数学-湖南雅礼中学2026年上学期高一第一次质量检测_2026年04月高一试卷_260401湖南雅礼中学2026年上学期高一第一次质量检测

雅礼中学 2026 年上学期第一次质量检测试卷 高一数学 时间：120 分钟 分值：150 分 命题人：李嵩、陈俣潇 审题人：李云皇、汤芳 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合𝐴(cid:3404) 𝑥∈𝐑|2𝑥(cid:3397)5(cid:3408)𝑥2(cid:3398)3 ，则𝐴∩𝐍∗ (cid:3404) A. 1 B. 1,2 C. 1,2,3 D. 1,2,3,4 2.若函数𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) (cid:4666)𝑥(cid:3398)1(cid:4667)2(cid:3397)𝑎𝑥是偶函数，则实数𝑎(cid:3404) A.(cid:3398)2 B.(cid:3398)1 C.1 D.2 3. 已知菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，且∠𝐴𝐵𝐶(cid:3404)60°.则𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑∙𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404) 3 1 1 3 A. B. C.(cid:3398) D.(cid:3398) 2 2 2 2 4.已知平面向量𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑=(cid:4666)1,0(cid:4667)，𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑=(cid:4666)1, 3(cid:4667).设(cid:4652)𝑎⃑=4(cid:4652)𝑒(cid:4652)⃑+𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑，(cid:4652)𝑏⃑=3(cid:4652)𝑒(cid:4652)⃑(cid:3398)𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑，则(cid:4652)𝑎⃑与(cid:4652)𝑏⃑的夹角为 1 2 1 2 1 2 𝜋 𝜋 2𝜋 5𝜋 A. B. C. D. 6 3 3 6 11 5.设𝑎>0且𝑎(cid:3405) 1，函数𝑓(𝑥)= (cid:3398)𝑥+ 2 ,𝑥(cid:3409)2 的定义域为𝐑. 若𝑓(𝑥)的值域为(cid:4670) 7 ,(cid:3397)∞)，则 3+log 𝑥,𝑥>2 2 𝑎 𝑎的取值范围为 A.(cid:4670) 2,(cid:3397)∞(cid:4667) B.(cid:4670)4,+∞) C.(cid:4666)1, 2(cid:4671) D.(cid:4666)1,4(cid:4671) 6.将函数𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)sin2𝑥(cid:3398)cos2𝑥的图象向右平移𝜑(cid:4666)𝜑(cid:3408)0(cid:4667)个单位长度后得到新的图象.已知 这个新的图象关于原点中心对称，则𝜑的最小值为 𝜋 3𝜋 5𝜋 7𝜋 A. B. C. D. 8 8 8 8 7.给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底 (cid:4652)𝑎⃑,(cid:4652)𝑏⃑ 满足(cid:4652)𝑎⃑⊥(cid:4652)𝑏⃑，则称 (cid:4652)𝑎⃑,(cid:4652)𝑏⃑ 为平面向量 的正交基底.现在任取平面向量的一组基底 (cid:4652)𝑒(cid:4652)⃑, 𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑ ，则下列选项中，一定能构成平面向量正 1 2 交基底的是 8.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶所对边的长度分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知𝑐sin(cid:4666)𝐵(cid:3397) 𝜋 (cid:4667)(cid:3404) 3 𝑎，𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴⃑∙𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑(cid:3404)20， 3 2 𝑐(cid:3404)7.则△𝐴𝐵𝐶内切圆的半径为 A.1 B. 2 C. 3 D.2 试卷第1页，共4页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。） 9.现给出下列四个函数，其中在区间(cid:4666)0,1(cid:4667)上单调递增的是 A.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=cos𝑥 B.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=𝑥3 C.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=tan𝑥 D.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=e𝑥 10.平面内有四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，边𝐴𝐵平行于𝐷𝐶，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐸.若𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666)2,(cid:3398)4(cid:4667), 𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666)1,3(cid:4667)，且△𝐴𝐵𝐸的面积为3，则 3𝜋 A.∠𝐵𝐴𝐷(cid:3404) 4 B.△𝐴𝐵𝐷的面积为6 C.𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐸(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666) 6 , 2 (cid:4667) 5 5 D.|𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑|(cid:3407) 14 3 11.