2025年高考北京数学真题（解析版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0605数学_2025年高考数学真题汇编

2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共 12页，150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
M ={x∣2x−1>5},N ={1,2,3} M N =
1. 集合 ，则 （ ）
A. {1,2,3} B. {2,3} C. {3} D. ∅
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合M ，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为M ={ x|2x−1>5 }={ x|x>3 } ，所以M ∩N =∅，
故选：D.
2. 已知复数z满足i⋅z+2=2i，则|z|=（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出．
−2+2i
【详解】由i⋅z+2=2i可得，z = =2+2i，所以 z = 22 +22 =2 2 ，
i
故选：B.
3. 双曲线x2 −4y2 =4的离心率为（ ）
3 5 5
A. B. C. D. 5
2 2 4
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率．
x2
【详解】由x2 −4y2 =4得， − y2 =1，所以a2 =4,b2 =1,c2 =a2 +b2 =5，
4
c 5
即a=2,c= 5，所以e= = ，
a 2
故选：B．
4. 为得到函数y =9x的图象，只需把函数y =3x的图象上的所有点（ ）
1
A. 横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变 B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
2
1
C. 纵坐标变成原来的 倍，横坐标不变 D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
3
【答案】A
【解析】
【分析】由y =9x =32x，根据平移法则即可解出．
【详解】因为y =9x =32x，所以将函数y =3x的图象上所有点的横坐标变成原来的 1 倍，纵坐标不变，即
2
可得到函数y =9x的图象，
故选：A.
5. 已知 { a } 是公差不为0的等差数列，a =−2，若a ,a ,a 成等比数列，则a =（ ）
n 1 3 4 6 10
A. −20 B. −18 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列 { a } 的公差为d, ( d ≠0 ) ，
n
因为a ,a ,a 成等比数列，且a =−2，
3 4 6 1
所以a2 =a a ，即(−2+3d )2 =(−2+2d )(−2+5d )，解得d =2或d =0（舍去），
4 3 6
所以a =a +9d =−2+9×2=16.
10 1
故选：C.
第2页/共21页
学科网（北京）股份有限公司6. 已知a >0,b>0，则（ ）
1 1 1
A. a2 +b2 >2ab B. + ≥
a b ab
1 1 2
C. a+b> ab D. + ≤
a b ab
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当a =b时，a2 +b2 =2ab，故A错误；
1 1 1 1
1 1 + =2+4=6< =8=
对于BD，取a= ,b= ，此时a b 1 1 ab，
2 4 ×
2 4
1 1 2 2
+ =2+4=6> =4 2 =
a b 1 1 ab ，故BD错误；
×
2 4
对于C，由基本不等式可得a+b≥2 ab > ab，故C正确.
故选：C.
7. 已知函数 f(x)的定义域为 D，则“函数 f(x)的值域为R ”是“对任意M ∈R ，存在 x ∈D，使得
0
f ( x ) >M ”的（ ）
0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数 f(x)的值域为R ，则对任意M ∈R，一定存在x ∈D，使得 f ( x )= M +1，
1 1
取x = x ，则 f ( x ) = M +1>M ，充分性成立；
0 1 0
取 f(x)=2x，D = R，则对任意M ∈R，一定存在x ∈D，使得 f ( x )= M +1，
1 1
取x = x ，则 f ( x ) = M +1>M ，但此时函数 f(x)的值域为 ( 0,+∞) ，必要性不成立；
0 1 0
所以“函数 f(x)的值域为R ”是“对任意M ∈R，存在x ∈D，使得 f ( x ) >M ”的充分不必要条件.
0 0
故选：A.
第3页/共21页
学科网（北京）股份有限公司 π
8. 设函数 f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0)，若 f(x+π)= f(x)恒成立，且 f(x)在  0,  上存在零点，
 4
则ω的最小值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
π
【详解】函数 f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)= 2sin(ωx+ )(ω>0)，
4
设函数 f(x)的最小正周期为T，由 f(x+π)= f(x)可得kT =π,
( k∈N∗)
，
所以T =
2π
=
π
,
( k∈N∗)
，即ω=2k,
( k∈N∗)
；
ω k
 π  π π π πω π
又函数 f(x)在

