+yOB+zOC=0，则S
:
S
:
S
=
x:y:z
DBOC DCOA DAOB
（2）奔驰定理推论：
O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+zOC=0,，则：
① S ：S :S =x:y:z
∆BOC ∆AOC ∆AOB
S x S y S z
② ∆BOC=| |; ∆AOC=| |; ∆AOB=| |
S x+y+z S x+y+z S x+y+z
∆ABC ∆ABC ∆ABC
速查 05 复数（16 个核心考点）
1. 复数的定义：形如a+bi（a,b∈R）的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位（i²=-1）.
2. 复数的分类：实数（b=0）、虚数（b≠0），虚数中纯虚数（a=0且b≠0）.
3. 复数相等的条件：a+bi=c+di（a,b,c,d∈R）⇔a=c且b=d.
4. 虚数单位i的运算性质：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，周期为4.
5. 复数的加法运算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，遵循实数加法法则.
6. 复数的减法运算：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，遵循实数减法法则.
7. 复数的乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，类比多项式乘法展开.
8. 复数的除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化.
9. 共轭复数的定义：a+bi的共轭复数为a-bi，共轭复数的实部相等，虚部互为相反数.
10. 复数的模：|a+bi|= a2 +b2 ，表示复数对应的点到原点的距离.
uuur
11. 复数的几何意义：复数a+bi对应复平面内的点(a,b)，也对应向量OZ （Z为(a,b)）.
12 / 19
学科网（北京）股份有限公司13. 实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘.
14.．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是
→ →
以x轴的非负半轴为始边，向量𝑂𝑍所在射线(射线𝑂𝑍)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在
0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.
15．复数三角形式的乘、除运算
若复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，z ＝r (cos θ＋isin θ)，且z ≠z ，则
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
(1)z z ＝r (cos θ＋isin θ)·r (cos θ＋isin θ)＝r r [cos(θ ＋θ )＋isin(θ ＋θ )]．
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
𝑧 𝑟 （𝑐𝑜𝑠 𝜃 ＋𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ） 𝑟
(2) 1＝ 1 1 1 ＝ 1 [cos(θ －θ )＋isin(θ －θ )]．
𝑧 r （𝑐𝑜𝑠 𝜃 ＋𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ） 𝑟 1 2 1 2
2 2 2 2 2
16.复数的常用结论：
1＋i 1－i
(1)(1±i)2＝±2i； ＝i； ＝－i．
1－i 1＋i
(2)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
|z 1 | |z 1 |
(3)z·z＝|z|2＝|z|2，|z ·z |＝|z |·|z |， ＝ ，|zn|＝|z|n.
1 2 1 2
z |z |
2 2
速查 06 立体几何初步(42 个核心考点)
一、空间几何体
1. 空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）.
2. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多
面体.
3. 棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；两底面是全等的多边形.
4. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体.
5. 棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形；底面是多边形.
6. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.
7. 棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形.
8. 圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
9. 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.
13 / 19
学科网（北京）股份有限公司10. 圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
11. 球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意一
点的距离相等（均为半径）.
12. 空间几何体的表面积与体积公式：
几何体 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） S =S +2S V =S底h
表面积 侧 底
锥体（棱锥和圆锥） S =S +S 1
表面积 侧 底 V = S 底h
3
台体（棱台和圆台） S =S +S +S 1 
表面积 侧 上 下 V = S +S + S S h
3 ± m ± m
球 S =4pR2 4
V = pR3
3
13. 正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个顶点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查正
四面体、正方体.
二、空间点、线、面位置关系
14.斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S ＝ 2S ，S ＝2 2S
直观图 4 原图形 原图形 直观图.
15. 空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解.
16. 空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行.
17. 异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角
（或直角）叫做异面直线所成的角，范围为(0°,90°].
18. 空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外.
19. 直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行.
20. 直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与
该直线平行.
21. 直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直.
22. 直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直；垂直
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学科网（北京）股份有限公司于同一个平面的两条直线平行.
23. 直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为[0°,90°]，直线在平面内
或平行于平面时角为0°，垂直于平面时角为90°.
24. 空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）.
25. 平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.
26. 平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个平
面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
27. 平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
28. 平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一
个平面.
29. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小用其平面角衡量，范围为
[0°,180°].
30. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两
条射线所成的角叫做二面角的平面角.
三、外接球与内切球
31. 外接球的定义：一个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心为
外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R.
32. 内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面的
距离均为内切球半径r.
3a
33. 二级结论（正方体）：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R= （a为正方体棱
2
a
长）；内切球球心为体对角线中点，内切球半径r= .
