数学-浙江省杭州二中学2025-2026学年高一下学期周末练1_2026年03月高一试卷_260322多所强校2025-2026学年高一下学期3月数学卷合集

杭州二中2025学年高一下学期数学周末练1
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
C C C C C
1．在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC =4EC，点F是线段DE的中点，若AF =λAB+µAD，
则µ=（ ）
5 7 3
A． B．1 C． D．
4 8 4
C C C C C C C C C C C C C C C
2．设向量e ，e ，e 不共面，已知AB=e +e +e ，BC =e +λe +e ，CD=4e +8e +4e ，若A，C，D
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
三点共线，则λ=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
C C C C
3．已知a=(1,1)，b =(1,−2)，则a在b上的投影向量为（ ）
 1 2 1 2  5 2 5  5 2 5
A．− ,  B． ,  C．  − ,   D．  ,  
 5 5 5 5  5 5   5 5 
4．若ABC的三个内角均小于120°，点M 满足∠AMB=∠AMC =∠BMC =120°，则点M 到三角形三个顶
C C
点的距离之和最小，点M 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b，
C C C C C C C C C C
c满足b⊥c，且b =3，|c|= 3，则|a−b|+|a−c|+|a+c |的最小值是（ ）
A．9 B．4 3 C．6 D．3 3
C C C C
5．在ABC中，设 AC 2 −AB 2 =2AM⋅BC ，那么动点M 的轨迹必通过ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
C C C
6．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC =150°，点P在弧BC上运动，AP=λAB+µAC，则 3λ−µ的
最小值是（ ）
A．0 B．
3
C．2 D．−1
   C C C      
7．已知平面向量a，b ，c满足：a⋅b=0,c =1， a−c = b−c =5，则 a−b 的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
C C C C
8．设ABC是边长为1的正三角形，M是ABC所在平面上的一点，且满足MA+2λMB+MC = CA，则
C C
当MA⋅MC取最小值时，λ的值为（ ）
1 1
A． B．3 C． D．2
2 3
学科网（北京）股份有限公司二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知向量a C = ( 1, 3 ) ,b C =(cosa,sina)，则下列结论正确的是（ ）
C C 3 C C π
A．若a⊥b，则tana=− B．若a∥b，则a=
3 3
C C 1 C C C 2π C C
C．若b在a上的投影向量为− a，则向量a与b的夹角为 D． a−b 的最大值为3
4 3
10．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知ABC的外心为O，重心
为G，垂心为H，且AB=6，AC =4，以下结论正确的是（ ）
C C 20 C C
A．AG⋅BC =− B．AO⋅BC =10
3
C C C C C C C 14
C． OH =OA+OB+OC D．若 BC =2 7，则OB⋅OC =−
3
11．如图，已知直线l//l ，点A是l ，l 之间的一个定点，点A到l ，l 的距离分别为1，2.点B是直线l 上
1 2 1 2 1 2 2
C C C C
一个动点，过点A作AC ⊥ AB，交直线l 于点C，GA+GB+GC =0，则（ ）
1
C C C
1( ) 2
A．AG= AB+AC B．△GAB面积的最小值是
3 3
C C C
C． AG ≥1 D．GA⋅GB存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
C C C C C C C C
12．若向量a,b满足 a =3,a−b =5,a⋅b=1，则b =_________.
C C
13．如图所示，已知ABC中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若BC=8，AP⋅AR=20，
C C
则AB⋅AC =__________.
14．已知平面向量a C ,b C ,c C 满足 a C = b C = a C −b C =2,(a C −c C )⋅ ( b C −2c C) = 1 ，则 c C 的最小值是______．
2