0,

上存在零点，且当x∈

0,

时，ωx+ ∈

, +

，
 4  4 4 4 4 4
πω π
所以 + ≥π，即ω≥3；
4 4
综上，ω的最小值为4.
故选：C.
9. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 N个单位的数据量所需要时间T =klog N （单位：小时），
2
其中 k 为常数．在此条件下，已知训练数据量 N 从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加
20 小时；当训练数据量 N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）
（ ）
A. 2 B. 4 C. 20 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T,T ,T ,
1 2 3
由题意，T =klog 106 =6klog 10，
1 2 2
第4页/共21页
学科网（北京）股份有限公司T =klog ( 1.024×109 ) =klog ( 210×106 ) =k ( 10+6log 10 ) ，
2 2 2 2
T =klog ( 4.096×109 ) =klog ( 212×106 ) =k ( 12+6log 10 ) ，
3 2 2 2
因为T −T =k ( 10+6log 10 )−6klog 10=10k =20，所以k =2，
2 1 2 2
所以T −T =k ( 12+6log 10 )−k ( 10+6log 10 )=2k =4，
3 2 2 2
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
    
10. 已知平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|= 2 ，| AB|=2，设C(3,4)，则|2CA+ AB|的取值范围是
（ ）
A. [6,14] B. [6,12] C. [8,14] D. [8,12]
【答案】D
【解析】
        
