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2025-2026 学年高一下学期期末数学复习卷02
一、单选题（共40 分）
1．（本题5 分）已知集合
，则集合
的子集个数为（ ）
A．4
B．7
C．8
D．16
2．（本题5 分）若函数
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（本题5 分）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（本题5 分）已知
，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（本题5 分）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（本题5 分）已知
，与
的夹角为
，是与向量
方向相同的单位向量，
则
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（本题5 分）圆台的上、下底面半径分别为1 和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角
为
，则下列说法不正确的是（ ）
A．母线长为
B．表面积为
C．高为
D．体积为
试卷第1页，共3页
8．（本题5 分）若定义在
上的奇函数
满足
，对任意
，有
，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
中心对称
B．函数
的图象关于直线
轴对称
C．在区间
上，
为减函数
D．
二、多选题（共18 分）
9．（本题6 分）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
在区间
上的最大值为2
D．将
的图象向左平移
个单位长度，可得到
的图象
10．（本题6 分）已知
，
，为实数，则（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
，
，
，则
11．（本题6 分）已知定义在
上的函数
为偶函数，且满足
，当
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时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为周期函数
B．
的图象关于点
对称
C．当
时，
D．
三、填空题（共15 分）
12．（本题5 分）在
中，
，
，
，若满足条件的
有两个，则
的取值
范围是________.
13．（本题5 分）在
中，点
在线段
上，且
，则
的最小值为
__________.
14．（本题5 分）已知四棱锥
，
平面
，
，
，
，二
面角
的大小为
．若点
，，，，均在球
的表面上，则该球
的表面积为
________．
四、解答题（共77 分）
15．（本题13 分）已知平面向量
，
．
(1)求
和
；
(2)求向量
与
的夹角．
16．（本题15 分）已知向量
.设
.
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(1)求函数
的最小正周期；
(2)记
的内角
所对的边分别是
，已知
的面积为
，
求
的长.
17．（本题15 分）如图，在正三棱柱
中，
，D 为AB 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)在
上是否存在点E，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由．
18．（本题17 分）某工业安全检测系统发现，正常设备与故障设备在运行温度上有明显差异，
经过长期监测统计，得到两类设备运行温度的频率分布直方图：
系统要设定一个报警阈值，当设备运行温度大于时判定为故障，发出警报，否则判定为正
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常.漏报率指实际设备故障但是未发出警报的概率，用
表示；误报率指实际设备正常但
是发出警报的概率，用
表示.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事
件发生的概率.例如当报警阈值
时，漏报率为故障设备运行温度在区间
上的频
率，故漏报率为
.
(1)求
的值，并求出当报警阈值
时误报率的值；
(2)现从故障设备运行温度在
与
两个区间段内，按分层抽样的方式抽取5
台设备，再从这5 台设备中随机抽取2 台设备，求这2 台设备的运行温度在同一个区间段内
的概率；
(3)设
，当
时，求
的解析式，并求
在区间
上的最
小值.
19．（本题17 分）已知函数
，
(1)若
，当
时，求
的最小值；
(2)若
，当
时，
（ⅰ）若函数
的最小值为2，求
的取值范围；
（ⅱ）对于任意的
，
恒成立，求
的取值范围．
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《2025-2026 学年高一下学期期末数学复习卷02》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
C
C
A
D
D
ABD
ACD
题号
11
答案
AC
12．
13．
14．
15．【详解】（1）因为
，
，所以
，
，所以
.
（2
，
，
，
设向量
与
的夹角为
，则
，又因
为
，所以
.
16．【详解】（1）由题意，
，所以函数
的最小正周期
；
（2）由
得
，因为
，所以
，解得
，
因为
，所以
，由余弦定理得
，所以
.
17．(1)由正三棱柱的定义可知
是等边三角形，
因为D 为AB 的中点，所以
．
又
平面ABC，
平面ABC，所以
．
因为
，
平面
，且
，
所以
平面
（2）存在．在
中，作
，垂足为E，连接BE．由（1）知
平面
，所以
．因
为AB，
平面
，且
，所以
平面
．
因为
平面BCE，所以平面
平面
．设
，则
，
，故
．因为
，所以
，
则
，
，所以
．
故在
上存在点E，使得平面
平面
，此时
．
18．【详解】（1）依题意可得：
，解得
.
误报率为
；
（2）故障设备运行温度在
与
两个区间段内的数量之比为
，
所以按分层抽样的方式抽取5 台设备中，各自有3 台和2 台.
故这2 台设备的运行温度在同一个区间段内的概率
；
（3）当
时，
，
，∴
.
所以当
时，
.
19．【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，当且仅当
时取等，
故当
时，
最小值为2．
（2）（ⅰ）由
，或
，即
，
，当且仅当
时取等号，
即当
时，函数
的最小值为2，所以当
时，方程
有解，
即方程
，或
有解，即
或
有解，当
有解时，
，当
有解，
，所以
；
（ⅱ）由题意得当
时，
，
，
①当
时，
在
上单调递增，
，即
，化简，得
，
去分母，得
，
解得
，
；
②当
时，
在
上单调递减，
单调递增．
，设
表示
中最大的数，
，
且
，即
，
解得，
；
③当
时，
在
上单调递增，
，即
，化简，得
，
去分母，得
，
；
④当
时，
，符合题意；⑤当
时，
在
上单调递增，
，即
，化简，得
，
去分母，得
，
解得，
．综上所述：
．