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE=2BE，点F是BC的中点.
（1）设
A
→
B=
→
a
，
A
→
D=
→
b
，用→
a
，→
b
表示
E
→
D
，
E
→
F
；
3
（2）已知ED⊥EF，求证：AB= AD.
2
16．（本小题15分）
4
在 ABC中，已知AB=2，AC =4，角A的平分线AD与BC交于点D且AD= ．
3
C C
△
(1)求AB⋅AC的值；
(2)若 ，求cos∠APB．
C C C C C C C C C C C C C
① PA+PB+PC =0，② PA = PB = PC ，③ PA⋅PB=PB⋅PC =PC⋅PA，请从这三个条件任选一个，补充
到上面问题的横线中解答．
17．（本小题15分）
已知在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，O为坐标原点.
C C C
(1)如图1，设P为线段AB 的中点， OP=xOA+(1−x)OB(x∈R)，求x的值；
C C C
(2)如图2，设点 P，P，，P，，P 是线段AB的n等分点， OP =µOA+(1−µ)OB，其中1≤k ≤n−1，
1 2 k n−1 k k k
C C C C C
n,k∈N*，n≥2，当n=2025时，求 OA+OP +OP ++OP +OB 的值；
1 2 n−1
C C C C
1
(3)若t∈[0,1]，求tAB−AO + OB+(1−t)BA 的最小值.
3
学科网（北京）股份有限公司18．（本小题17分）
如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段
AC交线段OB于点M .
C C
(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；
(2)若θ=60° .
C C
①求CA⋅CB的取值范围；
C C S
②设OM =tOB(0<t<1)，记 �COM = f (t) ，求函数 f (t)的值域.
S
�BMA
19．（本小题17分）
C
已知O为坐标原点，对于函数 f (x)=asinx+bcosx，称向量OM =(a,b)为 f (x)的相伴向量，同时称 f (x)
C
为向量OM 的相伴函数.
C
(1)记OM =(1,1)的相伴函数为f(x)，求 f (x)的最大值；
 3 C 1
(2)已知动点M(1,b)满足b∈   0, 3   ，且 OM 的相伴函数g(x)在x=x 0 时取得最大值，求 tan2x 0 +tanx 0 的
最小值；
C
π
(3)已知 OA=(0,1)为函数h(x)的相伴向量，在ABC中，AB=2,cosC =h ，且点 G为ABC的外心，
4
C C C C
求 GC⋅AB+CA⋅CB的最大值.
学科网（北京）股份有限公司《杭州二中2025学年高一下学期数学周末练1》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C C D B C ACD ACD
题号 11
答案 ABC
7
12．3 2 13．8 14． −1
2
→ 2 → → 1 →
15．【详解】（1）因为AE=2BE，则AE= AB,EB= AB，
3 3
→ → → → 2→
所以ED=AD−AE=b− a，
3
→ → → 1 → 1 → 1→ 1→
EF =EB+BF = AB+ AD= a+ b；
3 2 3 2
（2）证明：因为ED⊥EF，所以
E
→
D⋅E
→
F =0
，
→ 2→ 1→ 1→ 1→2 2→2
即(b− a)⋅( a+ b)= b − a =0，
3 3 2 2 9
→ 3 → 3
即|a|= |b|，所以AB= AD．
2 2
CD AC C C
16．【详解】（1）∵AD平分角A，由角平分线定理∴ = =2，∴ CD=2DB，
DB AB
C C C
设AD=λAB+µAC ，则
C C C C C C C C C C
CD= AD−AC =λAB+(µ−1)AC,DB= AB−AD=(1−λ)AB−µAC ，
C C C C λ=2−2λ 2 1
∴λAB+(µ−1)AC =2(1−λ)AB−2µAC ， ，解得λ= ,µ= ，
µ−1=−2µ 3 3
C C C C C C C C C C
2 1 2 4 2 1 2 4 16 4 1 4
∴AD= AB+ AC，AD = AB + AC + AB⋅AC， = ×4+ ×16+ AB⋅AC ，
3 3 9 9 9 9 9 9 9
C C
解得AB⋅AC =−4；
C C
AB⋅AC 1 2π
（2）由cosA= C C =− 及0< A<π，得A= ，
AB AC 2 3
如图，建立平面直角坐标系xAy，
答案第1页，共6页
学科网（北京）股份有限公司则A(0,0)，B ( −1, 3 ) ，C(4,0)．
C C C C
选①，显然条件PA+PB+PC =0 表示点P为ABC 的重心，
C
则AC的中点D(2,0) ，BD= ( 3,− 3 ) ，设P(x,y) ，根据重心的几何性质有
C 1 C  3
PD= BD,(2−x,−y)=1,−  ，
 