【分析】先根据AB=OB−OA，求出〈OA,OB〉，进而可以用向量OA,OB表示出2CA+ AB，即可解出．

【详解】因为|OA|=|OB|= 2 ，| AB|=2，
       π
由AB=OB−OA平方可得，OA⋅OB=0，所以〈OA,OB〉 = ．
2
         
( )
2CA+ AB=2 OA−OC +OB−OA=OA+OB−2OC， OC = 32 +42 =5，
       
2 2 2 2 ( )
所以， 2CA+ AB =OA +OB +4OC −4 OA+OB ⋅OC
     
( ) ( )
=2+2+4×25−4 OA+OB ⋅OC =104−4 OA+OB ⋅OC，
        
( ) ( )
又 OA+OB ⋅OC ≤ OA+OB OC =5× 2+2 =10，即−10≤ OA+OB ⋅OC ≤10，
   
所以 2CA+ AB 2 ∈[ 64,144 ]，即 2CA+ AB ∈[ 8,12 ] ，
故选：D.
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分.
11. 抛物线y2 =2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则 p= ________．
第5页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质可求 p的值.
p p
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为 ，故 3，故 p6，
2 2
故答案为：6.
12. 已知(1−2x)4 =a −2a x+4a x2 −8a x3 +16a x4，则a =________；a +a +a +a =________．
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
【答案】 ①. 1 ②. 15
【解析】
【分析】利用赋值法可求a ，利用换元法结合赋值法可求a +a +a +a 的值.
0 1 2 3 4
【详解】令x=0，则a =1，
0
又( 1−2x )4 =a −2a x+4a x2 −8a x3 +16a x4，
0 1 2 3 4
故( 1−2x )4 =a +a (−2x )+a (−2x )2 +a (−2x )3 +a (−2x )4，
0 1 2 3 4
令t =−2x，则( 1+t )4 =a +at+a t2 +a t3+a t4，
0 1 2 3 4
令t =1，则a +a +a +a +a =24，故a +a +a +a =15
0 1 2 3 4 1 2 3 4
故答案为：1,15.
13. 已知α,β∈[0,2π]，且sin(α+β)=sin(α−β)，cos(α+β)≠cos(α−β)，写出满足条件的一组α=
________，β=_________．
π π
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
2 6
【解析】
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为sin
(α+β)=sin (α−β)
，cos
(α+β)≠cos (α−β)
，
所以α+β,α−β的终边关于y轴，且不与y轴重合，
π
故α+β+α−β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠ +lπ,l∈Z，
2
π
即α= +kπ,k∈Z，
2
π π
故取α= ,β= 可满足题设要求；
2 6
第6页/共21页
学科网（北京）股份有限公司π π
故答案为： ， （答案不唯一）
2 6
14. 某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多
边形，平面 ARF ⊥ 平面 ABC，平面 TCD⊥ 平面 ABC， AB⊥ BC，AB∥RS∥EF∥CD ，
5
AF∥ST∥BC∥ED，若 AB= BC =8,AF =CD=4,AR= RF =TC =TD= ，则该多面体的体积
2
为________．
【答案】60
【解析】
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱ARF −BHT 和四棱锥B−HTSE后结合体积公式可求几
何体的体积.
【详解】先证明一个结论：如果平面α⊥平面 γ ，平面β⊥平面 γ ，平面αβ=l ，则l ⊥γ.
证明：设αγ∩ =a，βγ=b， 在平面 γ 取一点O，O∉a,O∉b，
在平面 γ 内过O作直线m，使得m⊥a，作直线n，使得n⊥b，
因为平面α⊥平面 γ ，m⊂γ，故m⊥α，而l ⊂α，故m⊥l ，
同理n⊥l，而mn=O,m,n⊂γ，故l ⊥γ .
下面回归问题.
连接BE，因为AB⊥ BC且AF//BC，故AF ⊥ AB，同理BC ⊥CD，EF ⊥ ED，
而AB= BC =8,AF =CD=4，故直角梯形ABEF与直角梯形CBED全等，
故∠BEF =∠BED=45°，
在直角梯形ABEF中，过B作BT ⊥EF ，垂足为T ，
第7页/共21页
学科网（北京）股份有限公司则四边形ABTF 为矩形，且�BTE为以∠BTE为直角的等腰直角三角形，
故EF = FT +TE = AB+BT = AB+ AF =12，
平面RAF ⊥平面ABEF，平面RAF平面ABEF = AF ，AF ⊥ AB,
AB⊂平面ABEF，故AB⊥平面RAF，
取AF 的中点为M ，BE 的中点为U ，CD的中点为V ，连接RM,MU,SU,UV ，
则MU//RS ，同理可证RM ⊥平面ABEF，而RM ⊂平面RMUS，
故平面RMUS ⊥平面ABEF，同理平面VUS ⊥平面ABEF，
而平面RMUS平面VUS =SU ，故SU ⊥平面ABEF，
1
故RM//SU ，故四边形RMUS为平行四边形，故MU = RS = ( 8+12 )=10.
2
在平面ABHR中过B作BH//AR，交RH 于H ，连接HT .
则四边形ABHR为平行四边形，且RH//AB,RH=AB，故RH//FT,RH=FT ，
故四边形RFTH 为平行四边形，
而BH ⊥ AB,BT ⊥ AB,BT BH = B,BT,BH ⊂平面BHT，
故AB⊥平面BHT，故平面ARF//平面BHT，
而AR= BH,RF = HT,AF = BT ，故△ARF ≅△BHT ，
故几何体ARF −BHT 为直棱柱，
2
1 5
而S
�ARF
=
2
×4×

