文档文本内容
2026 年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷
2026.06.07
考生注意：
1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选
择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条
形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知集合 ， ，则 __________．
2. 已知 为等比数列， ， ，则 __________．
3. 已知 ，则 __________．
4. 已知事件 ， 互斥， ， ，则 __________．
5. 已知函数 是偶函数，当 时， ，若 ，则 __________．
6. 已知 ，则展开式中 的系数为__________．
7. 已知 ，则 的最大值为__________．
8. 已知随机变量 的分布为 ，且 ，则 __________．
9. 已知等差数列 中， ，公差为 ，其前 项和 在区间 内至少有两项，则公差 的取
值范围是__________．
10. 已知向量 ， ， 是两两不平行的向量，且 ， ，则 的值为
__________．11. 已知三角函数 （ ， ， ， ），若 ，当
或 时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则 __________．
12. 在 中， ， ， ．已知点 ， ， 分别为椭圆的上、下、右顶点，以
及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）
13. 为不为1的任意实数，则 （ ）．
A. B. C. D.
14. 事件 和事件 相互独立，“ 和 至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A. B. C. D.
15. 已知 ， 为复数，当 为实数或 的共轭复数为实数时，称 和 互相伴随．则当 和 互
相伴随时， 和 互相伴随的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D.
16. 已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 轴、 轴、 轴重合，顶点 与坐标原点重合，
点 是正方体底面中与 相对的对角顶点，点 在点 的正上方．将正方体绕直线 旋转一周，试问
点 的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．
A. B. C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记
录，数据如下：
颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86
（1）为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进
行分析，并请你判断相关系数在 ， ， 哪个区间内？（直接写结论）
（3）2023年前9年的年份( )的平均数为 2018， (颗粒物密度) 关于 (年份) 的回归方程拟采用
，或 . 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回
归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
18. 已知四棱锥 ，底面 为矩形， 底面 ，垂足 在 边上，且 ，
， ．
（1）求证： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，求二面角 的大小．19. 已知 ，函数 ， ．
（1）已知 ，求 的解集；
（2）已知 ， 是 在点 处的切线， 是过点 且垂直于 的直线， 与 、 在第
一象限内均无公共点，求 的取值范围．
20. 已知双曲线 ，点 在 上， ， 分别为双曲线的左、右焦点．
（1）求点 到双曲线渐近线的距离；
（2）若 ，求 ；
（3）记 为双曲线 满足 和 的部分；直线 ， 均过右焦点 ， 与 交于 ， 两点
（分别在第一、第四象限）， 与 交于 ， 两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数 ，
使得对任意直线 ，都存在唯一一对应的直线 满足 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由．
21. 已知 是 ， ， 的一个排列，若函数 ， ， ，对任意 ，都有
且 ，则称 是关于 ， ， 的一个
排列，则关于 ， ， 的 排列总数记为 ．
（1）已知 ， ， ， ，判断 是否为 排列；
（2）对 ， ， ， 满足条件的 ，求 的取值范围；
（3）对 ，且对任意 ， ，令 ， ，， ，证明：若 严格减，则存在 ，使 ；
若 严格增，则存在 ， ．
