彭山一中2025-2026 学年高一下学期5 月阶段检测数学试题
一、单选题（每题5 分，共40 分）
1．若复数
是纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．2
B．1
C．2 或1
D．0 或1
2．
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
3．已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．如图所示，矩形
是水平放置一个平面图形的直观图，其中
，则
原图形的面积为（ ）
A．12
B．
C．24
D．
5．如图所示，为测量一棵树
的高度，在地面上选取A，B 两点（A，B，H 三点共线），
从A，B 两点分别测得树尖P 的仰角为
，
，且A，B 两点之间的距离为
，则树的
高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．为了得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
m
sin105 sin15
cos105 cos15
3
2
1
2
1
2
sin
2cos
2
sin2
sin
7
5
6
5
8
5
O A B C
6,
2
O A
O C
12 2
24 2
HP
30
45
30m
15m
30 3m
15 15 3 m
30 3
15 m
3sin(2
)
4
y
x
3cos2
y
x
4
4
8
8
1
7．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知平面向量
，且
.已知向量
与所成的角为
，且
对任意实
数恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每题6 分，共18 分）
9．关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ）
A．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都平行
B．若直线
不平行于平面
且
，则平面
内不存在与
平行的直线
C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面
平行，则与平面
内的任意一条直线都没有公共点
10．已知函数
的部分图像如图所示，则（
）
A．
B．
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．
在
的值域为
11．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
.下列说法
正确的有（ ）
A．
1
sin
5
4
3
cos 2
5
7
8
7
8
15
8
15
8
, ,
a b c
1
e
b
e
60
b
te
b
e
t
a
e
a
b
r
r
r
r
3
1
2 3
3
7
7
l
l
a
a
a
l
l
( )
sin(
)(
0,
0,0
π)
f x
A
x
A
2
π
3
17π
12
x
( )
f x
( )
f x
π π
,
6 4
[ 1,2]
2
a
b b
c
2
A
B
2
B．
的取值范围为
C．
取值范围为
D．若
的平分线交
于
，
，
，则
三、填空题（每题5 分，共15 分）
12．若复数
，则
___________
13．已知向量
，
，且
，则k =______.
14．在锐角△ABC 中，
，则
的最小值为__________.
四、解答题（15 题13 分，16、17 题15 分，18、19 题17 分，共77 分）
15．已知向量
.
(1)若
，求
的值；
(2)记
，求函数
的最大值和最小值及对应的
的值.
16．（1）求值：
；
（2）已知
都是锐角，
，求
的值.
2c
a
4 3
2, 3
cosB
2
0, 2
BAC
BC
D
1
AD
4
cos
5
B
1
1
8
5
b
c
3
5i
1 i
z
z
3 ,5
a
k
2,1
b
r
a
b
cos(
)
sin
A
B
C
2tan
3tan
tan
A
B
C
cos ,sin
,
3, 3 ,
0, π
a
x
x
b
x
/ /
a
b
x
f
x
a b
y
f x
x
sin50 1
3tan10
,
4
5
sin
,cos
5
13
sin
3
17．已知
分别为△ABC 三个内角
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
是
边的中点，
，求△ABC 面积的最大值．
18．如图所示正四棱锥
，
，
，
为侧棱
上的点，
且
，求：
(1)正四棱锥
的表面积；
(2)若
为
的中点，求证：
平面
；
(3)侧棱
上是否存在一点
，使得
平面
.若存在，求
的值；若不存在，试说
明理由.
19．在凸四边形
中，
．
, ,
a b c
, ,
A B C
2
cos
cos
0
a
b
C
c
A
C
D
AB
3
CD
S
ABCD
2
SA
SB
SC
SD
2
AB
P
SD
3
SP
PD
S
ABCD
M
SA
/ /
SC
BMD
SC
E
/ /
BE
PAC
SE
EC
ABCD
2
DC
AD
4
(1)若
，
，
，
四点共圆，
，
，
．
①求四边形
的面积；
②求
的值；
(2)若
，
，
，求
的值．
《彭山一中2025-2026 学年高一下学期5 月阶段检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
D
A
C
C
B
D
BD
ACD
ABD
12．
13．
14．10
15．【详解】（1）由向量
.
因为
，所以
，解得
，
又因为
，所以
；
（2）由
，
因为
，所以
，
当
时，即
时，
；
当
时，即
时，
．
16．【详解】（1）
；
A
B
C
D
2π
3
ADC
7
AC
AB
BC
AD
ABCD
AB AD
DA
AB
ADC
BCD
π
6
BDC
BC
AD
17
5
6
cos ,sin
,
3, 3 ,
0, π
a
x
x
b
x
/ /
a
b
3 cos
3sin
x
x
3
tan
3
x
0,π
x
π
6
x
π
3cos
3sin
2 3sin
3
f
x
a b
x
x
x
0,π
x
π
π 4π
,
3
3
3
x
π
π
3
2
x
π
6
x
max
( )
2 3
f x
π
4π
3
3
x
π
x
min
( )
3
f x
sin10
cos10
3sin10
sin50 1
3tan10
sin50
1
3
sin50
cos10
cos10
1
3
2
cos10
sin10
2cos 60
10
2
2
sin50
sin50
cos10
cos10
sin 90
10
2sin50 cos50
sin100
cos10
1
cos10
cos10
cos10
cos10
5
（2）∵
是锐角，
；
∵
都是锐角，
，所以
.
，
，
.