2


−4 =3，故V
ARF−BHT
=8×3=24,
因为AB//EF ，故EF ⊥平面ARF ，
而EF ⊂平面RSEF，故平面ARF ⊥平面RSEF，
在平面ARF 中过A作AG ⊥ RF ，垂足为G，同理可证AG ⊥平面RSEF，
1 12 1 12 1 5
而 AG×RF =3，故AG = ，故V = × × ( 2+4 )× =6，
2 5
B−HTES
3 5 2 2
由对称性可得几何体的体积为2×( 24+6 )=60，
故答案为：60.
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学科网（北京）股份有限公司15. 关于定义域为R的函数 f(x)，以下说法正确的有________．
①存在在R上单调递增的函数 f(x)使得 f(x)+ f(2x)=−x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数 f(x)使得 f(x)+ f(2x)=−x恒成立；
③使得 f(x)+ f(−x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个；
④使得 f(x)− f(−x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个．
【答案】②③
【解析】
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在R 上的增函数 f
(
x
)
，满足 f
(
x
)+
f
(
2x
)=−x，
则 f ( 0 )+ f ( 2×0 )=−0即 f ( 0 ) =0，
故x>0时， f ( 4x )> f ( 2x )> f ( x )>0，故 f(4x)+ f(2x)> f(x)+ f(2x)，
故−2x>−x即x<0，矛盾，故①错误；
1
对于②，取 f ( x )=− x，该函数为R 上的减函数且 f ( x )+ f ( 2x )=−x，
3
故该函数符合，故②正确；
1
对于③，取 f ( x )= cosx+mx,m∈R，
2
此时 f
(
x
)+
f
(−x )=cosx，由m∈R可得
f
(
x
)
有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在 f
(
x
)
，使得 f
(
x
)−
f
(−x )=cosx，
令x=0，则0=cos0，但cos0=1，矛盾，
故满足 f
(
x
)−
f
(−x )=cosx的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
1
16. 在ABC中，cosA=− ,asinC =4 2 ．
3
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求BC的高．
第9页/共21页
学科网（北京）股份有限公司10 2
①a=6；②bsinC = ；③ABC面积为10 2 ．
3
【答案】（1）6 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得A,C 都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得，sinB,cosB，进一步由
AD=csinB求得高，并说明此时三角形ABC存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得b，再根
据余弦定理可求得a，由此可说明三角形ABC存在，且可由等面积法求解AD.
【小问1详解】
因为cosA=− 1 ,A∈( 0,π )，所以sinA= 1−cos2 A= 2 2 ，
3 3
2 2
由正弦定理有asinC =csinA= c=4 2，解得c=6；
3
【小问2详解】
如图所示，若ABC存在，则设其BC边上的高为AD，
1
若选①，a=6，因为c=6，所以C = A，因为cosA=− <0，这表明此时三角形ABC有两个钝角，
3
而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在；
10 2 10 2 5 2
若选②，bsinC = ，由正弦定理有bsinC =csinB=6sinB= ，解得sinB= ，
3 3 9
50 31 5 2 10 2
此时cosB= 1− = ，AD=csinB=6× = ，
81 9 9 3
1 2 2
而cos∠DAB=sinB,sin∠DAB=cosB，cosA=− ，sinA= ，
3 3
所以cos∠CAD=cos (∠CAB−∠BAD ) ，sin∠CAD= 1−cos2∠CAD 可以唯一确定，
所以此时CA,CD也可以唯一确定，
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学科网（北京）股份有限公司10 2
这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高AD= ；
3
1 1 2 2
若选③，ABC的面积是10 2 ，则S = bcsin A= b×6× =10 2 ，
�ABC
2 2 3
 1
解得b=5，由余弦定理可得a = b2 +c2 −2bccosA = 25+36−2⋅5⋅6⋅

−

=9可以唯一确定，
 3
进一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一确定，即B,C 可以唯一确定，
1 9
这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足：S = a⋅AD= AD=10 2，即
�ABC
2 2
20 2
AD= .
9
17. 四棱锥P−ABCD中，�ACD与ABC为等腰直角三角形，∠ADC =90°，∠BAC =90°，E为BC
的中点．
（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG//面PAB；
（2）若PA⊥面ABCD，PA= AC ，求AB与面PCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
3
（2）
3
【解析】
【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明FG∥MN即可；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求
解.
【小问1详解】
取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
�ACD与ABC为等腰直角三角形∠ADC =90°，∠BAC =90°
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学科网（北京）股份有限公司不妨设AD−CD=2，∴AC = AB=2 2
1
∴BC =4，E、F分别为BC、PD的中点，∴FN = AD=1,BE =2，
2
∴GM =1，
∠DAC =45°, ∠ACB=45°
∴AD∥BC，
∴FN∥GM ，
∴四边形FGMN为平行四边形，
∴FG∥MN，
FG⊄面PAB，MN ⊂面PAB，∴FG∥面PAB；
【小问2详解】
PA⊥面ABCD，∴以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
设AD =CD =2，则A(0,0,0),B(0,2 2,0),C(2 2,0,0)D( 2,− 2,0),P(0,0,2 2)
  