已知定义在𝐑上的函数𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) sin(cid:4666)𝜔𝑥(cid:3397)𝜑(cid:4667) (cid:4666)其中𝜔(cid:3408)0,|𝜑|(cid:3409) 𝜋 (cid:4667)在区间(cid:4670)1,2(cid:4671)上有且仅有 2 3 个零点，且该函数的图象关于点(cid:4666) 1 ,0(cid:4667)中心对称，也关于直线𝑥(cid:3404)(cid:3398) 1轴对称.现考虑函数 4 4 𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) cos(cid:4666)𝜔𝑥(cid:3397)𝜑(cid:4667)，则函数𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)的零点可以是 1 5 7 3 A. B. C. D. 4 12 12 4 公众号：高一高二高三试卷 三、填空题（本题共3 小题，每小题 5分，共 15分） 12.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边的长度分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知𝑎(cid:3404)4,𝑐(cid:3404)2 且2sin𝐵(cid:3404)3sin𝐶， 则cos𝐴(cid:3404) . 13.已知平面向量(cid:4652)𝑎⃑(cid:3404)(cid:4666)4cos𝛼, sin𝛼(cid:4667)，(cid:4652)𝑏⃑(cid:3404)(cid:4666)sin𝛽,4cos𝛽(cid:4667)，(cid:4652)𝑐⃑(cid:3404)(cid:4666)cos𝛽, (cid:3398)4sin𝛽(cid:4667)，其中 𝛼,𝛽∈𝐑.则(cid:4652)𝑎⃑⊥(cid:4666)(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)2(cid:4652)𝑐⃑(cid:4667)的充要条件为tan(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3404) . 14.已知平面向量(cid:4652)𝑎⃑,(cid:4652)𝑏⃑,(cid:4652)𝑐⃑满足(cid:4652)𝑎⃑⋅(cid:4652)𝑏⃑=0，|(cid:4652)𝑐⃑|=1，|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑|=|(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑|=5，则|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|的取值范围 为 . 试卷第2页，共4页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}四、解答题（本题共5 小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(cid:4666)13分(cid:4667)已知集合Ax 2 x15 ，集合Bx m1 x2m1mR． (1)若m4，求 (AB)； R (2)若ABB，求实数m的取值范围．  π 16.(15分)已知函数 f x Asinx A0,0, 的部分图像如图所示．图中最  2 π  3π  高点坐标为 ，2，与最高点相邻的一个零点坐标为 ，0． 8   8  (1)求函数 f x的解析式； (2)将函数 f x的图象向左平移 π 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍 8 （纵坐标不变），得到函数gx的图象．求函数gx在区间0,π上的最大值和最小值． 17.(15分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且bcosA 3bsinAac． (1)求角B； (2)若ABC的中线BD2，求ABC面积的最大值． 试卷第3页，共4页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}π 18.(17分)如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），AOB（0 ）， 2 点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M（点M异于点O、B），记AOB的面积 为S．   (1)记 f2SOAAB，求 f 的表达式； (2)若60   ①求CACB的取值范围；    AM ②设OM tOB0t1，记  gt，求gt的最小值． AC k2x 19.(17分)已知函数 f xlog ，kR. 2 x 1 3 (1)若 f   f  2，求实数k的值； 2 2 (2)在(1)问的条件下，解关于x的不等式 f   f x  1；  1 (3)若k 4，对任意的b 1, ，函数gx f xlog xxb在区间0,2内总存在   2   2 x 使得gx g2x 成立，求实数k的取值范围. 0 0 0 试卷第4页，共4页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}雅礼中学 2026 年上学期第一次质量检测试卷 高一数学 时间：120 分钟 分值：150 分 命题人：李嵩、陈俣潇 审题人：李云皇、汤芳 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合𝐴(cid:3404) 𝑥∈𝐑|2𝑥(cid:3397)5(cid:3408)𝑥2(cid:3398)3 ，则𝐴∩𝐍∗ (cid:3404) A. 1 B. 1,2 C. 1,2,3 D. 1,2,3,4 【答案】C 【解答】将2𝑥(cid:3397)5(cid:3408)𝑥2(cid:3398)3 移项得𝑥2(cid:3398)2𝑥(cid:3398)8(cid:3407)0，即(cid:4666)𝑥(cid:3398)4(cid:4667)(cid:4666)𝑥(cid:3397)2(cid:4667)(cid:3407)0，因此𝐴(cid:3404)(cid:4666)(cid:3398)2,4(cid:4667).因此𝐴∩𝐍∗ (cid:3404) 1,2,3 . 2.若函数𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) (cid:4666)𝑥(cid:3398)1(cid:4667)2(cid:3397)𝑎𝑥是偶函数，则实数𝑎(cid:3404) A.(cid:3398)2 B.