3  3 
3  3 C  3 C  2 3
∴x=1,y= ，则重心P

1, 

，PA=

−1,− 

，PB=

−2, 

；
3  3   3   3 
CC 2
2−
PA�PB 3 1
cos∠APB= C C= = ；
PA�PB 4 16 2
×
3 3
选②，显然条件表示ABC 的外接圆的圆心，则P在直线x=2上，可设P(2,y)，
C C
( )2 4 3
由 PA = PB ，得 22 + y2 = 32 + y− 3 ，解得y= ，
3
 4 3 C  4 3 C  3
∴P2, ，PA=−2,− ，PB=−3,− 
     
 3   3   3 
CC 4
6+
PA�PB 3 11
所以cos∠APB= C C= = ；
PA�PB 16 1 14
4+ × 9+
3 3
C C C C C C C C C C C C
( ) ( )
选③，由条件PA�PB=PB�PC =PC�PA 可得： PA−PC �PB=0,PC�PB−PA =0 ，
C C C C
CA�PB=0,AB�PC =0 ，即点P是ABC 的垂心，
过B点作AC的垂线，则垂线方程为x=−1 ，垂心P在直线x=−1上，可设P(−1,y)，
答案第2页，共6页C C
( )
则PA=(1,−y)，BC = 5,− 3 ，
C C C C
由PA⊥BC，得PA⋅BC =5+ 3y=0，
5 3  5 3 C  5 3 C  8 3
∴y=− ，∴P

−1,− 

，PA=

1, 

，PB=

0, 

，
3  3   3   3 
CC 40
PA�PB 3 5 7
cos∠APB= C C= = ；
PA�PB 25 8 3 14
1+ ×
3 3
C C C C C C C C
17．【详解】（1）因为 AP=OP−OA=(x−1)OA+(1−x)OB=(x−1)( OA−OB ) =(x−1)BA，
C C
1 1 1
而 P为线段AB 的中点，所以 AP= AB，x−1=− ，得 x= .
2 2 2
C C C
2024 1
（2）由题意得 OP = OA+ OB，
1 2025 2025
C C C C C C C
1 2024
OP = OA+ OB，所以 OP +OP =OA+OB，
2024 2025 2025 1 2024
事实上，对任意正整数m,n，且m+n=2025，有
C 2025−m C m C C 2025−n C n C
OP = OA+ OB,OP = OA+ OB，
m 2025 2025 n 2025 2025
C C C C
所以 OP +OP =OA+OB，
m n
C C C C C C C
所以 OA+OP +OP +3+OP +OB =1013OA+OB =1013 12+12 =1013 2.
1 2 2024
C C C C
（3）线段AB 上存在一点M，使得 tAB= AM，(1−t)BA=BM，
C C
 2 1
且存在点 N0,  ，NB= OB，
 3 3
C C C C C
则 tAB−AO= AM −AO=OM，
C C C C C
1
OB+(1−t)BA=NB+BM =NM，
3
答案第3页，共6页
学科网（北京）股份有限公司C C C C C C
1
所以 tAB−AO + OB+(1−t)BA = OM + MN
3
即线段AB上存在一点M ，其到点O和点N 的距离之和最小，
作点O关于线段AB 的对称点 O′(1,1)，如图所示，
2
 2 10
则最小值为 ∣O′N∣= (1−0)2+1−  = .
 3 3
18．【详解】（1）因为OA=OB=1，∠AOB=θ，
C C C C C C C
所以OA⋅AB=OA⋅(OB−OA)=OA⋅OB−1=cosθ−1.
C C C C C C C C C C C C C
( ) ( ) 2
（2）①CA⋅CB= OA−OC ⋅ OB−OC =OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+OC .
π  2π
设∠BOC =α，又θ=60°= ，所以α∈

0,

，
3  3 
C C C C C C C
1 π  2
则OA⋅OB= ,OA⋅OC =cos +α,OC⋅OB=cosα,OC =1
2 3 
CC
3 π  3 1 3
所以CA⋅CB= −cos +α−cosα= − cosα+ sinα−cosα
2 3  2 2 2
3 3 3 3  3 1  3  π
= − cosα+ sinα= − 3