∴AB=(0,2 2,0), DC =( 2, 2,0), CP=(−2 2,0,2 2)

设面PCD的一个法向量为n =(x,y,z)


 DC⋅n =0   2x+ 2y =0
∴

,∴
 CP⋅n =0 −2 2x+2 2z =0

取x=1,∴y =−1,z =1,∴n =(1,−1,1)
设AB与面PCD成的角为θ


  ∣AB⋅n |0×1+2 2×(−1)+0×1| 2 2 3
则sinθ=|cos〈AB,n〉|= 

= = =
| AB⋅n| 2 2⋅ 12 +(−1)2 +12 2 2 3 3
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学科网（北京）股份有限公司3
即AB与平面PCD成角的正弦值为 .
3
18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，
用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
（3）若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概率
做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率
为 p ，乙校学生掌握该知识点的概率为 p ，试比较 p 与 p 的大小（结论不要求证明）
1 2 1 2
4
【答案】（1）
5
（2）0.35，E
(
X
)=1.55
（3） p < p
1 2
【解析】
【分析】（1）用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率；
（2）利用独立事件可求恰有1人做对的概率及X 的分布列，从而可求其期望；
（3）根据题设可得关于 p ,p 的方程，求出其解后可得它们的大小关系.
1 2
【小问1详解】
80 4
用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为 = .
100 5
【小问2详解】
设A为“从甲校抽取1人做对”，则P ( A )=0.8，则P ( A ) =0.2，
设B为“从乙校抽取1人做对”，则P ( B )=0.75，则P ( A= ) 0.25，
设C为“恰有1人做对”，故P ( C )= P ( AB ) +P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) +P ( A ) P ( B )=0.35，
而X 可取0,1,2，
P ( X =0 )= P ( AB ) =0.05，P ( X =1 )=0.35，P ( X =2 )=0.8×0.75=0.6，
故X 的分布列如下表：
X 0 1 2
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学科网（北京）股份有限公司P 0.05 0.35 0.6
故E
(
X
)=1×0.35+2×0.6=1.55.
【小问3详解】
设D为 “甲校掌握该知识的学生”，
因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
1 1 11
故P ( D )+ ( 1−P(D) )=0.8即 p + ×( 1− p )=0.8，故 p = ，
4 1 4 1 1 15
1 5
同理有0.85p + ×( 1− p )=0.75，故 p = ，
2 4 2 2 6
故 p < p .
1 2
x2 y2
2
19. 已知E: + =1的离心率为 ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，
a2 b2 2
（1）求椭圆方程；
（2）设O为原点，M ( x ,y )( x ≠0 ) 为椭圆上一点，直线x x+2y y−4=0与直线y =2，y =−2交
0 0 0 0 0
S |OA|
于A，B．△OAM 与�OBM 的面积为S ,S ，比较 1 与 的大小．
1 2 S |OB|
2
x2 y2
【答案】（1） + =1
4 2
S OA
（2） 1 =
S OB
2
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出a,c，再根据a,b,c的关系求出b，即可得到椭圆方程；