17．【详解】（1）方法1：由正弦定理
可化为
，
∴
，∴
．
∵
，∴
，
∵
，∴
．
方法2：∵
，由余弦定理得
，
化简可得
，∴
，
∵
，∴
．
（2）∵
为
边中点，∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∵
（当且仅当
时等号成立），
∵
，
2
4
3
sin
,
cos
1 sin
5
5
,
0
180
sin
0
5
cos
13
2
12
sin
1 cos
13
12
3
5
4
16
sin
sin
sin
cos
cos
sin
13
5
13
5
65
2
cos
cos
0
a
b
C
c
A
sin cos
2sin cos
sin cos
0
A
C
B
C
C
A
sin
2sin cos
A
C
B
C
sin
2sin cos
B
B
C
0, π , sin
0
B
B
1
cos
2
C
0, π
C
π
3
C
2
cos
cos
0
a
b
C
c
A
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
a
b
c
b
c
a
a
b
c
ab
bc
2
2
2
a
b
c
ab
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
0, π
C
π
3
C
D
AB
1
2
CD
CA
CB
2
2
2
2
1
1
2
4
4
CD
CA
CB
CA
CA CB
CB
3
CD
2
2
36
3
a
b
ab
ab
12
ab
a
b
1
1
π
3
sin
sin
2
2
3
4
ABC
S
ab
C
ab
ab
△
6
∴
，∴
面积的最大值为
．
18．【详解】（1）在正四棱锥
中，
，
则正四棱锥侧面的高为
，
所以正四棱锥的表面积为
；
（2）如图，连接
交
于点O，连接
，则O 为AC 的中点，
当M 为SA 的中点时，
，
又
平面
平面
，
所以
平面
；
（3）在侧棱
上存在点E，使得
平面
，满足
.
理由如下：
取
的中点Q，由
，得
，
过Q 作
的平行线交
于E，连接
，
，
中，有
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，由
，得
.
又
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
，而
平面
，
3 3
ABC
S
△
ABC
V
3 3
S
ABCD
2,
2
SA
SB
SC
SD
AB
2
2
2
14
2
(
)
2
2
h
1
14
4
2
2
2
2 7
2
2
2
S
BD
AC
,
,
MO BM DM
/ /
OM
SC
OM
,
BMD SC
BMD
/ /
SC
BMD
SC
/ /
BE
PAC
2
SE
EC
SD
3
SP
PD
PQ
PD
PC
SC
BQ
BE
BDQ
△
/ /
BQ
PO
PO
PAC
BQ
PAC
/ /
BQ
PAC
2
SQ
QP
2
SE
SQ
EC
QP
/ /
QE
PC
PC
PAC
QE
PAC
/ /
QE
PAC
,
BQ
QE
Q BQ
QE
、
BEQ
BEQ / /
PAC
BE
BEQ
7
所以
平面
.
19【详解】（1）①因为
，
，
，
四点共圆且
，
所以
，则
，
在
中由余弦定理
，又
，
所以
，解得
（负值舍去），
所以
，则
，
在
中由余弦定理
，又
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以
，
所以
，
所以
；
②由①在
中由余弦定理
，
即
，则
，
所以
，
在
中由余弦定理
，
即
，则
，
所以
，
即
，所以
，
所以
.
BE / /
PAC
A
B
C
D
2π
3
ADC
π
ABC
ADC
π
3
ABC
ADC
△
2
2
2
2
cos
AC
DA
DC
DA DC
ADC
2
DC
AD
2
2
1
7
4
2
2
2
DA
DA
DA
DA
1
DA
2
DC
1
1
3
3
sin
1 2
2
2
2
2
ADC
S
DA DC
ADC
ABC
V
2
2
2
2
cos
AC
BA
BC
BA BC
ABC
AB
BC
AD
2
2
1
7
1
2
1
2
BC
BC
BC
BC
2
BC
3
BC
3
AB
1
1
3
3 3
sin
3 2
2
2
2
2
ABC
S
BA BC
ABC
3
3 3
2 3
2
2
D
ABCD
A C
ABC
S
S
S
ABC
V
2
2
2
2
cos
BC
BA
AC
BA AC
BAC
2
2
2
2
3
7
2 3
7 cos
BAC
2 7
cos
7
BAC
21
sin
7
BAC
ADC
△
2
2
2
2
cos
DC
DA
AC
DA AC
DAC
2
2
2
2
1
7
2 1
7 cos
DAC
2 7
cos
7
DAC
21
sin
7
DAC
DAC
BAC
2
2
2 7
1
cos
cos2
2cos
1
2
1
7
7
DAB
DAC
DAC
1
3
cos
1 3
7
7
AB AD
AB
AD
BAD
8
（2）设
，
，则
，则
，
，
又
，所以
，
在
中，由正弦定理可得
，
即
，
∴
，即
，
∴
，
故
，
又
，解得
，
又由正弦定理有
，
故
，
ADB
π
0
2
AD
x
0
x
2
CD
x
cos
BD
x
π
6
ADC
BCD
π
6
BDC
π
π
2π
π
6
6
3
DBC
BCD
△
sin
sin
BD
DC
DCB
DBC
2
cos
π
2π
sin
sin
6
3
x
x
2π
π
sin
2cos
sin
3
6
2
π
sin
3cos
sin
cos
3
π
3
1
1
sin
sin2
cos2
3
2
2
2
π
1
sin 2
6
2
2π
π
1
sin 2
3
2
2
2
2π
1
π
1
cos 2
2sin
3
2
3
2
2
π
π
1
2sin
sin
0
3
3
2
π
sin
0
3
π
1
5
sin
3
4
π
2π
sin
sin
6
3
CD
BC
5
1
π
1
5
sin
3
4
x
x
BC
x
9
所以
.
5
1
BC
AD =
-
10