(cid:3398)1 C.1 D.2 【答案】D 【解答】由偶函数定义知𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) 𝑓(cid:4666)(cid:3398)𝑥(cid:4667)恒成立，即𝑥2(cid:3397)(cid:4666)𝑎(cid:3398)2(cid:4667)𝑥(cid:3397)1(cid:3404) (cid:4666)(cid:3398)𝑥(cid:4667)2(cid:3397)(cid:4666)𝑎(cid:3398)2(cid:4667)(cid:4666)(cid:3398)𝑥(cid:4667)(cid:3397)1，即2(cid:4666)𝑎(cid:3398) 2(cid:4667)𝑥(cid:3404)0 对任意实数𝑥成立，因此𝑎(cid:3398)2(cid:3404)0，即𝑎(cid:3404)2. 3. 已知菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，且∠𝐴𝐵𝐶(cid:3404)60°.则𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑∙𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404) 3 1 1 3 A. B. C.(cid:3398) D.(cid:3398) 2 2 2 2 【答案】A 【解答】取 𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑,𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑ 为基底.则𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404)𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑(cid:3397)𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑，𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404)𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑. 所以𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑∙𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404)𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑∙𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑(cid:3397)𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑2 (cid:3404)|𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑||𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑|cos∠𝐴𝐵𝐶(cid:3397)|𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑|2 (cid:3404)1(cid:3400)1(cid:3400)cos60°(cid:3397)12 (cid:3404) 3 . 2 4.已知平面向量𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑=(1,0)，𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑=(1, 3).设(cid:4652)𝑎⃑=4𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑+𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑，(cid:4652)𝑏⃑=3𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑(cid:3398)𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑，则(cid:4652)𝑎⃑与(cid:4652)𝑏⃑的夹角为 1 2 1 2 1 2 𝜋 𝜋 2𝜋 5𝜋 A. B. C. D. 6 3 3 6 【答案】B 【解析】(cid:4652)𝑎⃑=4(1,0)+(1, 3)=(5, 3)，(cid:4652)𝑏⃑=3(1,0)(cid:3398)(1, 3)=(2,(cid:3398) 3)，所以(cid:4652)𝑎⃑⋅(cid:4652)𝑏⃑=5(cid:3400)2+ 3(cid:3400)((cid:3398) 3)= 7.而|(cid:4652)𝑎⃑|= 52+( 3)2 =2 7，|(cid:4652)𝑏⃑|= 22+((cid:3398) 3)2 = 7，所以cos𝜃= (cid:4652)𝑎⃑⋅(cid:4652)𝑏⃑ = 7 = 1 ，因此夹角𝜃= 𝜋 ． |(cid:4652)𝑎⃑||(cid:4652)𝑏⃑| 2 7⋅ 7 2 3 11 5.设𝑎>0且𝑎(cid:3405) 1，函数𝑓(𝑥)= (cid:3398)𝑥+ 2 ,𝑥(cid:3409)2 的定义域为𝐑. 若𝑓(𝑥)的值域为[ 7 ,(cid:3397)∞)，则𝑎的取值范围为 3+log 𝑥,𝑥>2 2 𝑎 A.[ 2,+∞) B.[4,+∞) C.(1, 2] D.(1,4] 【答案】D 【解析】若𝑥∈(cid:4666)(cid:3398)∞,2(cid:4671)，则𝑓(𝑥)的取值范围是[ 7 ,+∞). 2 当𝑥> 2时，𝑓(𝑥)=3+log 𝑥，分两种情形讨论： 𝑎 若𝑎> 1，则𝑓(𝑥)在(2,+∞)单调递增，相应𝑓(𝑥)的取值范围是 3+log 2,+∞ ，因此要使𝑓(𝑥)的值域是[ 7 ,+∞)， 𝑎 2 应当有3+log 𝑎 2(cid:3410) 7，两端都取𝑎为底可得𝑎log𝑎2 (cid:3410)𝑎 1 2，解得1< 𝑎(cid:3409)4. 2 当0<𝑎<1，则𝑓(𝑥)在(2,+∞)单调递减，相应𝑓(𝑥)的取值范围是 (cid:3398)∞,3+log 2 ，此时无法满足𝑓(𝑥)的值域是 𝑎 [ 7 ,+∞)，故舍去. 2 答案第1页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}综上可得1<𝑎(cid:3409)4. 6.将函数𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)sin2𝑥(cid:3398)cos2𝑥的图象向右平移𝜑(cid:4666)𝜑(cid:3408)0(cid:4667)个单位长度后得到新的图象.已知这个新的图象关于原 点中心对称，则𝜑的最小值为 𝜋 3𝜋 5𝜋 7𝜋 A. B. C. D. 8 8 8 8 【答案】B 【解答】𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)sin2𝑥(cid:3398)cos2𝑥(cid:3404) 2sin(cid:4666)2𝑥(cid:3398) 𝜋 (cid:4667).设𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)图象向右平移𝜑(cid:4666)𝜑(cid:3408)0(cid:4667)个单位长度后得到函数𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)的 4 图象，则𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404)𝑓(cid:4666)𝑥(cid:3398)𝜑(cid:4667)(cid:3404) 2sin(cid:4666)2𝑥(cid:3398)2𝜑(cid:3398) 𝜋 (cid:4667). 4 因为函数𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)的图象关于原点中心对称，所以𝑔(cid:4666)0(cid:4667)(cid:3404)0，即sin(cid:4666)(cid:3398)2𝜑(cid:3398) 𝜋 (cid:4667)(cid:3404) 0， 4 所以2𝜑(cid:3397) 𝜋 (cid:3404)𝑘𝜋(cid:4666)𝑘∈Z(cid:4667)，即𝜑(cid:3404) 𝑘𝜋 (cid:3398) 𝜋 (cid:4666)𝑘∈Z(cid:4667). 4 2 8 当𝑘(cid:3408) 1时，有𝜑(cid:3408)0；因此取𝑘(cid:3404)1，对应于𝜑的最小值3𝜋 . 4 8 7.给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底 (cid:4652)𝑎⃑,(cid:4652)𝑏⃑ 满足(cid:4652)𝑎⃑⊥(cid:4652)𝑏⃑，则称 (cid:4652)𝑎⃑,(cid:4652)𝑏⃑ 为平面向量的正交基底.现在任 取平面向量的一组基底 (cid:4652)𝑒(cid:4652)⃑, 𝑒(cid:4652)(cid:4652)⃑ ，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是 1 2 8.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶所对边的长度分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知𝑐sin(cid:4666)𝐵(cid:3397) 𝜋 (cid:4667)(cid:3404) 3 𝑎，𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴⃑∙𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑(cid:3404)20，𝑐(cid:3404)7.则△𝐴𝐵𝐶内 3 2 切圆的半径为 A.1 B. 2 C. 3 D.2 【答案】C 【解析】对题中条件𝑐sin(cid:4666)𝐵(cid:3397) 𝜋 (cid:4667)(cid:3404) 3 𝑎使用正弦定理，可得sin𝐶sin(cid:4666)𝐵(cid:3397) 𝜋 (cid:4667)(cid:3404) 3 sin𝐴，因此 3 2 3 2 sin𝐶(cid:4666) 1 sin𝐵(cid:3397) 3 cos𝐵(cid:4667)(cid:3404) 3 sin𝐴.而sin𝐴(cid:3404)sin(cid:4666)𝐵(cid:3397)𝐶(cid:4667)(cid:3404)sin𝐵cos𝐶(cid:3397)cos𝐵sin𝐶，所以化简得1 sin𝐵sin𝐶(cid:3404) 2 2 2 2 3 sin𝐵cos𝐶，因此tan𝐶(cid:3404) 3，即𝐶(cid:3404) 𝜋 . 2 3 而𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴⃑∙𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑(cid:3404)𝑏𝑎cos𝐶(cid:3404)20，所以𝑎𝑏(cid:3404)40. 又由余弦定理𝑐2 (cid:3404)𝑎2(cid:3397)𝑏2(cid:3398)2𝑎𝑏cos𝐶，得𝑎2(cid:3397)𝑏2 (cid:3404)89，因此𝑎(cid:3397)𝑏(cid:3404) 𝑎2(cid:3397)𝑏2(cid:3397)2𝑎𝑏(cid:3404)13. 答案第2页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}设△𝐴𝐵𝐶内切圆的半径为𝑟.过内切圆的圆心分别与三顶点相连，将△𝐴𝐵𝐶分割为三个三角形，由此可知三角形 的面积为𝑆(cid:3404) 1 (cid:4666)𝑎(cid:3397)𝑏(cid:3397)𝑐(cid:4667)𝑟(cid:3404)10𝑟. 2 又因为𝑆(cid:3404) 1 𝑎𝑏sin𝐶(cid:3404)10 3，所以𝑟(cid:3404) 3. 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.现给出下列四个函数，其中在区间(cid:4666)0,1(cid:4667)上单调递增的是 A.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=cos𝑥 B.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=𝑥3 C.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=tan𝑥 D.𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=e𝑥 【答案】BCD 【解析】𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=cos𝑥在区间(0,𝜋)上单调递减，A错误;𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=𝑥3在𝐑上单调递增，B正确;𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=𝑡𝑎𝑛𝑥在((cid:3398) 𝜋 , 𝜋 )上 2 2 单调递增，故正确;𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)=𝑒𝑥在𝐑上单调递增，D正确． 10.平面内有四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，边𝐴𝐵平行于𝐷𝐶，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐸.若𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666)2,(cid:3398)4(cid:4667), 𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666)1,3(cid:4667)，且△𝐴𝐵𝐸的面积为3，则 3𝜋 A.∠𝐵𝐴𝐷(cid:3404) 4 B.△𝐴𝐵𝐷的面积为6 C.𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐸(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666) 6 , 2 (cid:4667) 5 5 D.|(cid:4652)𝐵(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑|(cid:3407) 14 3 【答案】AD 【解析】A选项cos∠𝐵𝐴𝐷(cid:3404)cos 𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑, 𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑ (cid:3404) 𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑∙𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑ (cid:3404) (cid:3398)10 (cid:3404)(cid:3398) 2，则∠𝐵𝐴𝐷(cid:3404) 3𝜋，正确. |𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑||𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑| 2 5(cid:3400) 10 2 4 B 选项，△𝐴𝐵𝐷的面积为𝑆 (cid:3404) 1 |𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑||𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑|sin∠𝐵𝐴𝐷(cid:3404) 1 (cid:3400)2 5(cid:3400) 10(cid:3400) 2 (cid:3404)5，错误. △𝐴𝐵𝐷 2 2 2 C 选项，注意到△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐵𝐸具有共线的底边𝐵𝐷,𝐵𝐸，且这两个底边对应的高相等，因此|𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐸(cid:4652)⃑| (cid:3404) 𝑆△𝐴𝐵𝐸 (cid:3404) 3，因 |𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑| 𝑆△𝐴𝐵𝐷 5 此𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐸(cid:4652)⃑(cid:3404) 3 𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666)(cid:3398) 3 , 21 (cid:4667)，所以𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐸(cid:4652)⃑(cid:3404)𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑(cid:3397)𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐸(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666) 7 , 1 (cid:4667)，错误. 5 5 5 5 5 D 选项，因为△𝐷𝐸𝐶与△𝐵𝐸𝐴相似，所以|𝐸(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑| (cid:3404) |𝐸(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃑| (cid:3404) 2，因此𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶⃑(cid:3404) 5 𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐸(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666) 7 , 1 (cid:4667)，所以𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑(cid:3404)𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶⃑(cid:3398)𝐴(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑(cid:3404)(cid:4666) 1 , 13 (cid:4667)； |𝐸(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃑| |𝐸(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃑| 3 3 3 3 3 3 利用三角形两边之和大于第三边，可知|𝐵(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃑|(cid:3407) 1 (cid:3397) 13 (cid:3404) 14，正确. 3 3 3 11.已知定义在𝐑上的函数𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) sin(cid:4666)𝜔𝑥(cid:3397)𝜑(cid:4667) (cid:4666)其中𝜔(cid:3408)0,|𝜑|(cid:3409) 𝜋 (cid:4667)在区间(cid:4670)1,2(cid:4671)上有且仅有3 个零点，且该函数 2 的图象关于点(cid:4666) 1 ,0(cid:4667)中心对称，也关于直线𝑥(cid:3404)(cid:3398) 1轴对称.