OA S AM
（2）法一：联立直线方程求出点A,B坐标，即可求出 ，再根据 1 = ，即可得出它们的大小关
OB S BM
2
系.
法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到∠AOM =∠BOM ，再根据三角形的面积公式即可
解出.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司c 2
由椭圆可知，2a=4，所以a=2，又e= = ，所以c= 2，b2 =a2 −c2 =2，
a 2
x2 y2
故椭圆方程为 + =1；
4 2
【小问2详解】
x x+2y y−4=0
 0 0 4−2y y 2
联立x2 y2 ，消去x得， 0  +2y2 =4，
 + =1  x 
 4 2 0
( )
整理得， 2x2 +4y2 y2 −16y y+16−4x2 =0①，
0 0 0 0
x2 y2
又 0 + 0 =1，所以2x2 +4y2 =8，16−4x2 =8y2，
0 0 0 0
4 2
故①式可化简为8y2 −16y y+8y2 =0，即( y− y )2 =0，所以y= y ，
0 0 0 0
所以直线x x+2y y−4=0与椭圆相切，M 为切点.
0 0
S OA
设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，易知，当x = x 时，由对称性可知， 1 = ．
1 1 2 2 1 2 S OB
2
S AM x −x x −x
故设x < x < x ，易知 1 = = 1 0 = 1 0 ，
2 0 1 S BM x −x x −x
2 2 0 0 2
x x+2y y−4=0 4−4y
联立 0 0 ，解得x = 0 ,y =2，
y =2 1 x 1
0
x x+2y y−4=0 4+4y
联立 0 0 ，解得x = 0 ,y =−2，
y =−2 2 x 2
0
4−4y
0 −x
S x −x x 0 4−4y −x2
所以 1 = 1 0 = 0 = 0 0
S x −x 4+4y x2 −4y −4
2 0 2 x − 0 0 0
0 x
0
2y2 −4y 2− y
= 0 0 = 0 ，
−2y2 −4y 2+ y
0 0 0
2
4−4y 
 0  +4
OA  x  4 ( 1− y )2 +x2 4 ( 1− y )2 +4−2y2 y2 −4y +4 2− y
= 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 ，
OB   4+4y 0   2 +4 4 ( 1+ y 0 )2 +x 0 2 4 ( 1+ y 0 )2 +4−2y 0 2 y 0 2 +4y 0 +4 2+ y 0
 x 
0
第15页/共21页
学科网（北京）股份有限公司S OA
故 1 = ．
S OB
2
S OA
法二：不妨设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，易知，当x = x 时，由对称性可知， 1 = ．
1 1 2 2 1 2 S OB
2
故设x < x < x ，
2 0 1
x x+2y y−4=0 4−4y
联立 0 0 ，解得x = 0 ,y =2，
y =2 1 x 1
0
x x+2y y−4=0 4+4y
联立 0 0 ，解得x = 0 ,y =−2，
y =−2 2 x 2
0
y 2x x y −2x x y
则k = 1 = 0 = 0 ，k = 2 = 0 =− 0 ，k = 0 ,
OA x 4−4y 2−2y OB x 4+4y 2+2y OM x
1 0 0 2 0 0 0
x2 y2
又 0 + 0 =1，所以x2 +2y2 =4，
0 0
4 2
x y
0 − 0
k −k 2−2y x
所以tan∠AOM = OA OM = 0 0
1+k ⋅k x y
OA OM 1+ 0 × 0
2−2y x
0 0
x2 +2y2 −2y 4−2y 2
=− 0 0 0 =− 0 = ，
x ( y −2 ) x ( y −2 ) x
0 0 0 0 0
y x
0 + 0
k −k x 2+2y x2 +2y2 +2y 4+2y 2
tan∠BOM =
1+
O
k
M
⋅k
OB =
y
0
 x
0