2
a2 +b2 +c2
34. 二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R= （a、b、
2
c为长方体的长、宽、高），长方体一般无内切球（需满足a=b=c，即正方体时才有）.
15 / 19
学科网（北京）股份有限公司6a
35. 二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=√6a/4，内切球半径r=
12
（a为正四面体棱长），且R=3r.
h2
36. 二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径R= r2 +
0 4
（r₀为底面外接圆半径，h为直棱柱的高）.
h2
37. 二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径R= r2 + （r为圆
0 4
柱底面半径，h为圆柱的高）；圆柱无内切球（需满足直径等于高，即h=2r时才有内切球，半径r）.
38. 二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为r、高为h，外接球
r2 +h2
半径为R，则满足(R-h)²+r²=R²，解得R= .
2h
39. 二级结论（棱锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方向
上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解.
3V
40. 内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径r= （V为多面体体积，S为多面体的表面
4
积），适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体.
41. 外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定理
建立关于R的方程，求解半径.
42. 易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，并
非所有几何体都有）.
速查 07 统计（9 个核心考点）
一、随机抽样
1．简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
二、用样本估计总体
3．频率分布直方图
16 / 19
学科网（北京）股份有限公司（1）频率分布表的画法：
极差;
第一步：求极差，决定组数和组距，组距=
组数
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
（2）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图）
频率
横轴表示样本数据，纵轴表示 ，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．
组距
4．样本的数字特征
（1）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（2）中位数：把n个数据按
大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
a +a + +a
（3）平均数：把 1 2
n
L n 称为a
1
,a
2
,
L
,a
n
这n个数的平均数．
（4）标准差与方差：设一组数据x
1
,x
2
,x
3
,
L
,x
n
的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是
1 1
s =
n
é
ë
x
1
-x2 +x
2
-x2 +
L
+x
n
-x2ù
û
,s2 =
n
é
ë
x
1
-x2 +x
2
-x2 +
L
+x
n
-x2ù
û
5.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
17 / 19
学科网（北京）股份有限公司（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边
中点的横坐标之和．
6．平均数、方差的公式推广
（1）若数据x
1
,x
2
,
L
,x
n
的平均数为x ，那么mx
1
+a,mx
2
+a,mx
3
+a,
L
,mx
n
+a的平均数是mx +a．
（2）数据x
1
,x
2
,
L
,x
n
的方差为s2．
①数据x
1
+a,x
2
+a,
L
,x
n
+a的方差也为s2；
②数据ax
1
,ax
2
,
L
,ax
n
的方差为a2s2．
x 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828
a
速查 08 概率（7 个核心考点）
1.样本点和有限样本空间
定义 表示符号
样本空间 将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间 Ω
样本点 样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点 ω
有限样 如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空
Ω
本空间 间
2.频率与概率：
(1)频率的稳定性：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附
近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.
(2)频率稳定性的作用：可以用频率估计概率P(A).
3．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：0£ PA£1．
（2）必然事件的概率：PE=1．
（3）不可能事件的概率：PF=0．
18 / 19
学科网（北京）股份有限公司4．概率的加法公式：
（1）如果事件A与事件B互斥，则PAÈB= PA+PB．
（ 2 ） 对 立 事 件 的 概 率 ： 若 事 件 A与 事 件 B互 为 对 立 事 件 ， 则 AÈB为 必 然 事 件 ，
PAÈB=1,PA=1-PB．
（3）PAÈB= PA+PB-P(A B).
I
m
5．古典概型的概率公式PA= ,m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数.
n
6．相互独立事件
（1）对于事件A,B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A,B是相互独立事件
（2）若PAB= PAPB，则A与B相互独立．
（3）若A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也都相互独立．
（4）一般地，如果事件A,A , ,A  n>2,nÎN* 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个
1 2 L n
事件发生的概率的积，即PAA A = PA PA  ×PA ．
1 2L n 1 2 L n
7．与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:
事件A,B相互独立 概率计算公式
A,B同时发生 PAB= PAPB
A,B同时不发生 P(AB)= P(A)P(B) = é ë 1-PAù û é ë 1-PBù û =1-PA-PB+PAPB
A,B至少有一个不发生 P=1-PAB =1-PAPB
A,B至少有一个发生 P=1-P(AB )=1-P(A)P(B)= PA+PB-PAPB
A,B恰有一个发生 P= P(A+B)= PAP(B)+P(A)PB= PA+PB-2PAPB
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