现考虑函数𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) cos(cid:4666)𝜔𝑥(cid:3397)𝜑(cid:4667)，则函数𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)的零点可 4 4 以是 1 5 7 3 A. B. C. D. 4 12 12 4 【答案】BD 答案第3页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}【解析】由𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)图象中心对称性可知𝑓(cid:4666) 1 (cid:4667)(cid:3404) 0，因此 𝜔 (cid:3397)𝜑(cid:3404)𝑘 𝜋； 1 4 4 由𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)图象轴对称性可知𝑓(cid:4666)(cid:3398) 1 (cid:4667)(cid:3404)(cid:3399)1，因此(cid:3398) 𝜔 (cid:3397)𝜑(cid:3404) 𝜋 (cid:3397)𝑘 𝜋； 2 4 4 2 联立以上两式可得𝜔(cid:3404)(cid:3398)𝜋(cid:3397)2(cid:4666)𝑘 (cid:3398)𝑘 (cid:4667)𝜋, 𝜑(cid:3404) 𝜋 (cid:3397) 𝑘1(cid:3397)𝑘2𝜋. 1 2 4 2 设函数的最小正周期为𝑇.由于在区间(cid:4670)1,2(cid:4671)上有且仅有3 个零点，所以𝑇(cid:3409)1 且2𝑇(cid:3408)1，因此2𝜋(cid:3409)𝜔(cid:3407)4𝜋，结 合前面𝜔的可能取值，可知𝜔(cid:3404)3𝜋. 由|𝜑|(cid:3409) 𝜋可知𝜑(cid:3404)(cid:3399) 𝜋，但考虑到“𝜔 (cid:3397)𝜑(cid:3404) 𝑘 𝜋”，所以𝜑(cid:3404) 𝜋 . 1 2 4 4 4 综上可知𝑓(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) sin(cid:4666)3𝜋𝑥(cid:3397) 𝜋 (cid:4667) .经检验，其在区间(cid:4670)1,2(cid:4671)上的所有零点为15 , 19 , 23，符合题意. 4 12 12 12 所以𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) cos(cid:4666)3𝜋𝑥(cid:3397) 𝜋 (cid:4667). 4 由于𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)(cid:3404) 0 等价于3𝜋𝑥(cid:3397) 𝜋 (cid:3404) 𝜋 (cid:3397)𝑘 𝜋，即𝑥(cid:3404) 1 (cid:3397) 1 𝑘 ，所以𝑔(cid:4666)𝑥(cid:4667)的零点为..., 1 , 5 , 9 , 13 ,...因此BD 正确. 3 3 4 2 12 3 12 12 12 12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边的长度分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知𝑎(cid:3404)4,𝑐(cid:3404)2且2sin𝐵(cid:3404)3sin𝐶，则cos𝐴(cid:3404) . 【答案】(cid:3398) 1 4 【解析】由正弦定理得𝑏 (cid:3404) sin𝐵 (cid:3404) 3，由此𝑏(cid:3404) 3 𝑐(cid:3404)3.由余弦定理得cos𝐴(cid:3404) 𝑏2(cid:3397)𝑐2(cid:3398)𝑎2 (cid:3404) 9(cid:3397)4(cid:3398)16 (cid:3404)(cid:3398) 1 . 𝑐 sin𝐶 2 2 2𝑏𝑐 12 4 13.已知平面向量(cid:4652)𝑎⃑(cid:3404)(cid:4666)4cos𝛼, sin𝛼(cid:4667)，(cid:4652)𝑏⃑(cid:3404)(cid:4666)sin𝛽,4cos𝛽(cid:4667)，(cid:4652)𝑐⃑(cid:3404)(cid:4666)cos𝛽, (cid:3398)4sin𝛽(cid:4667)，其中𝛼,𝛽∈𝐑.则(cid:4652)𝑎⃑⊥(cid:4666)(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398) 2(cid:4652)𝑐⃑(cid:4667)的充要条件为tan(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3404) . 【答案】2 【解析】计算(cid:4652)𝑎⃑∙(cid:4666)(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)2(cid:4652)𝑐⃑(cid:4667)(cid:3404) (cid:4666)4cos𝛼, sin𝛼(cid:4667)∙(cid:4666)sin𝛽(cid:3398)2cos𝛽,4cos𝛽(cid:3397)8sin𝛽(cid:4667)(cid:3404) 4cos𝛼sin𝛽(cid:3397)4sin𝛼cos𝛽(cid:3398) 8cos𝛼cos𝛽(cid:3397)8sin𝛼sin𝛽(cid:3404)4sin(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3398)8cos(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667). 由此可知：若(cid:4652)𝑎⃑⊥(cid:4666)(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)2(cid:4652)𝑐⃑(cid:4667)，则4sin(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3398)8cos(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3404)0，因此tan(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3404)2； 若tan(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3404)2，则(cid:4652)𝑎⃑∙(cid:4666)(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)2(cid:4652)𝑐⃑(cid:4667)(cid:3404) 4cos(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667) tan(cid:4666)𝛼(cid:3397)𝛽(cid:4667)(cid:3398)2 (cid:3404)0，因此(cid:4652)𝑎⃑⊥(cid:4666)(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)2(cid:4652)𝑐⃑(cid:4667). 