= 0
x ( y
0
+2 )
0 =
x ( y +
0
2 )
=
x
，
OM OB 1+ 0 ×− 0  0 0 0 0 0
x  2+2y 
0 0
则tan∠AOM =tan∠BOM ，即∠AOM =∠BOM ，
S OA OM sin∠AOM OA
所以 1 = = .
S OB OM sin∠BOM OB
2
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学科网（北京）股份有限公司ln(1+x)
20. 函数 f(x)的定义域为(−1,+∞), f(0)=0, f′(x)= ，l 为A(a, f(a))(a ≠0)处的切线．
1+x 1
（1） f′(x)的最大值；
（2）−1<a<0，除点A外，曲线y = f(x)均在l 上方；
1
2a−x −x
（3）若a>0时，直线l 过A且与l 垂直，l ，l 分别于x轴的交点为x与x ，求 1 2 的取值范围．
2 1 1 2 1 2 x −x
2 1
1
【答案】（1）
e
e2 −1
（2）证明见解析 （3）[ ,1)
e2 +1
【解析】
【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值；
( )
（2）求出直线l 的方程，再构造函数h x ，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可；
1
2a−x −x
（3）求出直线l 的方程，即可由题意得到x ,x 的表示，从而用字母a表示出 1 2 ，从而求出范围.
2 1 2 x −x
2 1
【小问1详解】
1
设g ( x )= f′( x ) ， g′( x )= 1+x
( 1+x )−ln ( 1+x )
= 1−ln ( 1+x ) ，
( 1+x )2 ( 1+x )2
由g′(
x
)=0可得x =e−1，当x∈(−1,e−1 ) 时，g′(
x
)>0，g (
x
)
单调递增，
当x∈( e−1,+∞) 时，g′(
x
)<0，g (
x
)
单调递减，
1
所以 f′( x ) 的最大值为 f′( e−1 )= .
e
【小问2详解】
第17页/共21页
学科网（北京）股份有限公司ln ( 1+a ) ln ( 1+a )
因 为 f′( a )= ， 所 以 直 线 l 的 方 程 为 y− f ( a )= ( x−a ) ， 即
1
1+a 1+a
ln ( 1+a )
y = ( x−a )+ f ( a )，
1+a
ln ( 1+a )  ln ( 1+x ) ln ( 1+a )
设h ( x )= f ( x )− ( x−a )+ f ( a ) ，h′( x )= − = f′( x )− f′( a )，
 1+a  1+x 1+a
由（1）可知，
f′(
x
) 在x∈(−1,e−1 )
上单调递增，而−1<a<0，
所以，当−1<
x<a时，h′(
x
)<0，h (
x
)
单调递减，
当0>
x>a时，h′(
x
)>0，h (
x
)
单调递增，且
f′(
a
)< f′(
0
)=0，
ln ( 1+x )
而当x≥0时， f′( x )= ≥0，所以总有 f′( x )≥ f′( a ) ，h ( x ) 单调递增
1+x
故h
(
x
)≥h (
a
)
，从而命题得证；
【小问3详解】
ln ( 1+x ) ln2( 1+x ) ln2( 1+x )
由 f′( x )= 可设 f ( x )= +C，又 f ( 0 )=0，所以C =0，即 f ( x )= ，
1+x 2 2
ln ( 1+a ) ln2( 1+a )
因为直线l 的方程为y = ( x−a )+ ，易知a≠0，
1
1+a 2
1+a ln2( 1+a )
所以直线l 的方程为y =− ( x−a )+ ,
2 ln ( 1+a ) 2
( 1+a ) ln ( 1+a ) ln3( 1+a )
x =a− ，x = +a.
1 2 2 2 ( 1+a )
( 1+a ) ln ( 1+a ) ln3( 1+a )
−
2a−x −x 2 2 ( 1+a ) ( 1+a )2 −ln2( 1+a )
所以 1 2 = =
x −x ln3( 1+a ) ( 1+a ) ln ( 1+a ) ln2( 1+a )+( 1+a )2
2 1 +
2 ( 1+a ) 2
ln2( 1+a )
1−
( 1+a )2 1−g2( a ) 2 1
= = =−1+ , 由 （1 ） 知, 当 x>0 时 ， g ( x )∈(0, ] ， 所 以
ln2( 1+a ) 1+g2( a ) 1+g2( a ) e
+1
( 1+a )2
1
g2( a )∈(0, ],
e2
第18页/共21页
学科网（北京）股份有限公司2a−x −x e2 −1
所以 1 2 ∈[ ,1).
x −x e2 +1
2 1
21. A={ 1,2,3,4,5,6,7,8 } ,M = {( x ,y )∣x ∈A,y ∈A } ，从M中选出n个有序数对构成一列：
i i i i
x −x =3 x −x =4
( x ,y ) ,…, ( x ,y ) ．相邻两项 ( x ,y ) , ( x ,y ) 满足： i+1 i 或 i+1 i ，称为k列．
1 1 n n i i i+1 i+1 y − y =4 y − y =3