 cosα− sinα

= − 3cosα+ ，
2 2 2 2  2 2  2  6
 2π π π 5π
因为α∈

0,

，则α+ ∈

,

，
 3  6 6 6 
 π  3 3 3  π
所以cosα+ ∈− , ，则0≤ − 3cosα+ ≤3
 6  2 2  2  6
C C
故CA⋅CB∈[0,3]；
C C
②设AM =λAC(0<λ<1)，
C C C C C C C C C C C
则OM =OA+AM =OA+λAC =OA+λ ( OC−OA ) =(1−λ)OA+λOC =tOB，
C t C 1−λC C t C 1−λC
所以OC = OB− OA，由OC =1得 OB− OA =1，
λ λ λ λ
答案第4页，共6页 t  2 1−λ 2 t 1−λ 1 t2−t+1
即   +  −2× × × =1，整理得λ= ，
λ  λ  λ λ 2 2−t
t2−t+1
1−
CM 1−λ 2−t 1−t2
所以 = = = ，
AM λ t2−t+1 t2−t+1
2−t
C C
S OM ⋅CM t 1−t2 t2+t
所以 �COM = C C = × = .
S MB ⋅ AM 1−t t2−t+1 t2−t+1
�BMA
t2+t t2+t 2t−1
所以 f (t)= (0<t<1), f (t)= =1+ .
t2−t+1 t2−t+1 t2−t+1
a 4a
g(a)=1+ =1+
令2t−1=a(−1<a<1)， a+1 2 a+1 a2+3，
  − +1
 2  2
∀a ,a ∈(−1,1)，令a <a ，
1 2 1 2
 4a   4a  4(a −a )(3−aa )
则g(a
1
)−g(a
2
)=

1+
a2+
1
3
−

1+
a2+
2
3
=
( a
1
2+3
2
)( a2+3
1
)
2 ，
1 2 1 2
因为 ( a2+3 )( a2+3 ) >0,a −a <0,3−aa >0，
1 2 1 2 1 2
则g(a )−g(a )<0，即g(a )< g(a )，
1 2 1 2
4a
所以g(a)=1+ 在(−1,1)上单调递增，则g(a)∈(0,2)，
a2+3
所以 f (t)=
t2+t
(0<t<1)的取值范围是(0,2) .
t2−t+1
 π
19．【详解】（1）由题意得 f (x)=sinx+cosx= 2sinx+ .
 4
 π
因为−1≤sinx+ ≤1，所以 f (x)的最大值为 2；
 4
（2）由题设可得g(x)=sinx+bcosx= 1+b2sin(x+ϕ)，
 3
且tanϕ=b∈0, ， g(x)在x=x 时取得最大值，
  3  0
π π
得x +ϕ= +2kπ(k∈Z)，则x = −ϕ+2kπ(k∈Z)，
0 2 0 2
1 1 1 tan2ϕ−1 1 1 1 
所以 +tanx = + = + = tanϕ+  ，
tan2x 0 −tan2ϕ tanϕ 2tanϕ tanϕ 2 tanϕ
0
令 f (x)=x+ 1 ，x∈  

0, 3 ，设0<x <x ≤ 3 ，
x  3  1 2 3
答案第5页，共6页
学科网（北京）股份有限公司1 1 xx −1
则 f (x )− f (x )=x + −x − =(x −x ) 1 2 ，
1 2 1 x 2 x 1 2 xx
1 2 1 2
3
因为0<x <x ≤ ，所以x −x <0,xx −1<0,xx >0，
1 2 3 1 2 1 2 1 2
xx −1
可得 (x −x ) 1 2 >0， f (x )> f (x )，
1 2 xx 1 2
1 2
1  3
所以 f (x)=x+ 在x∈0, 上单调递减，

x  3 
故    tanϕ+ ta 1 nϕ    = 4 3 3 ，所以 tan 1 2x +tanx 0 的最小值为 2 3 3 ；
min 0
π π 2 π
（3）由题意得 h(x)=cosx，cosC =h =cos = ，因此C = .
4 4 2 4
AB
设ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理可得2R= =2 2，
sinC
C C C
故R= 2，所以∣GA∣=∣GB∣=∣GC∣= 2.
C C C C C C C C C C C
( ) ( ) ( )
又GC⋅AB+CA⋅CB=GC⋅ GB−GA + GA−GC ⋅ GB−GC
C C C C C C C C C C C
=GC⋅GB−GC⋅GA+GA⋅GB−GA⋅GC−GC⋅GB+GC
2
C C C C C
=−2GC⋅GA+GA⋅GB+GC 2 =−4cos∠AGC+2cos∠AGB+2，
π π π
又 C = ，所以 ∠AGB=2C = ，cos∠AGB=cos =0，
4 2 2
C C C C
所以GC⋅AB+CA⋅CB=2−4cos∠AGC，
C C C C
所以当∠AGC =π时，GC⋅AB+CA⋅CB取得最大值，最大值为6.
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