14.已知平面向量(cid:4652)𝑎⃑,(cid:4652)𝑏⃑,(cid:4652)𝑐⃑满足(cid:4652)𝑎⃑⋅(cid:4652)𝑏⃑=0，|(cid:4652)𝑐⃑|=1，|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑|=|(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑|=5，则|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|的取值范围为 . 【答案】[6,8] 【解答】解法一：计算|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|2 =|((cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑)(cid:3398)((cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑)|2 =((cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑)2+((cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑)2(cid:3398)2((cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑)⋅((cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃑)=50(cid:3398)2((cid:4652)𝑎⃑⋅(cid:4652)𝑏⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑎⃑⋅ (cid:4652)𝑐⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑⋅(cid:4652)𝑐⃑+1)=48+2((cid:4652)𝑎⃑+(cid:4652)𝑏⃑)⋅(cid:4652)𝑐⃑=48+2|(cid:4652)𝑎⃑+(cid:4652)𝑏⃑|cos 𝜃，其中𝜃为((cid:4652)𝑎⃑+(cid:4652)𝑏⃑)与(cid:4652)𝑐⃑的夹角. 注意到|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3397)(cid:4652)𝑏⃑|=|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|，所以|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|2 =48+2|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|cos 𝜃. 又因为𝑐𝑜𝑠𝜃∈(cid:4670)(cid:3398)1,1(cid:4671)，可得48(cid:3398)2|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|⩽|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|2⩽48+2|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|，解得6⩽|(cid:4652)𝑎⃑(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃑|⩽8. 解法二：如图，作𝑂(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴(cid:4652)⃗=(cid:4652)𝑎⃗，𝑂(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃗=(cid:4652)𝑏⃗，𝑂(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐶(cid:4652)⃗=(cid:4652)𝑐⃗，由|(cid:4652)𝑎⃗(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃗|=|(cid:4652)𝑏⃗(cid:3398)(cid:4652)𝑐⃗|=5，可知𝐴，𝐵在以点𝐶为圆心，5为半径的圆 上，以𝑂𝐴，𝑂𝐵为邻边作矩形𝑂𝐴𝐷𝐵. 由矩形的性质可知，|𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝑂(cid:4652)⃗|2+|𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃗|2 =|𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐴⃗|2+|𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐵(cid:4652)⃗|2，可得|𝐶(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)𝐷(cid:4652)⃗|=7，即点𝐷在以点𝐶为圆心，7为半径的圆上， 因此|(cid:4652)𝑎⃗(cid:3398)(cid:4652)𝑏⃗|=|𝐴𝐵|=|𝑂𝐷|∈[7(cid:3398)1,7+1](cid:3404)[6,8]. 答案第4页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}四、解答题（本题共5 小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知集合Ax 2 x15 ，集合Bx m1 x2m1mR． (1)若m4，求 (AB)； R (2)若ABB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (AB){x|x1或x7}； R 7 (2)m . 2 【解析】（1）当m4时，B{x|5x7}，而A{x|1x6}，则AB{x|1x7}， 所以 (AB){x|x1或x7}. R （2）由ABB，得B A， 当m12m1，即m2时，B，满足B A，则m2； 7 当B时，由B A，得1m12m16，解得2m ， 2 7 所以实数m的取值范围是m . 2  π π  16．(15分)已知函数 f x Asinx A0,0, 的部分图像如图所示．图中最高点坐标为 ，2，  2 8  3π  与最高点相邻的一个零点坐标为 ，0．  8  (1)求函数 f x的解析式； 答案第5页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}(2)将函数 f x的图象向左平移 π 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得 8 到函数gx的图象．