i+1 i i+1 i
（1）若k列的第一项为(3,3)，求第二项．
（2）若τ为k列，且满足i为奇数时，x ∈{1,2,7,8}：i为偶数时，x ∈{3,4,5,6}；判断：(3,2)与(4,4)
i i
能否同时在τ中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
( ) ( )
【答案】（1） 6,7 或 7,6
（2）不能，理由见解析
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设(3,2)与(4,4)能同时在τ中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在τ中的结论；
（3）假设全体元素构成一个k列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【小问1详解】
( ) ( )
根据题目定义可知，下一项是 6,7 或 7,6 ；
【小问2详解】
假设二者同时出现在τ中，由于k列取反序后仍是 k列，故可以不妨设 ( 3,2 ) 在 ( 4,4 ) 之前.
( ) ( )
显然，在k列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从 3,2 到 4,4 必定要向下一项走
奇数次.
( ) ( )
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从 3,2 到 4,4 必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在τ中.
【小问3详解】
假设全体元素构成一个k列，则n=64.
设T = {( x,y ) x∈{ 1,2,7,8 } ,y∈{ 1,2,3,4,5,6,7,8 }} ，
1
第19页/共21页
学科网（北京）股份有限公司T = {( x,y ) x∈{ 3,4,5,6 } ,y∈{ 1,2,3,4,5,6,7,8 }} .
2
则T 和T 都包含32个元素，且T 中元素的相邻项必定在T 中.
1 2 1 2
如果存在至少两对相邻的项属于T ，那么属于T 的项的数目一定多于属于T 的项的数目，
2 2 1
所以至多存在一对相邻的项属于T .
2
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1，
否则将导致属于T 的项的个数比属于T 的项的个数多2，此时m=1,2,3,3,31.
2 1
从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T ，第偶数项属于T ；
1 2
这个序列的后64−2m项中，第奇数项属于T ，第偶数项属于T .
2 1
如果不存在相邻的属于T 的项，那么也可以看作上述表示在m=0或m=32的特殊情况.
2
 ( x ,y )∈T, ( x ,y )∈T ,1≤k ≤m
这意味着必定存在m∈{ 0,1,2,...,32 }，使得 2k−1 2k−1 1 2k 2k 2 .
 ( x
2k−1
,y
2k−1
)∈T
2
, ( x
2k
,y
2k
)∈T
1
,m+1≤k ≤32
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T 中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
1
的点的数量一定分别是m和32−m（不一定对应）.
但容易验证，T 和T 都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以
1 2
m=32−m=16，得m=16.
 ( x ,y )∈T, ( x ,y )∈T ,1≤k ≤16
从而有 2k−1 2k−1 1 2k 2k 2 .
 ( x
2k−1
,y
2k−1
)∈T
2
, ( x
2k
,y
2k
)∈T
1
,17≤k ≤32
这就得到T = {( x ,y ) k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64 } .
1 k k
再设T = {( x,y ) x∈{ 1,2,3,4,5,6,7,8 } ,y∈{ 1,2,7,8 }} ，
3
T = {( x,y ) x∈{ 1,2,3,4,5,6,7,8 } ,y∈{ 3,4,5,6 }} .
4
 ( x ,y )∈T , ( x ,y )∈T ,1≤k ≤16
则同理有 2k−1 2k−1 3 2k 2k 4 .
 ( x
2k−1
,y
2k−1
)∈T
4
, ( x
2k
,y
2k
)∈T
3
,17≤k ≤32
这意味着T = {( x ,y ) k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64 } .
3 k k
从而得到T =T ，但显然它们是不同的集合，矛盾.
3 1
所以全体元素不能构成一个k列.
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学科网（北京）股份有限公司第21页/共21页
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