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杭州二中2025学年高一下学期数学周末练1
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
C C C C C
1．在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC =4EC，点F是线段DE的中点，若AF =λAB+µAD，
则µ=（ ）
5 7 3
A． B．1 C． D．
4 8 4
C C C C C C C C C C C C C C C
2．设向量e ，e ，e 不共面，已知AB=e +e +e ，BC =e +λe +e ，CD=4e +8e +4e ，若A，C，D
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
三点共线，则λ=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
C C C C
3．已知a=(1,1)，b =(1,−2)，则a在b上的投影向量为（ ）
1 2 1 2 5 2 5 5 2 5
A．− , B． , C． − , D． ,
5 5 5 5 5 5 5 5
4．若ABC的三个内角均小于120°，点M 满足∠AMB=∠AMC =∠BMC =120°，则点M 到三角形三个顶
C C
点的距离之和最小，点M 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b，
C C C C C C C C C C
c满足b⊥c，且b =3，|c|= 3，则|a−b|+|a−c|+|a+c |的最小值是（ ）
A．9 B．4 3 C．6 D．3 3
C C C C
5．在ABC中，设 AC 2 −AB 2 =2AM⋅BC ，那么动点M 的轨迹必通过ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
C C C
6．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC =150°，点P在弧BC上运动，AP=λAB+µAC，则 3λ−µ的
最小值是（ ）
A．0 B．
3
C．2 D．−1
C C C
7．已知平面向量a，b ，c满足：a⋅b=0,c =1， a−c = b−c =5，则 a−b 的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
C C C C
8．设ABC是边长为1的正三角形，M是ABC所在平面上的一点，且满足MA+2λMB+MC = CA，则
C C
当MA⋅MC取最小值时，λ的值为（ ）
1 1
A． B．3 C． D．2
2 3
学科网（北京）股份有限公司二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知向量a C = ( 1, 3 ) ,b C =(cosa,sina)，则下列结论正确的是（ ）
C C 3 C C π
A．若a⊥b，则tana=− B．若a∥b，则a=
3 3
C C 1 C C C 2π C C
C．若b在a上的投影向量为− a，则向量a与b的夹角为 D． a−b 的最大值为3
4 3
10．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知ABC的外心为O，重心
为G，垂心为H，且AB=6，AC =4，以下结论正确的是（ ）
C C 20 C C
A．AG⋅BC =− B．AO⋅BC =10
3
C C C C C C C 14
C． OH =OA+OB+OC D．若 BC =2 7，则OB⋅OC =−
3
11．如图，已知直线l//l ，点A是l ，l 之间的一个定点，点A到l ，l 的距离分别为1，2.点B是直线l 上
1 2 1 2 1 2 2
C C C C
一个动点，过点A作AC ⊥ AB，交直线l 于点C，GA+GB+GC =0，则（ ）
1
C C C
1( ) 2
A．AG= AB+AC B．△GAB面积的最小值是
3 3
C C C
C． AG ≥1 D．GA⋅GB存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
C C C C C C C C
12．若向量a,b满足 a =3,a−b =5,a⋅b=1，则b =_________.
C C
13．如图所示，已知ABC中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若BC=8，AP⋅AR=20，
C C
则AB⋅AC =__________.
14．已知平面向量a C ,b C ,c C 满足 a C = b C = a C −b C =2,(a C −c C )⋅ ( b C −2c C) = 1 ，则 c C 的最小值是______．
2
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE=2BE，点F是BC的中点.
（1）设
A
→
B=
→
a
，
A
→
D=
→
b
，用→
a
，→
b
表示
E
→
D
，
E
→
F
；
3
（2）已知ED⊥EF，求证：AB= AD.
2
16．（本小题15分）
4
在 ABC中，已知AB=2，AC =4，角A的平分线AD与BC交于点D且AD= ．
3
C C
△
(1)求AB⋅AC的值；
(2)若 ，求cos∠APB．
C C C C C C C C C C C C C
① PA+PB+PC =0，② PA = PB = PC ，③ PA⋅PB=PB⋅PC =PC⋅PA，请从这三个条件任选一个，补充
到上面问题的横线中解答．
17．（本小题15分）
已知在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，O为坐标原点.
C C C
(1)如图1，设P为线段AB 的中点， OP=xOA+(1−x)OB(x∈R)，求x的值；
C C C
(2)如图2，设点 P，P，，P，，P 是线段AB的n等分点， OP =µOA+(1−µ)OB，其中1≤k ≤n−1，
1 2 k n−1 k k k
C C C C C
n,k∈N*，n≥2，当n=2025时，求 OA+OP +OP ++OP +OB 的值；
1 2 n−1
C C C C
1
(3)若t∈[0,1]，求tAB−AO + OB+(1−t)BA 的最小值.
3
学科网（北京）股份有限公司18．（本小题17分）
如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段
AC交线段OB于点M .
C C
(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；
(2)若θ=60° .
C C
①求CA⋅CB的取值范围；
C C S
②设OM =tOB(00,a −a <0,3−aa >0，
1 2 1 2 1 2
则g(a )−g(a )<0，即g(a )< g(a )，
1 2 1 2
4a
所以g(a)=1+ 在(−1,1)上单调递增，则g(a)∈(0,2)，
a2+3
所以 f (t)=
t2+t
(00，
1 2 3 1 2 1 2 1 2
xx −1
可得 (x −x ) 1 2 >0， f (x )> f (x )，
1 2 xx 1 2
1 2
1 3
所以 f (x)=x+ 在x∈0, 上单调递减，
x 3
故 tanϕ+ ta 1 nϕ = 4 3 3 ，所以 tan 1 2x +tanx 0 的最小值为 2 3 3 ；
min 0
π π 2 π
（3）由题意得 h(x)=cosx，cosC =h =cos = ，因此C = .
4 4 2 4
AB
设ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理可得2R= =2 2，
sinC
C C C
故R= 2，所以∣GA∣=∣GB∣=∣GC∣= 2.
C C C C C C C C C C C
( ) ( ) ( )
又GC⋅AB+CA⋅CB=GC⋅ GB−GA + GA−GC ⋅ GB−GC
C C C C C C C C C C C
=GC⋅GB−GC⋅GA+GA⋅GB−GA⋅GC−GC⋅GB+GC
2
C C C C C
=−2GC⋅GA+GA⋅GB+GC 2 =−4cos∠AGC+2cos∠AGB+2，
π π π
又 C = ，所以 ∠AGB=2C = ，cos∠AGB=cos =0，
4 2 2
C C C C
所以GC⋅AB+CA⋅CB=2−4cos∠AGC，
C C C C
所以当∠AGC =π时，GC⋅AB+CA⋅CB取得最大值，最大值为6.
答案第6页，共6页