求函数gx在区间0,π上的最大值和最小值．  π 【答案】(1) f x2sin2x ；  4 (2)最大值为2，最小值为2. π  3π  【解析】（1）由题意，函数 f x最高点坐标为 ，2，与最高点相邻的一个零点坐标为 ，0， 8   8  A2  T 3π π    4 8 8  π 所以可得 π  ，解得A2，T π， ，2，  Asin 2 4 8    2π T      π 所以函数 f x的解析式为 f x2sin2x ；  4  π （2）由（1）得 f x2sin2x ，  4 将函数 f x的图象向左平移 π 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得 8 gx2cosx， 当x0,π时，1cosx1，所以22cosx2，即2gx2， 所以函数gx在区间0,π上的最大值为2，最小值为2. 17．(15分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且bcosA 3bsinAac． (1)求角B； (2)若ABC的中线BD2，求ABC面积的最大值． π 【答案】(1)B 3 4 3 (2) 3 【解析】（1）因为bcosA 3bsinAac， 由正弦定理可得sinBcosA 3sinBsinAsinAsinC， 在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，sinA0， 所以sinBcosA 3sinBsinAsinAsinAcosBcosAsinB，  π 整理得 3sinBcosB2sinB 1，  6  π 1 π  π 5π 所以sinB  ，因为B0,π，B  , ,  6 2 6  6 6  答案第6页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}π π π 所以B  ，B ． 6 6 3 π （2）因为ABC的中线BD2，B ， 3  1   因为BD (BABC)， 2 所以|  B  D  |2 1 (  B  A  2   B  C  2 2  B  A    B  C  ) 1 (c2a22accosB) 1 (a2c2ac)， 4 4 4 1 16 4 3 即4≥ (2acac)，可得ac ，当且仅当ac 时取等号， 4 3 3 1 1 16 3 4 3 所以ABC的面积S acsinB≤    ， 2 2 3 2 3 4 3 所以ABC面积的最大值为 ． 3 π 18．(17分)如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），AOB（0 ），点C为单位圆上的动 2 点，线段AC交线段OB于点M（点M异于点O、B），记AOB的面积为S．   (1)记 f2SOAAB，求 f 的表达式； (2)若60   ①求CACB的取值范围；    AM ②设OM tOB0t1，记  gt，求gt的最小值． AC    【答案】(1) f 2sin 1（0 ）  4 2   (2)①CACB0,3 ；②2 33           2 【解析】（1）因为2Ssin，OAABOA OBOA OAOBOA cos1，      所以 f2SOAABsincos1 2sin 1（0 ）．  4 2 π  π （2）①设AOC ， ,π，则BOC  ， 3  3 答案第7页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}                 2 CACB OAOC  OBOC OAOBOAOCOCOBOC ，   π  π 3  π π  所以CACBcos coscos 1  3sin ， ,π， 3  3 2  3 3  π 2π 4π  π  3 3   又 3   3 , 3   ，所以sin   3       2 , 2    ，则CACB0,3．     ②设AM AC(01)，则g(t)，因为OM tOB0t1，            所以OM OAAM OAACOA(OCOA)(1)OAOCtOB，  t  1 所以OC OB OA，    t  1 t t 1 π 1 因为OC 1，所以 OB OA 1，即( )22  cos ( )2 1，      3  t2t1 化简得， ，t(0,1)， 2t t2t1 (2t)23(2t)3 3 所以 f(t)  (2t) 32 33，2t1,2 2t 2t 2t 3 当且仅当2t  ，即t 2 3时，等号成立， 2t 故 f(t)的最小值为2 33． k2x 19．（17分）已知函数 f xlog ，kR. 2 x 1 3 (1)若 f   f  2，求实数k的值； 2 2 (2)在（1）问的条件下，解关于x的不等式 f  f x  1；  1 (3)若k 4，对任意的b 1, ，函数gx f xlog xxb在区间0,2内总存在x 使得   2   2 0 gx g2x 成立，求实数k的取值范围. 0 0 【答案】(1)4； 2 (2)( ,1)； 3 (3)(4,2 5). k2x 1 3 2k6 【解析】（1） f xlog ，f  log 2k2， f  log ， 2 x 2 2 2 2 3 1 3 2k6  f   f  2，log 2k2+log 2， 2 2 2 2 3 答案第8页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}2k6 2k2  4，k24k 0，k4或k 0，  3  当k 0， f xlog (2)不满足真数大于0，即k 0不成立，故k 4； 2 42x （2）k 4，f xlog ， 2 x 42x  f xlog 1的解为1x2 2 x 42x f f x1转化为1 f x2，1log 2，   2 x 42x 2 2 2 4， x1，f f x1的解集为( ,1)；   x 3 3 k2x k2x （3） f xlog ，gx f xlog xxblog log xxblog k2xxb， 2 x 2 2 x 2 2 gx log k2x x b，g2x log k42x 2x b， 0 2 0 0 0 2 0 0 gx g2x ， 0 0 log k2x x blog k42x 2x b， 2 0 0 2 0 0 k2x k42x 422b，设t 422b 0 0  1 b  1,  ，1t2，t 422b的值域为A[1,2]，  2 设h(x )k2x k42x 4x28x (k24k)， 0 0 0 0 0 对称轴为x 1，x 0,2，h(x )在x 1处取最大值为k24k4， 0 0 0 0 h(0)h(2)k24k，h(x )的值域为B(k24k,k24k4]， 0  1 对任意的b 1, ，函数gx f xlog xxb在区间0,2内总存在x 使得gx g2x 成立，   2   2 0 0 0 A B， [1,2](k24k,k24k4]， k 4  k24k 1 ，4k 2 5，  k24k42 实数k的取值范围为(4,2 5). 答案第9页，共9页 {#{QQABTQUt5ggwkIaACA4rAwn6CwiYsJGjJOgMBUAUuAQCyINIBAA=}#}